4 - Séries entières - Sujet 1

St. Joseph/ICAM Toulouse CB4 - 2020-2021 - Correction

CB n

4 - Séries entières - Sujet 1

EXERCICE 1

Déterminer les rayons de convergence et les sommes des séries entières suivantes :

1. X

n≥0

e⁻ⁿx²ⁿ

Pour r∈R⁺, la suite géométrique (e⁻¹r²)ⁿ

n est bornée si et seulement sir ≤√ e.

On en déduit que le rayon de convergence est R=√ e.

De plus, pour x∈]−√ e,√

e[,on a :

+∞

X

n=0

e⁻ⁿx²ⁿ= 1 1−e⁻¹x² 2. X

n≥0

n+ 2 n+ 1xⁿ n+ 2 n+ 1 ∼

n→+∞1 etX

xⁿ a pour rayon de convergence 1, donc par comparaison, il en est de même de X

n≥0

n+ 2 n+ 1xⁿ. Pour n∈N,n+ 2

n+ 1 = 1 + 1 n+ 1. Xxⁿ et X xⁿ⁺¹

n+ 1 sont des séries usuelles, de rayon de convergence égal à 1, donc pourx ∈]−1,1[

on a :

+∞

X

n=0

n+ 2 n+ 1xⁿ=

+∞

X

n=0

xⁿ+

+∞

X

n=0

xⁿ n+ 1 =







0 si x= 0

1 1−x− 1

xln(1−x) si 0<|x|<1 . 3. X

n≥0

(n+ 1)² n! xⁿ

La règle de d’Alembert donne immédiatement un rayon de convergence égal à +∞.

Pour n∈N,(n+ 1)²

n! = n(n−1) n! +3n

n! + 1 n!. Xxⁿ

n! est une série usuelle de rayon de convergence +∞, donc pour tout réelx :

+∞

X

n=0

(n+ 1)²

n! xⁿ=x²

+∞

X

n=2

xⁿ⁻²

(n−2)!+ 3x

+∞

X

n=1

xⁿ⁻¹ (n−1)! +

+∞

X

n=0

xⁿ

n! = (x²+ 3x+ 1)e^x

4. X

n≥1

xⁿ n2ⁿ

On sait que la sérieXxⁿ

n a pour rayon de convergence 1, et que sa somme est :

+∞

X

n=1

xⁿ

n =−ln(1−x).

On en déduit que la série X

n≥1

xⁿ

n2ⁿ converge absolument pour x 2

< 1 et diverge grossièrement pour

x 2

>1, donc que son rayon de convergence est 2.

De plus, sa somme est :

+∞

X

n=1

xⁿ

n2ⁿ =−ln 1−x

2

.

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5. X

n≥0

(−1)ⁿ⁺¹nx²ⁿ⁺¹

Pour n≥1, etx∈R, on a :(−1)ⁿ⁺¹nx²ⁿ⁺¹ =x³n −x²n−1

;

D’après le théorème de dérivation de séries entières, on sait que la série X

nxⁿ⁻¹ a pour rayon de convergence 1, et que sa somme est :

+∞

X

n=0

nxⁿ⁻¹ = d dx

+∞

X

n=0

xⁿ

!

= d dx

1 1−x

= 1

(1−x)². On en déduit que la sérieX

n≥0

(−1)ⁿ⁺¹nx²ⁿ⁺¹ converge absolument pour| −x²|<1et diverge grossiè- rement pour| −x²|>1, donc que son rayon de convergence est 1.

De plus sa somme est :

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁺¹nx²ⁿ⁺¹= x³ (1 +x²)².

EXERCICE 2

1. Développer en série entière les fonctions f₁, f₂ etf₃ définies par : f₁(x) = 1

x−3, f₂(x) = 1

(x−3)², f₃(x) = 1 2x−1 en précisant les rayons de convergence.

f1(x) = −1 3 1−^x₃ =

+∞

X

n=0

−xⁿ

3ⁿ⁺¹, rayon de convergence R1 = 3.

f₂(x) = 1

9 1−^X₃2 =

+∞

X

n=0

nxⁿ⁻¹

3ⁿ⁺¹ , rayon de convergenceR₂ = 3.

f3(x) = −1 1−2x =

+∞

X

n=0

−(2x)ⁿ, rayon de convergence R3 = 1 2.

2. En déduire le développement en série entière et le rayon de convergence de la fonction f définie par : f(x) = x+ 12

(2x−1)(x−3)²

f(x) = 2

2x−1 − 1

x−3 + 3 (x−3)² =

+∞

X

n=0

−2ⁿ⁺¹+n+ 2 3ⁿ⁺¹

xⁿ De plus,−2ⁿ⁺¹+n+ 2

3ⁿ⁺¹ ∼ −2ⁿ⁺¹ donc le rayon de convergence de la série est 1 2.

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CB n

4 - Séries entières - Sujet 2

EXERCICE 1

Déterminer les rayons de convergence et les sommes des séries entières suivantes :

1. X

n≥0

eⁿ n!xⁿ La série Xxⁿ

n! a pour rayon de convergence+∞ et pour somme

+∞

X

n=0

xⁿ n! =e^x. On en déduit que la sérieX

n≥0

(ex)ⁿ

n! converge pour tout réelx, donc que son rayon de convergence est +∞. De plus, sa somme est :

+∞

X

n=0

(ex)ⁿ n! =e^ex. 2. X

n≥0

n−1 n+ 1xⁿ n−1 n+ 1 ∼

n→+∞1 etX

xⁿ a pour rayon de convergence 1, donc par comparaison, il en est de même de X

n≥0

n−1 n+ 1xⁿ. Pour n∈N,n−1

n+ 1 = 1− 2 n+ 1. Xxⁿ et X xⁿ⁺¹

n+ 1 sont des séries usuelles, de rayon de convergence égal à 1, donc pourx ∈]−1,1[

on a :

+∞

X

n=0

n−1 n+ 1xⁿ=

+∞

X

n=0

xⁿ−2

+∞

X

n=0

xⁿ n+ 1 =







−1 six= 0

1 1−x + 2

xln(1−x) si0<|x|<1 . 3. X

n≥0

n²−1 n! xⁿ

La règle de d’Alembert donne immédiatement un rayon de convergence égal à +∞.

Pour n∈N,n²−1

n! = n(n−1) n! + n

n!− 1 n!. Xxⁿ

n! est une série usuelle de rayon de convergence +∞, donc pour tout réelx :

+∞

X

n=0

n²−1

n! xⁿ=x²

+∞

X

n=2

xⁿ⁻² (n−2)!+x

+∞

X

n=1

xⁿ⁻¹ (n−1)! −

+∞

X

n=0

xⁿ

n! = (x²+x−1)e^x

4. X

n≥0

n+ 1 3ⁿ xⁿ

D’après le théorème de dérivation de séries entières, on sait que la série X

(n+ 1)xⁿ a pour rayon de convergence 1, et que sa somme est :

+∞

X

n=0

(n+ 1)xⁿ= d dx

+∞

X

n=0

xⁿ⁺¹

!

= d dx

1 1−x −1

= 1

(1−x)². On en déduit que la sérieX

n≥0

n+ 1

3ⁿ xⁿconverge absolument pour x 3

<1et diverge grossièrement pour

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x 3

>1, donc que son rayon de convergence est 3.

De plus, sa somme est :

+∞

X

n=0

n+ 1

3ⁿ xⁿ= 1

1−^x₃2 = 9 (3−x)².

5. X

n≥0

(−1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺¹ n+ 1

Pour n ∈N et x ∈R^∗,(−1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺¹ n+ 1 = 1

x

(−x²)ⁿ⁺¹

n+ 1 . On sait que la série X xⁿ⁺¹

n+ 1 a pour rayon de convergence 1, et que sa somme vaut :

+∞

X

n=0

xⁿ⁺¹

n+ 1 =−ln(1−x).

On en déduit que la série X

n≥0

(−1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺¹

n+ 1 converge absolument pour | −x²|<1 et diverge grossiè- rement pour| −x²|>1, donc que son rayon de convergence est 1.

De plus, sa somme est :

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺¹ n+ 1 =







0 six= 0

−ln(1 +x²)

x si0<|x|<1 .

EXERCICE 2

1. Développer en série entière les fonctions f1, f2 etf3 définies par : f₁(x) = 1

x−2, f₂(x) = 1

(x−2)², f₃(x) = 1 3x−1 en précisant les rayons de convergence.

f1(x) = −1 2 1−^x₂ =

+∞

X

n=0

−xⁿ

2ⁿ⁺¹, rayon de convergence R1 = 2.

f2(x) = 1

4 1−^x₂2 =

+∞

X

n=0

nxⁿ⁻¹

2ⁿ⁺¹ , rayon de convergence R2 = 2.

f3(x) = −1 1−3x =

+∞

X

n=0

−(3x)ⁿ, rayon de convergence R3 = 1 3.

2. En déduire le développement en série entière et le rayon de convergence de la fonction f définie par : f(x) = x+ 8

(3x−1)(x−2)²

f(x) = 3

3x−1 − 1

x−2 + 2 (x−2)² =

+∞

X

n=0

−3ⁿ⁺¹+n+ 2 2ⁿ⁺¹

xⁿ De plus,−3ⁿ⁺¹+n+ 2

2ⁿ⁺¹ ∼ −3ⁿ⁺¹ donc le rayon de convergence de la série est 1 3

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