CCP Maths 1 PC 2010 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/22

CCP Maths 1 PC 2010 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Emmanuel Cornet (ENS Lyon) ; il a été relu par Vincent Leclère (École Polytechnique) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Ce sujet d’algèbre linéaire propose d’étudier la notion de racine carrée d’un endomorphisme réel, et de déterminer ces racines dans des cas particuliers.

• La première partie détermine l’ensemble des racines carrées de deux endomorphismes diagonalisables particuliers, donnés par leur matrice dans la base canonique deR³.

• La deuxième se place dans le cas d’un espace de dimension finie quelconque et demande de déterminer les racines carrées d’un endomorphisme diagonalisable possédant exactement deux valeurs propres.

• La troisième propose de démontrer le critère suivant à l’aide des polynômes interpolateurs de Lagrange : un endomorphismef d’un espaceE de dimension finie est diagonalisable si, et seulement si, il existemendomorphismesp1, . . ., p^m deEet mréelsλ1, . . . , λ^mdistincts tels que

∀k∈N f^k=

m

P

i=1

λⁱ^kpⁱ

On généralise ensuite les résultats des parties précédentes aux endomorphismes diagonalisables d’un espace de dimension finie.

• La quatrième et dernière partie propose d’étudier les racines carrées des endomorphismes nilpotents et de ceux qui le deviennent en leur ajoutant un multiple de l’identité.

La difficulté de ce sujet ne réside pas dans des questions particulièrement calcu- latoires, mais dans l’aspect trompeusement répétitif de la démarche employée au sein de chaque partie. Comme le cadre et les hypothèses changent à chaque partie, il est important de bien faire la part des méthodes à réutiliser et des approches qu’il faut généraliser ou renouveler par rapport à la partie précédente. Les quatre parties sont indépendantes, mais les hypothèses de départ étant de plus en plus générales, il est conseillé de traiter le sujet dans l’ordre.

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Indications

I.A.1 Calculer le polynôme caractéristique de A.

I.A.3 Utiliser la formule de changement de base pour passer deAàD.

I.A.4 Exprimer les vecteurs de la base canonique en fonction des vecteurs propres deA.

I.A.7 Tout réel strictement positif a exactement deux racines carrées.

I.B.1 Calculer les premières puissances deJpuis raisonner par récurrence.

I.B.2 On peut se servir de la formule du binôme de Newton.

I.B.3 Calculer le polynôme caractéristique de f et simplifier le déterminant en remarquant que la somme en ligne est constante.

II.2 Reformuler le résultat de la question II.1 en termes d’image et de noyau.

II.4 Partir de la relation entre f,f²et idet la transformer pour faire apparaître l’expression def⁻¹ en fonction depetq.

II.5 Attention au domaine de validité demandé :Z et nonN. On peut raisonner par récurrence.

II.6 Quelle est, au maximum, la dimension de cet espace ? Au minimum ? II.7 Se servir de la démarche adoptée à la question I.A.7.

II.8 Utiliser le résultat intermédiaire de la question I.B.7.

II.9 Considérer un endomorphisme qui inverse les deux premiers vecteurs d’une base de vecteurs propres def.

II.10 Sidim E>3, quelle est la dimension des sous-espaces propres de f?

III.2 Chercher à appliquer le résultat de la question précédente à un polynôme bien choisi.

III.3 Établir une relation entreL^ℓ(X)et le polynôme utilisé à la question III.2.

III.5 Que vaut

m

P

i=1

Lⁱ(X)? III.6 Cette famille est-elle libre ?

III.7 Adopter le même type de démarche que pour les questions I.A.7 et II.7.

III.8.2 Calculerf(h(x)), oùxest un vecteur propre associé à la valeur propreλ, et utiliser la question précédente.

III.9 S’inspirer de la question II.9.

IV.A.1 Utiliser la méthode habituelle pour établir la liberté d’une famille, puis com- poser avec une puissance bien choisie def. Quel est le cardinal maximal d’une famille libre dans E ?

IV.A.2 Sih∈ R(f), quels sont les entiersaetbtels que h^a = 0eth^b6= 0? IV.A.3 Se souvenir des développements limités usuels.

IV.A.5 ConsidérerP(f). Puis se ramener au cas précédent.

IV.B.1 Que dire des grandes puissances d’une matrice triangulaire supérieure stricte ? IV.B.2 Si le polynôme caractéristique defest scindé, quelle est la forme de sa matrice

dans une base particulière ?

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Partie I

I.A.1 Calculons PA le polynôme caractéristique de A. Soit x un réel ; dévelop- ponsPA(x)par rapport à la troisième ligne :

PA(x) =

8−x 4 −7

−8 −4−x 8

0 0 1−x

= (1−x)((8−x)(−4−x) + 32)

= (1−x)(x²−4x) PA(x) = (1−x)x(x−4)

Rappelons qu’il faut toujours commencer par chercher à factoriser un poly- nôme caractéristique et non le développer trop tôt.

Le polynômePAest scindé dansRet toutes ses racines sont simples, par conséquent f est diagonalisable.

Remarquons que la deuxième colonne deA est égale à sa première colonne multipliée par1/2, doncdet A = 0. En outre, la troisième ligne deA−I3est une ligne de zéros, d’oùdet(A−I3) = 0. Ainsi, 0 et 1 sont des valeurs propres évidentes de A. Une fois que l’on a prouvé que le polynôme caractéristique deA est scindé, la troisième valeur propre λse déduit facilement des deux premières grâce à l’invariance de la trace d’une matrice par rapport à la base choisie :8−4 + 1 = 0 + 1 +λ, soitλ= 4. En outre, comme 0 est valeur propre deA, cette matrice n’est pas inversible.

I.A.2 La question précédente a permis de montrer que Sp(f) ={0; 1; 4}

Cherchons à présent les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres.

• Un vecteurX = (x, y, z)∈R³ appartient àKer (f)si et seulement si







8x+ 4y−7z = 0

−8x−4y+ 8z = 0 z = 0

soity=−2xetz= 0. Une base de Ker (f)est doncv1= (1,−2,0).

• X = (x, y, z)∈Ker (f−id)si et seulement si 7x+ 4y−7z = 0

−8x−5y+ 8z = 0 ⇐⇒

7x+ 4y−7z = 0

−x−y+z = 0 soity= 0 etz=x. Une base deKer (f−id)est doncv²= (1,0,1).

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• Enfin,X = (x, y, z)∈Ker (f−4 id)si et seulement si







4x+ 4y−7z = 0

−8x−8y+ 8z = 0

−3z = 0

soitx+y= 0et z= 0. Une base deKer (f−4 id)est doncv3= (1,−1,0).

Pour conclure, la nouvelle base est (v1, v2, v3) =







 1

−2 0



,



 1 0 1



,



 1

−1 0









Dans cette base, la matriceD def est diagonale : D =





0 0 0 0 1 0 0 0 4





I.A.3 Si on poseP = (v1, v2, v3), alors la formule de changement de base fournit A = P D P⁻¹. À la puissancem,

A^m= P D P⁻¹P D P⁻¹· · ·P D P⁻¹ qui donne par une récurrence immédiate

A^m= P D^mP⁻¹

I.A.4 Pour inverser la matrice P, exprimons les vecteurs de la base canonique en fonction des vecteurs propres deAv1,v2 etv3. On a

v1=e1−2e2 (1)

v2=e1+e3 (2)

v3=e1−e2 (3)

La différence entre(1)et 2×(3)donnee1= 2v3−v1. La différence entre(3) et(1) donnee2 =v3−v1. Enfin, (2) donne e3 = v2−e1 =v2−2v3+v1. On en déduit l’inverse deP:

P⁻¹=





−1 −1 1

0 0 1

2 1 −2





Calculons enfin la puissancem-ième deA: A^m= PD^mP⁻¹

=





1 1 1

−2 0 −1

0 1 0



×





0 0 0 0 1 0 0 0 4^m



×





−1 −1 1

0 0 1

2 1 −2





=





0 1 4^m 0 0 −4^m

0 1 0



×





−1 −1 1

0 0 1

2 1 −2





A^m=





2×4^m 4^m 1−2×4^m

−2×4^m −4^m 2×4^m

0 0 1



