CCP Maths 2 PC 2011 — Énoncé 1 / 3

(1)

CCP Maths 2 PC 2011 — Énoncé 1 / 3

"

C O N C O U R S C O M M U N S P O L Y T E C H N I Q U E S

/HV FDOFXODWULFHV VRQW LQWHUGLWHV

/HV SDUWLHV ,, HW ,,, VRQW LQGpSHQGDQWHV

3$57,( ,

6RLW œ U

N

OD VpULH GH IRQFWLRQV G¶XQH YDULDEOH UpHOOH GH WHUPH JpQpUDO U

N

GpILQL SRXU WRXW N ‰ SDU SRXU WRXW X ‰

N

U X X

X N Q

,

, 0RQWUHU TXH œ U

N

FRQYHUJH VLPSOHPHQW VXU WRXW HQWLHU

2Q QRWH

N

5 U

œ

d

OD VRPPH GH OD VpULH GH IRQFWLRQV œ U

N

, 0RQWUHU TXH SRXU WRXW A œ U

_N

FRQYHUJH QRUPDOHPHQW VXU < A A >

/D VpULH œ U

N

FRQYHUJH W HOOH QRUPDOHPHQW VXU "

, 0RQWUHU TXH 5 HVW FRQWLQXH VXU

Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

(2)

CCP Maths 2 PC 2011 — Énoncé 2 / 3

,

, 6RLW N ‰ 'pWHUPLQHU OD SULPLWLYH TXL V¶DQQXOH HQ GH OD IRQFWLRQ U

_N

, 6RLW V

_{N N}_‰

OD VXLWH GH IRQFWLRQV GpILQLH SDU

SRXU WRXW N ‰ SRXU WRXW X ‰

_N

LN X

V X N Q

• ¬-

ž -

žŸ ®

0RQWUHU TXH œ V

_N

FRQYHUJH VLPSOHPHQW VXU

, 2Q QRWH

_N

N

6 V

œ

d

OD VRPPH GH OD VpULH GH IRQFWLRQV œ V

_N

0RQWUHU TXH 6 HVW OD SULPLWLYH TXL V¶DQQXOH HQ GH OD IRQFWLRQ 5 , 2Q FRQVLGqUH OD VXLWH P

_{N N}_‰

GH IRQFWLRQV SRO\Q{PHV VXU GpILQLH SDU

SRXU WRXW X ‰ P X X SRXU WRXW N ‰ HW SRXU WRXW X ‰

_N ^{K N}

K

P X X X

K Q

• ¬-

ž -

žŸ ®

•

0RQWUHU TXH OD VXLWH P

_{N N}_‰

FRQYHUJH VLPSOHPHQW VXU ORUVTXH N WHQG YHUV d YHUV XQH IRQFWLRQ P TXH O¶RQ H[SULPHUD j O¶DLGH GH 6 SXLV GH 5

3RXU WRXW X ‰ OD OLPLWH GRQQDQW P X VHUD DORUV QRWpH

K

P X X X

K Q

d

• ž ž ž žŸ ¬- - - - ®

•

3$57,( ,,

3RXU WRXW X ‰ RQ QRWH G

_X

OD IRQFWLRQ G¶XQH YDULDEOH UpHOOH SpULRGLTXH GH SpULRGH Q WHOOH TXH SRXU WRXW T ‰ > Q Q > RQ DLW G T

_X

FK XT

Q

• ¬- ž - ž - žŸ ®

,,

,, 3UpFLVHU SRXUTXRL G

_X

HVW pJDOH HQ WRXW SRLQW T ‰ j OD VRPPH GH VD VpULH GH )RXULHU

COS SIN

N N

N

A X A X NT B X NT

œ

d

,, 3RXU WRXW N ‰ HW WRXW X ‰ FDOFXOHU B X

_N

,, 3RXU WRXW N ‰ HW WRXW X ‰ FDOFXOHU A X

_N

2Q GLVWLQJXHUD OHV FDV X HW X v ,,

,, (Q GRQQDQW j T XQH YDOHXU SDUWLFXOLqUH GDQV OD VpULH GH )RXULHU GH G

_X

PRQWUHU TXH SRXU WRXW X ‰ 5 X CH

SH X

X X

,, $ SDUWLU GH

X

6 X ¨ 5 T DT HW GX UpVXOWDW GH ,, GRQQHU j O¶DLGH GHV IRQFWLRQV XVXHOOHV XQH H[SUHVVLRQ GH OD IRQFWLRQ 6 GpILQLH j OD TXHVWLRQ ,

,, (Q GpGXLUH TXH SRXU WRXW X ‰ RQ D VK

K

X P X X X

K Q

d

• ž ž ž žŸ ¬- - - - ®

•

Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

(3)

CCP Maths 2 PC 2011 — Énoncé 3 / 3

3$57,( ,,,

6RLW H OD IRQFWLRQ GpILQLH VXU q > d < SDU

SRXU WRXW X T ‰ q > d < SIN EXP H X T TX

T Q

,,,

,,, 6RLW X ‰ 0RQWUHU TXH OD IRQFWLRQ T 6 H X T DGPHW TXDQG T WHQG YHUV SDU YDOHXUV SRVLWLYHV XQH OLPLWH ILQLH TXH O¶RQ GpWHUPLQHUD

,,, 0RQWUHU TXH SRXU WRXW X ‰ OD IRQFWLRQ T 6 H X T HVW LQWpJUDEOH VXU > d <

,,,

,,, 0RQWUHU TXH H SRVVqGH GHV GpULYpHV SDUWLHOOHV SDU UDSSRUW j X HQ WRXW SRLQW GH q > d < HW j WRXW RUGUH &DOFXOHU SRXU WRXW X T ‰ q > d < HW WRXW N ‰

^N

H

_N

X X T s

s 2Q GLVWLQJXHUD OHV FDV N SDLU HW N LPSDLU ,,, 0RQWUHU TXH SRXU WRXW X ‰ HW WRXW N ‰ OD IRQFWLRQ

N N

T H X T

X s 6 s HVW FRQWLQXH HW LQWpJUDEOH VXU > d <

,,, 6RLW F OD IRQFWLRQ GpILQLH VXU SDU SIN EXP

F X TX DT

T Q

¨

d

^{SRXU WRXW} ^X ^‰

0RQWUHU TXH F HVW GH FODVVH

^d

VXU HW TXH SRXU WRXW X ‰ HW WRXW M ‰

RQ D SIN

EXP

M M

M

T TX

F X DT

T Q

¨

d

^HW ^F

^M

^X _EXP

^M

^T

^M

Q _T ^COS ^TX ^DT

¨

d

,,,

,,, 0RQWUHU TXH SRXU WRXW T RQ D EXP

EXP

N

T N T

Q Q

œ

d