Centrale Maths 1 PSI 2013 — Énoncé 1 / 4
G
xR æ C x œ R
’t œ R G
xt e
ixtC
ŒR fi
x œ R Ï
nx
nœZG
xx !
’n œ Z Ï
nx fi
⁄
fi≠fi
G
xte
≠intt
Ï
n" x
# $
’t œ R G
xt e
ixtŒ
ÿ
n≠Œ
Ï
nxe
int% & G
x'
( k N
ú|Ï
nx| o 3
n
k4
n & Œ
G
x) G
x≠ t G
xt n Z Ï
nx œ R ) G
xt fi & n Z !
Ï
n≠ x ≠
nÏ
nx Ï
≠nx
% Ï
nn œ Z '
Œ
ÿ
n≠Œ
|Ï
nx|
Ï
nR
n >
" n
# x |Ï
nx| 6 ( x
Ï
nx
Œ
ÿ
k
x
kk I
n,k& I
n,kfi
⁄
fi≠fi
i
ke
≠intt
kt
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
Centrale Maths 1 PSI 2013 — Énoncé 2 / 4
+ $ $) , n, k N ◊ N
I
n,kk
ÿ
m
A
m,kfi
⁄
fi≠fi
e
itm≠k≠nt
& A
m,k-
.
Y ] [
I
n,kn > k k ≠ n
I
n,k≠
p np3 n p n p
4
k n p & p >
) & n > x œ R !
Ï
nx
Œ
ÿ
p
≠
ppn p
1 x
2
np/001
2 &
( Ï
nC
ŒR
" n N
ú& x
x x
nÏ
nx x
nÏ
n≠x
Ï
nx x >
3 Ï
nx - $
S
mm
ÿ
p
≠
pa
p& m œ N a
ppn p
1 x
2
np+ & p p a
ppœN' N > p (, |R
N| N , n, x &
R
NŒ
ÿ
pN
≠
pa
p) Á > N |Ï
nx ≠ S
N| < Á
4 S
NÏ
nx Á
5 $ n, x, Á &
3 Ï
nx - Á 4 a
pÏ n x æ Œ
" n $ 6 $ y
x
y
ÕÕxy
Õx
≠ n
y /0001 33 $ 7 E C
, Œ
) & Ï
n/1 Ï
n, Œ /1
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
Centrale Maths 1 PSI 2013 — Énoncé 3 / 4
" y E /1 zx Ô x yx x œ , Œ ( z E $ 6 2
z
ÕÕq z /000*1
& q œ E
$ q &
xæŒ
qx
# z /1 x > zx, z
Õx ” , ) – 9 z ÷ –
$ z I – ≠ ÷, – ÷ – z
. 9 Ï
n, Œ Ï
nŒ
2 & Œ $ z œ E $ 6 , Œ & ⁄ œ R
ú!
z
ÕÕ3 ⁄
x
4
z /00081
" x , Œ
! ) $ 6 /1 z
ÕÕz g & gx
≠x⁄zx , Œ 3 &
) $ A B
’ x œ , Œ zx A x B x ⁄
⁄
xx
zu u ≠ x u u
! x >
hx
⁄
xx
|zu | u u
( $ µ M h & $ 6 x > x
h
Õx ≠ µ
x
hx 6 M x
µ M A B ⁄
) h 7 x , Œ z 7 : &
e
µ/x! #
Œ
⁄
x
zu u ≠ x u u
O
3 x 4
& Œ
) $ – — $ & Œ zx – x ≠ — O
x
! " n œ N ( $ –
n, —
nx æ Œ Ï
nx –
nÔ x x ≠ —
nO x Ô
x
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
Centrale Maths 1 PSI 2013 — Énoncé 4 / 4
" # Ï n $ 6
z
ÕÕx c
z x & c > /0.1 "
Ï
n) $ Ï < ) Ï 9 – œ ,
! Ï " ## Ï , –
) $ n > Ï
n& , –
; n œ N c œ , zx Ô
x Ï
nx x >
" # $ A > x > A qx > c
/q 1
" " a > A x > z x cx ≠ a "
W z z
Õ≠ z z
Õ. x > W
Õx qx ≠ c
zxz
x
" I
aa, a fi /c Ï
n9 I
a; Wa W a fi /c W
ÕI
a7 - ) Ï
n9 & I
a& a > A
Ï
nI
a" n œ N
"$ ( $ 9 Ï
n$- $ 1 –
kn2
kœN
9 Ï
nÏ
n$ , –
n& –
kn, –
kn& k
N
kæŒ
–
knŒ 1
–
kn2
kœN