Centrale Maths 1 PC 2003 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/22

Centrale Maths 1 PC 2003 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Le but de ce sujet est l’étude des intégrales généralisées de fonctions positives et continues (par morceaux), en les comparant à des fonctions de référence simples, c’est-à-dire dont on connaît une primitive.

Dans les préliminaires, on démontre des propriétés d’intégrabilité et l’on donne des estimations des restes ou des parties principales (selon la convergence) des intégrales en question.

On applique alors ces résultats dans la partie I pour trouver les équivalents puis les développements asymptotiques d’intégrales divergentes.

On effectue le même travail dans la partie II sur une classe bien particulière de fonctions positives, avec une application aux intégrales de Bertrand.

La partie III fait le lien entre l’intégrabilité d’une fonction positivef (d’une cer- taine classe) et la convergence de la série de terme généralf(n): on estime alors le reste ou la partie principale de la série en fonction de ceux de l’intégrale.

Enfin, dans la partie IV, on utilise les résultats de la partie III – et une transpo- sition des résultats des préliminaires aux séries à termes positifs – pour obtenir des équivalents, puis des développements asymptotiques de certaines séries. Après tant d’efforts, on accède finalement au Graal : la formule de Stirling !

Ce sujet est assez long, même s’il ne présente pas de difficulté particulière.

Cependant, on utilise les mêmes idées tout au long des différentes parties – intégra- tion de relations de comparaison – avec un raffinement et une complexité croissants, si bien qu’il serait délicat de prétendre s’attaquer à une partie sans avoir traité les autres auparavant.

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Indications

1.a Utiliser la définition def =o(g)pour majorerf au voisinage deb.

1.b Se ramener à la question précédente.

I.A.1 Rechercher un équivalent en0⁺ et appliquer le résultat de la question 2.b.

I.A.2 Utiliser la relation de Chasles et le résultat de la question précédente.

I.B.1 Après l’intégration par parties, appliquer la question 2.a à la nouvelle intégrale.

I.B.2 Réitérer l’intégration par parties et les estimations faites en I.B.1.

I.C On peut procéder comme à la question précédente pour établir directement la forme générale du développement asymptotique. Pour la procédure de calcul, proposée ici sous Maple, utiliser les coefficients de Taylor d’une fonction bien choisie.

II.A Comparerf^′(x)/f(x)à 1/xet utiliser les préliminaires.

II.B.1 En utilisant la question II.A, comparerf(x)à 1/x^1+h, avech >0.

II.B.2 Faire plutôt apparaître la dérivée de la fonction proposée.

II.C Procéder de manière analogue à la question II.B. Pour le contre-exemple, on peut construire une fonction bornée et strictement positive, qui oscille régulièrement et dont la primitive a un équivalent polynomial.

II.D.1 Trouver des primitives explicites.

II.D.2 Utiliser les questions II.B, II.D.1 et II.C.

II.E La réponse est donnée à la question II.D.1.

III.A Appliquer le théorème des accroissements finis àln(h)entretetn.

III.B En déduire une relation surf, l’intégrer sur [n−1 ;n], puis faire tendre ε vers0.

III.C.2 Compareruetv en⁺∞et utiliser les préliminaires.

III.D Intégrer le résultat de la question III.A pour obtenir une formule analogue à celle de la question III.B. Suivre ensuite le même raisonnement qu’aux questions III.C.2 et III.C.3.

IV.A.1 Utiliser la question III.D.

IV.A.3 Utiliser la question III.C.3.

IV.B Définir des fonctions en escaliers A et B au moyen des suites (an) et (bn) (homologues de la fonctionu de la partie III). Les utiliser pour transposer les résultats des préliminaires aux sériesP

an et P bn.

IV.C.1 Se ramener à l’étude d’une série convergente et utiliser un développement asymptotique de son terme général.

IV.C.2 Appliquer le logarithme et procéder comme à la question précédente.

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Préliminaires

1.a Notons tout d’abord que comme les fonctionsf etgsont continues par morceaux sur[a;b[, elles sont intégrables sur tout intervalle[a;x]⊂[a;b[. Les fonctionsf et gsont à valeurs strictement positives et vérifientf =o(g)enb. Soitε >0; il existe alorsη >0 tel que

∀t∈[b−η;b[ 0< f(t)6εg(t)

Puisqueg est intégrable sur [a;b[, cette inégalité implique quef est intégrable sur [b−η;b[donc sur[a;b[. On obtient alors, en l’intégrant entrexet b,

∀x∈[b−η;b[ 0<

Z b

x

f(t) dt6ε Z b

x

g(t) dt

Comme on peut trouver un telη >0pour toutε >0, on en déduit que Z b

x

f(t) dt= o

x→b

Z b

x

g(t) dt

!

On obtient le même résultat en supposant simplement queg est de signe constant (sans point d’annulation) au voisinage de b. L’hypothèse sur le signe de f est quant à elle totalement superflue: il suffit en effet d’appliquer le résultat précédent aux fonctions|f|et|g|.

Cette remarque est valable pour tout le reste du problème, que g soit intégrable ou non (on se dispensera de refaire la même remarque à la fin de la question 2.a), et que f soit négligeable devant g ou équivalente à g (voir les questions 1.b et 2.b : on ne se soucie pas du signe def−g).

En particulier, on s’en servira aux questions I.C.1 (signe deu⁽ⁿ⁾)et II.A (signe def^′/f).

1.b On se ramène simplement à la question précédente en notant que f(x) ∼

x→bg(x) si, et seulement si, f−g= o

x→b(g)

(voir la remarque ci-dessus). Ainsi,f−gest intégrable sur[a;b[doncf est intégrable sur cet intervalle et

Z b

x

hf(t)−g(t)i dt=

Z b

x

f(t) dt− Z b

x

g(t) dt= o

x→b

Z b

x

g(t) dt

!

soit

Z b

x

f(t) dt= Z b

x

g(t) dt+ o

x→b

Z b

x

g(t) dt

!

Comme Z b

x

g(t)dt6= 0 pour toutx∈[a;b[, cargest continue et strictement positive sur cet intervalle, on en déduit que

Z b

x

f(t) dt ∼

x→b

Z b

x

g(t) dt

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2.a f est négligeable devantg enb, donc pourε >0 fixé il existeη >0tel que

∀t∈[b−η;b[ 0< f(t)6 ε 2g(t) si bien que pour toutxdans[b−η;b[

Z x

a

f(t) dt= Z b−η

a

f(t) dt+ Z x

b−η

f(t) dt6 Z b−η

a

f(t) dt+ε 2

Z x

b−η

g(t) dt

Puisque la fonction positivegn’est pas intégrable sur[a;b[, on a

x→blim Z x

b−η

g(t) =⁺∞

En particulier, il existeη1∈] 0 ;η[

∀x∈[b−η1;b[

Z x

b−η

g(t) dt> 2 ε

Z b−η

a

f(t) dt

qui est une constante par rapport àx, et

∀x∈[b−η1;b[

Z b−η

a

f(t) dt6 ε 2

Z x

b−η

g(t) dt

d’où ∀x∈[b−η1;b[

Z x

a

f(t) dt6ε Z x

b−η

g(t) dt6ε Z x

a

g(t) dt

Pour résumer, on a ainsi

∀ε >0 ∃η1>0 ∀x∈[b−η1;b[

Z x

a

f(t) dt6ε Z x

a

g(t) dt

soit

Z x

a

f(t) dt= o

x→b

Z x

a

g(t) dt

Notons que l’on ne peut rien dire de l’intégrabilité de f sur[a;b[. Par exemple, sibest fini et que l’on pose

g:x7−→ 1

(b−x)² f1:x7−→ 1

(b−x) f2:x7−→1

les fonctionsf1etf2 sont alors négligeables devantgenb, maisf2est intégrable sur [a;b[tandis queg etf1ne le sont pas.

2.b Comme à la question 1.b, on a f(x) ∼

x→bg(x) donc f−g= o

x→b(g) d’où

Z x

a

(f(t)−g(t)) dt= o

x→b

Z x

a

g(t) dt

soit

Z x

a

f(t) dt= Z x

a

g(t) dt+ o

x→b

Z x

a

g(t) dt

Comme Z x

a

g(t) dt6= 0 pour tout x∈[a;b[, puisque g est continue et strictement positive sur cette intervalle, on a finalement

Z x

a

f(t) dt ∼

x→b

Z x

a

g(t) dt