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CCP Maths 1 PC 2012 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florence Monna (Doctorante en mathématiques) ; il a été relu par Nicolas Martin (ENS Lyon) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).
Le sujet porte sur la notion de diagonalisabilité d’un couple de matrices (A,B) dans plusieurs situations. L’épreuve se divise en cinq parties largement indépen- dantes. Elles ont toutes trait à l’algèbre linéaire, plus particulièrement aux matrices.
Les parties I et V sont des cas particuliers, à priori plus faciles à traiter.
• La première partie est consacrée à l’étude d’un exemple en dimension 3. Elle est très calculatoire mais ne présente pas de difficulté majeure. On utilise les notions de matrice inversible, de spectre, de polynôme caractéristique, et il faut raison- ner sur des sous-espaces vectoriels ainsi que sur leurs dimensions ou leurs bases.
• La deuxième partie est plus théorique puisqu’elle aborde le cas où la matriceB est inversible. Précisément, il s’agit de démontrer une condition portant sur la matriceB−1Aimpliquant la diagonalisabilité du couple(A,B).
• La troisième partie concerne le cas d’un couple de matrices symétriques réelles.
On y trouve la démonstration classique de l’équivalence pour une matrice M symétrique réelle entre les propositions «Mest définie positive » et « le spectre deMest inclus dansR∗+».
• La quatrième partie établit un critère de diagonalisabilité du couple (A,B): siAest inversible, la diagonalisabilité de(A,B)équivaut à la diagonalisabilité deA−1B.
• Enfin, la cinquième partie traite un cas particulier en dimension 4. Cette fois-ci, on cherche à démontrer que le couple(A,B)n’est pas diagonalisable.
Ce sujet est plus long que ceux des années précédentes, mais se traite relativement bien car les parties sont nettement distinctes, chacune ayant un objectif clair.
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Indications
I.3.b Expliciter l’expression de Eλ(C) pour tout λ de R pour obtenir une rela- tion entreEλ(B,A)etEλ(C)puis utiliser la question I.2.c. pour l’expression deE1/2(A,B).
I.3.c Montrer que {u1} est une famille génératrice de E0(B,A) puis utiliser le résultat de la question I.2.c. pour la dimension deE1/2(A,B).
I.4.a Utiliser les bases des ensemblesE0(C)etE1/2(C)trouvées à la question I.3.b.
pour prouver que les éléments deF sont des vecteurs propres deC.
II.2.b L’équivalence de la question II.2.a. permet de réécrire le polynômeχ(A,B) en fonction deA′ etB′.
II.3.b. Raisonner par l’absurde en supposant que(B,A)n’est pas régulier.
II.3.c Utiliser l’expression deχ(A,B)(λ)en fonction deχ(B,A)(1/λ)donnée à la ques- tion II.3.a. pour réécrire le polynômeχ(A,B)(λ).
II.3.d • i)⇒ii): cette implication a déjà été démontrée à la question II.1.a.
• ii)⇒iii): on peut ici démontrer la contraposée en utilisant le fait que le couple(B,A) est régulier d’après la question II.3.b. pour mettreχ(B,A)
sous la forme indiquée à la question II.3.c.
III.1.c i) ⇒ ii): utiliser le résultat de la question III.1.b pour démontrer que les valeurs propres deMsont positives.
III.2 Pour montrer que l’application est définie positive, on peut écrire avec la question III.1.c l’égalitéM = tL Let utiliser le résultat de la question III.1.b.
pour démontrer que siY = LX6= 0, alors tY Y>0.
III.3.c Poser pour tout i ∈ {1, . . . , n}, e′i = L−1ei et appliquer l’équivalence de la question III.3.a.
III.3.d Il suffit de démontrer que la matriceB−1Aest diagonalisable puis de conclure à l’aide de la question II.4.
III.4.b Le couple (B,A−λ0B) vérifie les conditions de la question III.3.d. et est donc diagonalisable. RéécrireAetBen fonction des matrices diagonales aux- quellesBetA−λBsont semblables.
IV.1.c Utiliser le résultat de la question IV.1.b. pour les valeurs propres non nulles deC.
IV.2 • Dans le cas oùBest inversible, on peut se servir du fait que χ(A,B) est un polynôme de degrénd’après la question III.3.d.
• LorsqueBn’est pas inversible, utiliser le résultat de la question III.3.c.
sur le degré deχ(A,B).
IV.3.b Utiliser les égalités d’ensembles entre lesEλ(C)etE1/λ(A,B)fournies par les questions IV.1.a et IV.1.b.
IV.3.c D’après la question IV.3.b,C = A−1Best diagonalisable. Ensuite penser à la question II.4. en échangeant les rôles deAet B.
V.3.c Utiliser la question V.3.b selon laquelle les suites (c2k) et (c2k+1) sont des suites géométriques.
V.3.d Utiliser le fait quecn(λ) = 0 si et seulement si n est impair, démontré à la question V.3.c.
V.4.b Icin= 4est pair. Il suffit alors d’appliquer le résultat de la question V.3.c.
V.4.c Comparer les dimensions de E0(A4,B4) et E∞(A4,B4) avec les quantités m0(A4,B4)etm∞(A4,B4)calculés aux questions V.4.a et V.4.b.
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I. Diagonalisabilité dans un cas particulier
I.1.a. On remarque que la première ligne de Best entièrement composée de zéros, par conséquent la matriceBne peut pas être de rang3, seulement de rang inférieur ou égal à2.On en déduit que
Bn’est pas inversible.
Un développement du déterminant deBpar rapport à la première ligne donne det(B) = 0,donc la matriceBn’est pas inversible.
I.1.b. La matriceA est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Calculons-le en développant par rapport à la dernière ligne.
det(A) =
3 1 1 2 1 0 0 0 −1
=−
3 1 2 1
=−3 + 2 =−1 Le déterminant deAest non nul ce qui permet d’affirmer
Aest inversible.
I.1.c. On peut résoudre cette question sans calculerA−1,en prouvant queAC = B.
En multipliant cette égalité parA−1à gauche, on obtientC = A−1B.CalculonsAC.
AC =
3 1 1 2 1 0 0 0 −1
×
−4 −2 −2 16 6 4
0 0 2
=
0 0 0 4 2 0 0 0 −2
= B
On en conclut C = A−1B
I.2.a. Calculer χ(A,B)(λ)revient à calculer le déterminant de la matriceA−λB.
χ(A,B)(λ) = det(A−λB)
=
3 1 1
2−4λ 1−2λ 0 0 0 −1 + 2λ
= (2λ−1)
3 1
2−4λ 1−2λ
en développant selonL3
χ(A,B)(λ) = (2λ−1) (3(1−2λ)−2(1−2λ))
ce qui donne χ(A,B)(λ) =−(2λ−1)2
I.2.b. Par définition de Sp(A,B), il s’agit de l’ensemble des éléments λ ∈ R tels queχ(A,B)(λ) = 0,c’est-à-dire2λ−1 = 0.On en déduit
Sp(A,B) = 1
2
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© Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/17 I.2.c. On cherche l’ensemble des matrices-colonnesX∈ M3,1(R)telles que
AX = 1 2BX PosonsX = t(x, y, z).On a alors
AX =
3x+y+z 2x+y
−z
et BX =
0 4x+ 2y
−2z
CommeAX = BX/2,(x, y, z)doit être solution du système
3x+y+z= 0 2x+y= 2x+y
−z=−z
Les deux dernières équations sont vérifiées, et la première donne E1/2(A,B) =
x y
−3x−y
∈ M3,1(R), (x, y)∈R2
On remarque que(x, y,−3x−y) =x(1,0,−3) +y(0,1,−1) =xtu2+ytu3,ce qui permet d’écrire
E1/2(A,B) = Vect (u2,u3)
De plus, lorsqu’on considère les déterminants d’ordre 2 extraits de la matrice(u2, u3), on constate qu’il en existe un non nul, donc la famille(u2,u3)est libre. On a vu que (u2,u3)est une famille génératrice deE1/2(A,B),c’est donc une base deE1/2(A,B).
La dimension deE1/2(A,B) est égale au cardinal de n’importe laquelle de ses bases, c’est-à-dire
dim E1/2(A,B)
= 2
I.3.a. Calculerχ(B,A)(λ)revient à calculer le déterminant de la matriceB−λA.
χ(B,A)(λ) = det(B−λA)
=
−3λ −λ −λ 4−2λ 2−λ 0
0 0 −2 +λ
= (λ−2)
−3λ −λ 4−2λ 2−λ
en développant selonL3
χ(B,A)(λ) = (λ−2) (−3λ(2−λ) + 2λ(2−λ))
Enfin χ(B,A)(λ) =λ(λ−2)2
Les éléments de Sp(B,A)sont les racines du polynômeχ(B,A),qui sont0et2. Ainsi, Sp(B,A) ={0,2}
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