CCP Maths 2 PC 2003 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/16

CCP Maths 2 PC 2003 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été relu par Sébastien Gadat (Enseignant-chercheur à l’Université) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce sujet comporte trois parties distinctes qui, bien que liées, peuvent être traitées indépendamment les unes des autres : les résultats utiles de chaque partie sont en effet mentionnés dans l’énoncé. On y étudie la convergence de différentes suites et séries de fonctions.

Dans la partie I, on étudie une série et une suite de fonctions, et l’on établit des expressions de leurs limites respectives.

Dans la partie II, on commence l’étude d’une suite de fonctions et de sa limite simplef, qui constitue en fait le but du sujet. On établira diverses propriétés de cette fonction, ainsi qu’une équation fonctionnelle dont elle est solution.

Enfin dans la partie III, on introduit deux nouvelles suites de fonctions, définies par des intégrales et liées à la suite étudiée dans la partie précédente. On finit par établir que f est l’inverse de la célèbre fonctionΓ; on se rend compte a posteriori que la partie II présente en fait une autre définition de la fonction Γ (ou plutôt de son inverse).

Ce sujet ne présente pas de grosse difficulté : on y utilise des développements limités pour montrer les sommabilités des séries étudiées, et on établit facilement des relations de récurrences qui fournissent les équations fonctionnelles recherchées par passage à la limite. Notons toutefois que l’énoncé est assez mal rédigé et comporte une ou deux erreurs problématiques, comme la division par une fonction qui s’annule aux questions I.4.2 et III.2.1 !

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Indications

Partie I I.1 Utiliser la formule an(ϕ) = 1

π Z π

−π

ϕ(t) cos(nt) dt pour le développement de Fourier deϕen cosinus. Noter queϕu est de classeC¹par morceaux.

I.2 Calculerϕu(π).

I.3 Majoreru^′n sur[ 0 ;a]. Utiliser ensuite l’intégrabilité terme à terme des séries normalement convergentes et la question I.2.

I.4.2 Procéder par récurrence surnen utilisant la définition desn. Il est plus simple de considérer des polynômes. Passer ensuite à la limite.

I.4.3 Passer au logarithme et utiliser la question I.3.

Partie II

II.1.1 Faire apparaître un facteur (X +p)dans l’expression de fn(X)pour n assez grand.

II.2 Calculerxfn(x+ 1)pour n∈N^∗.

II.3 Faire apparaître le facteursn−1(x)dans l’expression defn(x)fn(1−x).

II.4.1 Effectuer la division euclidienne de −pxparppour montrer l’annulation du membre de droite de(1).

II.4.2 Calculer fpn(px) et faire apparaître des doubles produits au moyen de divisions euclidiennes des indices par p. Calculer ensuite

p−1 k=0

Π

fn

x+k

p

. Appliquer la relation obtenue entre ces deux quantités àx= 1/pet passer à la limite quand ntend vers l’infini.

II.4.4 Décomposer sur Cle membre de gauche.

Partie III

III.1 Étudier l’intégrabilité sur ] 0 ; 1 ] et sur [ 1 ;⁺∞[. Pour la dérivabilité de Γ, faire apparaître une convergence dominée sur tout compact.

III.2.1 Intégrer par parties. Pour le calcul deGn, effectuer le changement de variable t=un.

III.2.2 Montrer que pour tout réelx, on a 1 +x6e^x.

III.3 Montrer d’abord le résultat sur D, puis sur R, en établissant une relation entref(x)et f(x+n)pourn∈N.

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Partie I

I.1 Les coefficients de Fourier de la fonction paireϕu sont définis par

∀n∈N an(u) = 1 π

Z π

−π

ϕu(t) cos(nt) dt= 1 π

Z π

−π

cos(ut) cos(nt) dt

Or, ∀t∈R cos(ut) cos(nt) = cos ((u+n)t) + cos ((u−n)t) 2

Commeu∈] 0 ; 1 [, on au+n6= 0et u−n6= 0. En outre,

∀α6= 0

Z π

−π

cos(αt) dt=

sin(αt) α

^π

−π

=2 sin(απ) α si bien que ∀n∈N an(u) = sin ((u+n)π)

(u+n)π +sin ((u−n)π) (u−n)π

= (−1)ⁿsin(uπ) π

1

u+n+ 1 u−n

Par conséquent, ∀n∈N an(u) = (−1)ⁿ 2usin(πu) π(u²−n²)

La fonctionϕu étant paire, son développement en série de Fourier ne comporte que des termes en cosinus : c’est pour cela qu’on ne calcule que les coefficientsan(u).

Comme ϕu est de classe C¹ sur [−π;π[, elle est par périodicité de classe C¹ par morceaux surR: elle coïncide alors avec la somme de sa série de Fourier (qui converge simplement) en tout point deR, soit

∀x∈R ϕu(x) = a⁰(u)

2 +

+∞

P

n=1

an(u) cos(nx)

I.2 En particulier, pourx=π, il vient ϕu(π) = a0(u)

2 +

+∞

P

n=1

(−1)ⁿan(u)

soit cos(πu) =sin(πu)

πu +

+∞

P

n=1

2usin(πu) π(u²−n²) Or,sin(πu)6= 0pour toutu∈] 0 ; 1 [, donc

∀u∈] 0 ; 1 [ πcos(πu) sin(πu) − 1

u =

+∞

P

n=1

2u (u²−n²)

Cette égalité montre que le membre de gauche tend vers 0 quand u tend vers0, ce qui permet ainsi de le prolonger par continuité en0et de l’intégrer sur tout segment[ 0 ;a]⊂[ 0 ; 1 [.

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I.3 Pour tout n ∈ N^∗, un(0) = 0 donc la série de terme général un(0) converge.

De plus, àx∈] 0 ; 1 [fixé,

un(x) = ln

1−x² n²

n→∼⁺∞−x² n²

Deux séries à termes positifs équivalents en l’infini sont de même nature : comme P

n>1

1/n² converge, il en découle que P

n>1

un(x)converge. Par conséquent,

La série de fonctions P

n>1

un converge simplement sur [ 0 ; 1 [.

Soit un segment[ 0 ;a]⊂[ 0 ; 1 [; on a

∀n∈N^∗ ∀x∈[ 0 ;a] u^′n(x) = −2x/n²

1−x²/n² = 2x x²−n² d’où ∀n∈N^∗ ∀x∈[ 0 ;a] |u^′n(x)|6 2a

n²−a²

Or, 2a

n²−a² ∼

n→+∞

2a n²

qui est le terme général d’une série convergente : de ce fait, P

n>1

2a

n²−a² converge.

La série de fonctions P

n>1

u^′n converge alors normalement sur [ 0 ;a] et d’après la question I.2,

∀x∈] 0 ;a]

+∞

P

n=1

u^′_n(x) = πcos(πx) sin(πx) −1

x La convergence normale deP

u^′_n permet alors d’intégrer cette série terme à terme sur le segment[ 0 ;a]et d’écrire, grâce à la convergence simple deP

un sur ce même segment,

∀a∈] 0 ; 1 [

+∞

P

n=1

un(a) =

+∞

P

n=1

un(0) +

+∞

X

n=1

Z a 0

u^′_n(t) dt

=

+∞

P

n=1

0 + Z a

0

+∞

P

n=1

u^′n(t)

dt

Or, ∀x∈] 0 ;a]

Z a x

+∞

P

n=1

u^′_n(t)

dt= Z a

x

πcos(πt) sin(πt) dt−

Z a x

dt t

=h

ln sin(πt)ia x−h

lntia x

Z a x

+∞

P

n=1

u^′_n(t)

dt= ln

sin(πa) a

−ln

sin(πx) x

Comme sin(πx) x −−−−→

x→0⁺ π, on déduit des deux égalités précédentes que

∀a∈] 0 ; 1 [

+∞

P

n=1

un(a) = ln

sin(πa) πa