Centrale Maths 1 PC 2013 — Énoncé 1 / 4
z ‘æ 1 z ≠ z 2
! " # $
% & ' ( #
( !
) N & Z & R C
* a
nnœNú! ! +& b
nnœNú! "
B
nnœNún œ N
úB
nb · · · b
n, & n > &
n
ÿ
k
a
kb
ka
nB
nn≠
ÿ
k
a
k≠ a
kB
k# q
a
nb
n!
, & ◊ œ R \ fiZ & ÿ
nØ
e
n◊n !
) ! -! ÿ
nØ
nx Ô n & . x
, ! -! ! R
, ( $ -! fi % ! %
!"
* p -! R R
px
Œ
ÿ
n
nx n Ô
n
, p & ! fi % / $ p
, -! p ! C
ÿ e n ◊ n x n
* ◊ œ R
/ !! ÿ e
n◊n x
n* g -! ≠, C
gx
Œ
ÿ
n
n◊n x
nTéléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
Centrale Maths 1 PC 2013 — Énoncé 2 / 4
, g ! C
≠, & x œ ≠, &
g
Õx
׭ x x
≠ x ◊ , & x œ ≠ , &
hx ≠
x
≠ x ◊
3 x ◊ ≠ x ◊
4
hx gx
* ◊ œ R \ fi Z
, & n œ N
ú&
n
ÿ
k
k◊k
⁄
׭
!
◊t "
n≠
◊t t
#
Œ
ÿ
k
k◊k
⁄
׭
◊t t
#
Œ
ÿ
k
k◊k ≠
≠ ◊ 1 ◊ ≠ ◊
2
, & ◊ œ , fi &
Œ
ÿ
k
k ◊ k fi ≠ ◊
* r R æ R & -! fi % & & ’ ◊ œ , fi & r ◊ fi ≠ ◊ 1 "! ! r
/ $ r
#
Œ
ÿ
n
n
fi
⁄ fi
x ≠ x ◊ ◊
, x ' ≠ & x
≠ x ◊ > ◊ œ R
2 !!
⁄
fi◊ ◊
⁄
fi≠ ◊ ◊
⁄
fi◊ ◊
# & x œ R &
⁄
fix
≠ x ◊ ◊ ! , & x Œ&
fi x ≠
⁄
fix
≠ x ◊ ◊
&
, x ‘æ
⁄
fix
≠ x ◊ ◊ -! x œ R
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
Centrale Maths 1 PC 2013 — Énoncé 3 / 4
* x œ ≠,
/ $ -! Â h R æ R Â h ◊ x
≠ x ◊
# & x œ ≠ , &
⁄
fix
≠ x ◊ ◊
#
⁄
fix
≠ x ◊ ◊ ! |x| >
,
⁄
fi/◊ ◊ !
,
⁄
fi◊ ◊
⁄
fi/◊ ◊
⁄
fi/◊ ◊
! #
⁄
fi◊ ◊ ≠ fi
" #
⁄
fi≠ ◊ ◊
⁄
fi◊ ◊
* f -! R R fx
⁄
fix
≠ x ◊ ◊
, f R \ {≠, }
’x œ R \ { ≠ , } f
Õx
⁄
fix ≠ ◊
x
≠ x ◊ ◊
# ’x œ R \ {≠, }
f
Õx
⁄
Œx t
x ≠ x
t
x ≠
t
t
#
fx
; fi |x| |x| >
|x| <
A B x x T x ≠ x
T x ≠
T A
x
T x ≠
B
T T œ R , f ! R f f≠
’x œ R ! x
≠ x ◊ >
◊
, ’x œ R \ { ≠ , }
⁄
fix
≠ x ◊ ◊
næŒ
A fi n
ÿ
n k3
x
≠ x k fi n
4B
, & x œ R n œ N
ú&
x
n≠
Ÿ
n k3
x
≠ x k fi n
4
#
⁄
fix
≠ x ◊ ◊
; fi |x| |x| >
|x| <
#
⁄
fix
≠ x ◊ ◊ x œ R \ { ≠ , }
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
Centrale Maths 1 PC 2013 — Énoncé 4 / 4
! , ’ x œ R ’ n œ N
ún≠
Ÿ
k
! x
≠ x k fi n
"
1
n≠
ÿ
k
x
k2
" ,
n≠
Ÿ
k
k fi n
Ô n
n≠# #
⁄
fi/◊ ◊ ≠ fi 4 $ "
% &'(
! * a
nnœN! " ) q
a
n! n œ N &
r
nŒ
ÿ
kn
a
k-! s
ns , C s
nx
n
ÿ
k
a
kx
ksx
Œ
ÿ
k
a
kx
k% 1 "! s
% * x œ , n œ N
ú,
sx ≠ s
nx r
nx
n≠
Œ
ÿ
kn
r
kx
k≠ x
k% , s ! ,
! " Á > N | r
n| 6 Á n > N ! | sx ≠ s
Nx | 6 Á x œ , # sx ≠ s sx ≠ s
Nx s
Nx ≠ s
Ns
N≠ s
% 5 ! 6 $
! * ◊ œ R / -!
x ‘æ ≠ x
x
≠ x ◊ !
! * f R æ R -! fi % ! C
) ! $ f
! &
c ÿ
nØ
! a
nnt b
nnt "
% , & x œ ≠, t œ R &
c
Œ
ÿ
n
! a
nnt b
nnt "
x
nfi
⁄
fi≠ x
fu x
≠ x t ≠ u u
% # & t œ R &
ft
xæ≠