MP-PC Maths Analyse III 2019-2020
TD4 - Int´ egrales oscillantes et changements de variable
Exercice 1. On s’int´eresse `a l’int´egrale des fonctions “oscillantes” d´efinies sur R+ par fα(t) := sinttα etgα(t) := costαt, avec α >0.
1. Etudier la convergence de R1 0
sint
tα dt et R1 0
cost
tα dt selon les valeurs de α∈R. 2. Etudier la convergence de R+∞
1 fα(t)dt et R+∞
1 gα(t)dt lorsque α >1.
3. On suppose ici que α≤0. Soitn∈N∗. Montrer que pour tout t∈[2nπ,(2n+ 1)π],
on a sint
tα ≥sint.
En d´eduire que R+∞
1 fα(t)dt diverge. Montrer de mˆeme que R+∞
1 gα(t)dt diverge.
4. Soit α∈]0,1].
(a) Montrer que les int´egralesR+∞
1 fα(t)dt et R+∞
1 gα(t)dt convergent.
(b) Soit 0 < < π2. Minorer fα sur l’intervalle [2nπ +,(2n+ 1)π−], puis son int´egrale sur cet intervalle. En d´eduire quefα n’est pas int´egrable sur [1,+∞[.
Par une m´ethode similaire, montrer que gα n’est pas int´egrable sur [1,+∞[.
5. Soit hα(t) = etαit. Montrer que R+∞
1 hα(t)dt est absolument convergente si et seule- ment si α >1. Retrouvez le r´esultat de la question pr´ec´edente.
Exercice 2.
Soit f(t) = cos(t2). Par une int´egration par partie, montrer que R+∞
1 f(t)dt converge.
Montrer ensuite que cette fonction n’est pas int´egrable sur [1,+∞[.
Exercice 3.
Justifier la convergence de l’int´egrale Z +∞
0
√x (1 +x)2dx puis la calculer en posant x=t2.
Mˆemes questions pour l’int´egrale
Z +∞
0
lnx (1 +x)2dx, en posant t= 1x.
1
