Centrale Maths 1 PSI 2001 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/21

Centrale Maths 1 PSI 2001 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Yohann Genzmer (ENS Cachan) ; il a été relu par Nicolas Andraud (Mines de Paris) et David Lecomte (ENS Cachan).

Le sujet se compose de quatre parties consacrées aux suites orthonormales de fonctions et aux fonctions lipschitziennes.

• La première partie commence par l’étude de quelques propriétés générales des suites orthonormales dans l’espace préhilbertien des fonctions continues sur [ 0 ; 1 ]. On munit cet espace du produit scalaire

(f|g) = Z 1

0

f(t)g(t)dt On s’intéresse ensuite plus particulièrement à l’exemple

Cⁿ(x) =

1√ sin= 0 2 cos(nπx) sin >0

• La deuxième partie étudie, dans un premier moment, les fonctions lipschitziennes dans leur généralité pour, dans un second moment, faire le lien avec la première partie en introduisant la notion de constante de Lipschitz d’une fonction lipschitzienne.

• La troisième partie aboutit à une minoration explicite des constantes de Lip- schitz d’une suite orthonormale.

• Enfin, on étudie, dans la quatrième partie, un exemple polynomial de suite orthonormale.

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Indications

Partie I

I.A Calculer Z 1

0

Cn(x) Cm(x)dxet Z 1

0

Sn(x) Sm(x)dxpour n, m∈N. I.B.1 Penser au théorème de Pythagore.

I.B.2 Utiliser la question I.B.1 pour obtenir un majorant évident puis montrer que celui-ci est atteint.

I.B.3 ÉcrireYⁿ

Φ(f) = Xn i=0

λⁱΦⁱ puis calculer λⁱ en fonction de (f|Φⁱ). Pour l’in- égalité sur la série, utiliser conjointement le résultat de la question I.B.1 et le théorème de Pythagore.

I.C.1.a Remarquer qu’il existe un entierNtel quef^k∈V^N_Φ. I.C.2 Pour(i) =⇒(ii), utiliser le résultat de la question I.C.2.b.

I.C.3 Se rappeler que(dⁿ_Φ(f))²=wwwYⁿ

Φ(f)−fwww

2

.

I.D.1 Commencer par construirefepar parité sur[−1 ;−1 ]puis par périodicité sur Rtout entier.

I.D.3 S’intéresser, par exemple, àYⁿ

Ce(1)pourn∈NavecC = (Ce ⁿ)ⁿ>1.

Partie II

II.A.1 Pour savoir si le produit de deux fonctions lipschitziennes est une fonction lipschitzienne, s’intéresser à la fonction identité surR.

II.A.2 Remarquer que pour deux fonctionsf et g quelconques,

f(x)g(x)−f(y)g(y) = (f(x)−f(y))g(x) + (g(x)−g(y))f(y) II.B Utiliser l’inégalité des accroissements finis.

II.C Montrer que|f(x)−f(y)|6sup{k(fⁿ)|n∈N}|x−y|. II.D.1 S’intéresser à la fonction

b g:











R−→R

x 7−→









g(0) six60 g(x) six∈[ 0 ; 1 ] g(1) six>1 II.D.2 Pour la convergence uniforme, majorer|gⁿ(x)−^⌢g(x)|. II.E.1 Effectuer une intégration par parties.

II.E.2 Utiliser les questions II.E.1 et I.B.3.

II.F.1 Appliquer les résultats des questions II.E et II.D à f k(f). II.F.2 Utiliser l’expression de (dⁿ_Φ(f))² obtenue à la question I.C.3.

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Partie III

III.A Utiliser le résultat de la question I.B.1.

III.B.2 Raisonner par l’absurde en utilisant la minoration de la question précédente.

III.B.3 Penser aux suites extraites.

III.B.4 Utiliser la question II.B.

Partie IV

IV.B.2 Utiliser les questions I.C.1 et I.C.2.

IV.B.3 Remarquer que la famille(Qⁿ)ⁿ6mconstitue une base de Rm[X].

IV.C Penser à la formule de Leibniz.

IV.D.1 Ne pas hésiter à développer.

IV.E.1 Utiliser la question IV.E.1 après avoir écritLⁿ+1′ comme la dérivéen^ed’une somme de trois termes.

IV.F Établir une récurrence sur k(Qⁿ) en combinant les résultats des questions II.B, IV.D.2 et IV.E.2.

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I. Généralités sur les suites orthonormales

I.A Pour tout entiern,Cⁿ etSⁿ sont des fonctions continues sur[ 0 ; 1 ], donc elles sont dans E.

Z 1 0

C0(x)²dx= 1 et pourn>1 Z 1

0

C0(x) Cⁿ(x)dx= 0 Pourn>1et m>1:

Z 1 0

C^m(x) Cⁿ(x)dx= Z 1

0

cos ((n+m)πx)dx+ Z 1

0

cos ((n−m)πx) dx

= 0 + Z 1

0

cos ((n−m)πx) dx

=









 1

(n−m)πsin (n−m)πx 1

0

sin−m6= 0 Z 1

0

1dx sinon

=

(0 sin−m6= 0 1 sinon Z 1

0

C^m(x) Cⁿ(x)dx=δ^mn

Le calcul pour la suite(Sⁿ)se fait de façon analogue.

Ainsi,CetS sont des suites orthonormales deE.

I.B.1 Soientf dansEetnun entier. On considère le sous-espace de E F =Vect(Φ1, . . . ,Φn, f)

On peut munirFd’une structure d’espace euclidien, en lui donnant celle héritée de E. Dans ce cas, on sait que

ww

wf−Yⁿ

Φ(f)www

F= (dⁿ_Φ(f)) De plusf −Yⁿ

Φ(f)est othogonal àYⁿ

Φ(f). D’après le théorème de Pythagore, ww

wf−Yⁿ

Φ(f) +Yⁿ

Φ(f)www

F 2

=wwwf−Yⁿ

Φ(f)www

F 2

+wwwYⁿ

Φ(f)www

F 2

Dans un espace préhilbertien réel, siaetbsont orthogonaux, alorska+bk²= kak²+kbk². Plus généralement, si(aⁿ)ⁿ6mest une famille de vecteurs deux à deux orthogonaux alors

ww ww

Pm k=0

a^k ww ww

2

= Pm k=0ka^kk².

Mais, comme la structure euclidienne deFest celle induite parE, les normesk.k^Fet k.k coïncident, d’où :