CCP Maths 1 PC 2003 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/16

CCP Maths 1 PC 2003 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce sujet propose une étude des matrices symétriques réelles. Il comporte deux parties liées, des résultats généraux démontrés dans la première partie étant réutilisés dans la seconde.

La première partie se propose de démontrer certains résultats classiques sur les matrices, et en particulier sur les matrices symétriques, positives ou définies positives.

La seconde partie a pour objectif de caractériser de différentes manières une matrice symétrique réelle et définie positive, en particulier par le biais de différents exemples calculatoires. Elle aboutit au résultat final suivant : une matrice symétrique réelle d’ordre3 est définie positive si, et seulement si, les déterminants des matrices supérieures gauches d’ordre 1, 2 et 3 extraites de cette matrice sont strictement positifs.

Peu de questions de ce problème sont vraiment difficiles, mais il utilise des tech- niques classiques d’algèbre bilinéaire et de diagonalisation, qu’il est nécessaire de bien maîtriser. Il traite d’algèbre réelle, mais peut tout à fait être étendu à des espaces vectoriels plus généraux. De plus, des exemples sont fréquemment demandés en pe- tites dimensions, ce qui suppose d’avoir bien compris ce que l’on fait. En résumé, c’est un bon problème de révision pour cette partie du programme.

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Indications

Partie I

I.1 Faire les calculs directement, sans repasser par les coordonnées.

I.2 Utiliser la propriété rappelée au début de l’énoncé.

I.4.a Pour le sens direct, utiliser la propriété avec un vecteur propre.

Pour la réciproque, se placer dans une base de diagonalisation.

I.5.b Trouver deux matrices diagonalesAetBtelles que le spectre deA−Bcontienne un élément positif et un négatif.

I.6.b Considérer, pour touti, une base de diagonalisation de vi.

I.7.a Utiliser la question précédente pour le sens direct, et faire le calcul directement pour la réciproque.

I.7.b DiagonaliserAet utiliser la question I.6.b pour trouver une base convenable.

I.8 DiagonaliserS1 etS2dans la même base.

I.9.a Factoriser S22

−S12

et utiliser les propriétés démontrées aux questions I.2 et I.8.

Partie II

II.1 Démontrer par exemplea⇒b⇒c⇒d⇒a, en utilisant la question I.4.a.

II.2.c Faire le calcul et résoudre le système obtenu.

II.3.b Utiliser la caractérisation de la projection.

II.3.d Utiliser la formule du changement de base pour exprimerMà partir deT.

II.4.c Pour le sens direct, raisonner par contraposée.

II.4.d Construire un raisonnement par récurrence à partir de la question II.4.c.

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Partie I

I.1.a Soient(X,Y)∈(M_n,1(R))². On a

tX Y =hX|Yi=hY|Xi= ^tY X

On pouvait aussi écrire que la matrice ^tX Y, d’ordre 1, est nécessairement symétrique.

I.1.b On a(^tX Y)²= (^tX Y)(^tX Y). Pour obtenir la première égalité, on applique le résultat de la question précédente au deuxième terme ; pour obtenir la seconde égalité, on l’applique au premier terme. Par suite,

(^tX Y)²= ^tX(Y^tY)X = ^tY(X^tX)Y

I.1.c SoitS∈ Sn(R). On a d’une part,

tX SY = ^tX(SY) =hX|SYi

et d’autre part, ^tX SY = ^tX ^tS Y = ^t(SX) Y =hSX|Yi

d’où hX|SYi=hSX|Yi

I.2.a Soient(S1,S2)∈(S_n⁺(R))². Pour toutX∈M_n,1(R), on a

tX(S1+ S2)X = ^tX S1X + ^tX S2X>0

donc S1+ S2∈ S_n⁺(R)

I.2.b SoientS1∈ S_n⁺(R)etS2∈ S_n⁺⁺(R). Pour toutX∈M_n,1(R)non nul, on a

tX(S1+ S2)X = ^tX S1X

| {z }

>0

+^tX S2X

| {z }

>0

donc S1+ S2∈ S_n⁺⁺(R)

I.2.c SoitA∈M_n(R). Pour toutX∈M_n,1(R), on a

tX^tA AX = ^t(AX) AX =kAXk²>0

donc ^tA A∈ Sn⁺(R)

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I.3.a Soit S ∈ Sn(R) telle que ∀X ∈ M_n,1(R), ^tX SX = 0. Soient λ une valeur propre deSet Xun vecteur propre associé. On a

0 = ^tX SX = ^tXλX =λkXk²

| {z }

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=0

donc λ= 0

Par définition, un vecteur propre est toujours non nul. Le sous-espace propre associé à une valeur propre est formé de l’union des vecteurs propres associés et du singleton {0}, mais0 n’est jamais un vecteur propre.

On en déduit que toutes les valeurs propres deSsont nulles. OrSest symétrique réelle, donc diagonalisable, ce qui montre que S est semblable à la matrice nulle.

Par suite,

S = 0

On a un résultat un peu plus fort que celui utilisé ici : toute matrice sy- métrique réelle est diagonalisable en base orthonormale. En particulier, ses sous-espaces propres propres sont orthogonaux deux à deux, ce qui peut être utile pour déterminer une base propre en petite dimension. En effet, en dimension 3 par exemple, si les trois valeurs propres sont distinctes et que l’on a trouvé une base des deux premiers sous-espaces propres, le troi- sième vecteur de la base peut être pris comme étant le produit vectoriel des deux autres (de même si les deux premiers vecteurs forment une base d’un sous-espace propre de dimension 2).

I.3.b On cherche une matriceMnon nulle, carrée et d’ordre3 telle que

∀X∈M_3,1(R) ^tX MX = 0

Une telle matrice est nécessairement antisymétrique. En effet, ^tM +M est symétrique et, pour tout vecteurX∈M_3,1(R),0 = ^tX MX. On en déduit 0 = ^tX MX+^t(^tX MX) = ^tX(M+^tM)X, donc la question précédente montre queM + ^tM = 0, puis queMest antisymétrique.

De plus, n’importe quelle matrice antisymétrique convient. En effet, si Mest antisymétrique et siXest un vecteur,

tX MX = ^t(^tX MX) = ^tX^tM X =−^tX MX

donc ^tX MX = 0. Il ne reste plus qu’à choisir une matrice antisymétrique.

On peut proposer la matrice A =





0 0 0 0 0 −1 0 1 0





En effet, pour toutX∈M_3,1(R),

tX AX = x1 x2 x3





0 0 0 0 0 −1 0 1 0







 x1

x2

x3





= x1 x2 x3



 0

−x3

x2



= 0