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CCP Maths 1 PC 2001 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alexander Gewirtz (ENS Lyon) et Thomas Chomette (ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît Chevalier (ENS Ulm) et David Lecomte (ENS Cachan).
Ce problème d’algèbre linéaire comporte deux parties.
• La première partie commence par des rappels et des questions sur les matrices symétriques réelles. Ensuite, on cherche à déterminer, pourA∈ Mn,p(R)don- née, une décomposition en valeurs singulières. On démontre également des re- lations classiques entre les noyaux et images deA et de tA.
• La deuxième partie de ce sujet introduit la notion de pseudo-inverse d’une matrice. Le but de cette partie est d’étudier ce pseudo-inverse et de montrer que celui-ci est bien défini. Enfin, pour finir, on illustre l’intérêt du pseudo- inverse d’une matrice sur un problème d’optimisation dansR2: on peut calculer facilement le projeté orthogonal d’un vecteur sur l’image de la matrice.
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Indications
Partie I
I.2 Utiliser le théorème de réduction des matrices symétriques réelles.
I.3.b Utiliser le fait quehAx, yin =hx,tAyip.
I.4.a Attention à l’erreur dans l’énoncé. Pour le produit par blocs, il faut lire−xIp
dans la deuxième matrice, et nonIp.
I.4.b Le déterminant est invariant par transposition.
I.5 Utiliser la relation entre les polynômes caractéristiques obtenue à la question I.4.b.
I.6.a Aest supposée non nulle.
I.6.b Constater quer= rg (tA A)et utiliser le théorème du rang.
I.6.c CalculerkAVik2.
I.6.d RemplacerUi parµ−1i AVi.Vi est un vecteur propre de tA A.
I.6.e CalculerktA Uik2.
I.6.f Regarder d’abord(U1, . . . ,Ur)puis montrer que les deux familles sont ortho- gonales.
I.7.b Les matricesUetV sont orthogonales.
I.9.a Vérifier que les applications linéaires coïncident sur la base deRp.
I.9.b Utiliser la décomposition deAobtenue à la question I.7.b et celle deVobtenue à la question I.9.a.
I.9.c Utiliser les questions I.6.d, e et f.(U1, . . . ,Un)et(V1, . . . ,Vp)sont des bases orthonormales.
Partie II
II.3 Calculer l’image des bases canoniques.
II.4 Uet Vsont orthogonales.
II.5 Imiter la méthode des questions I.9.a et I.9.b.
II.6.a Utiliser la décomposition deAA+ obtenue à la question II.5.
II.6.b Combiner les résultats des questions II.5 et I.9.c.
II.7 Utiliser les résultats des questions II.6.b et II.5.
II.9.b Utiliser la question II.5 et montrer que B et A+ coïncident sur la base (U1, . . . ,Un): distinguer les casi6ret i > r.
II.10 Utiliser les questions I.9.b et II.5 puis substituerA+ à A.
II.12.a Pour un projecteurp, Im(p−id ) = Ker (p) puis utiliser les résultats de la question II.8 ainsi que Pythagore.
II.12.b Évaluer l’expression du théorème de Pythagore enX = H′. II.12.c La borne inférieure est atteinte enH.
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Partie I
I.1 SoitA∈ Mn,p(R). Montrons que tA Aest nulle si et seulement siA est nulle.
• SupposonsAnulle. Alors il est clair que tA Aest nulle.
• Réciproquement, si la matrice tA A est nulle, ses coefficients diagonaux sont en particulier nuls. Or si l’on désigne parai,jle terme général de la matriceA, le coefficient diagonal(i, i)de la matrice tA An’est autre que :
n
P
k=1
ak,i2
Leur nullité implique donc la nullité de tous les termes ak,i. A est alors la matrice nulle.
Ainsi tA A = 0⇐⇒A = 0
Nous n’avons utilisé pour montrer que A est nulle que les coefficients dia- gonaux de tA A. Une hypothèse en apparence plus faible serait de supposer simplement que la matrice tA Aest de trace nulle. Cela suffit bien entendu pour conclure, vu que :
Trt A A
=
n
P
i=1 p
P
j=1
a2i,j
Une autre preuve, utilisant la structure euclidienne deRp, consiste à dire que : si tA Aest nulle, alors pour toutx∈Rp, tA Ax= 0.
Donc pour tout x ∈ Rp, txtA Ax = 0, soit pour tout x ∈ Rp,
t(Ax) Ax= 0.
C’est-à-dire ∀x∈Rp kAxk2= 0 Soit encore pour toutx∈Rp,Ax= 0et doncA = 0.
Cette preuve, quoique plus élegante que celle mettant en oeuvre le calcul des coefficients de tA A, utilise cependant le résultat demandé à la question I.3.a. C’est pourquoi nous ne la présentons qu’en remarque.
I.2 Dans toute la suite on supposeAnon nulle.
Les matrices tA AetAtAsont toutes deux des matrices symétriques réelles. Par conséquent :
tA Aet AtAsont diagonalisables au moyen de matrices orthogonales.
I.3.a SoientX,Ydeux éléments de Mn,1(R).
Soient (x1, . . . , xn)et (y1, . . . , yn)les coordonnées respectives de Xet Y dans la base canonique deRn. On a alors par définition du produit scalaire surRn:
hX,Yin=
n
P
k=1
xkyk
Or, en identifiantM1(R)etR, il vient tX Y =
n
P
k=1
xkyk. Ainsi, on a
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hX,Yin= tX Y
I.3.b SoitWun vecteur propre de tA Aassocié à la valeur propreλ. On a : kAWk2=hAW,AWin =hW,tA AWip=hW, λWip =λkWk2
Par conséquent, kAWk2=λkWk2
I.3.c Soientλune valeur propre de tA Aet W un vecteur propre non nul associé à la valeur propreλ.
D’après la question I.3.b, on akAWk2=λkWk2. OrWest non nul, donckWk 6= 0.
Par suite, λ= kAWk2
kWk2 Doncλest un réel positif.
Ainsi ∀λ∈sp(tA A) λ∈R+
I.4.a Soitxun réel. Alors :
xIn A
tA Ip
−In 0
tA −xIp
=
AtA−xIn −xA 0 −xIp
De même, on a :
xIn A
tA Ip
−In A 0 −xIp
=
−xIn 0
−tA tA A−xIp
I.4.b On constate que :
−In 0
tA −xIp
=
t
−In A 0 −xIp
Par conséquent, ces deux matrices carrées ont même déterminant. Ainsi :
xIn A
tA Ip
−In 0
tA −xIp
=
xIn A
tA Ip
−In A 0 −xIp
Soit
AtA−xIn −xA 0 −xIp
=
−xIn 0
−tA tA A−xIp
Par conséquent (−X)pχAtA(X) = (−X)nχtA A(X) oùχ est le polynôme caractéristique.
Soit (−X)p
Π
λ∈sp(AtA)
(X−λ)ωλ = (−X)n
Π
λ∈sp(tA A)
(X−λ)ωλ′
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