PC/MP Analyse S4 2021
TD1 - Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles
Exercice 1. Justifier la dérivabilité puis calculer la dérivée des fonctionsf :R→R2 définies par : 1. f(t) =
1 +t t2
.
2. f(t) = √
1 +t+t2 sin(1+tt2)
.
Exercice 2. Introduisons les fonctions numériques suivantes :
f1(t) =t;f2(t) =|t|;f3(t) = sin(t);f4(t) =t2;f5=f1×f2;f6 =f3◦f2;f7=f4◦f2;f8=f3−f2.
1. Sur quelles parties de Rces fonctions sont-elles continues, dérivables ?
2. Même question pour les fonctions vectorielles suivantesF1 etF2 suivantes, à valeurs dans R2 etR5 respectivement
F1:t7→(f1(t), f2(t)) et F2 :t7→(f3(t), f4(t), f5(t), f7(t), f8(t)).
Exercice 3. Soitk≥1, montrer que la fonction f :R−→Rdéfinie par
f :t7→
tksin(1/t) si t6= 0 0 si t= 0
est continue surR. Etudier sa dérivabilité, et lorsqu’elle l’est, dire si elle est C1. Exercice 4. Soientn∈N∗ eta∈R. Soitf :R−→Rn dérivable ena.
1. Montrer qu’il existe un vecteur L ∈ Rn et une application ε :R −→ Rn tels que pour tout t∈R,
f(t) =f(a) + (t−a)L+ (t−a)ε(t)
avec εqui tend vers 0 lorsque t tend versa. Cette propriété implique-t’elle la dérivabilité de f ena?
2. Calculer
limt→a
1 t−a
af(t)−tf(a)
.
1
Exercice 5.
1. (a) Soient B : E ×F → G une application bilinéaire, où E, F et G sont trois espaces vectoriels munis de normes, notéesk · kE,k · kF etk · kG. En vous inspirant du théorème de continuité des applications linéaires, montrer que B est continue si et seulement si il existeK >0 telle que
∀(u, v)∈F ×G, kB(u, v)kG≤KkukEkvkF.
(b) On se place dans le cas oùE etF sont de dimension finies, et on noteB= (ei)i=1,...,met B0 = (e0i)i=1,...,n des bases de E etF. Pour deux vecteursu=P
iuiei etv =P
ivie0i On définit deux normes sur E etF par kukB,∞ = supi|ui|et kvkB0,∞ = supi|vi|. Montrer qu’il existe une constanteK >0 telles que
∀(u, v)∈F ×G, kB(u, v)kG≤KkukB,∞kvkB0,∞.
On pourra calculer explicitementB(u, v) en fonction des (ui)i=1,...,m et des(vi)i=1,...,n. (c) En déduire un théorème de continuité des applications bilinéaires en dimension finie.
2. (a) Soient I un intevalle ouvert de R,f ∈ C1(I,Rm), g ∈ C1(I,Rn) et B une application bilinéaire deRm×Rn dansR.
Montrer alors queB(f, g)∈C1(I,R) et de dérivée :
B(f, g)0
=B(f0, g) +B(f, g0).
On pourra commencer par se remémorer la preuve pour la dérivée du produit de fonctions réelles(uv)0 =u0v+uv0.
(b) Appliquer cette formule pour dériver la fonctiont7→ hf(t), f(t)i, où m=n, et h·,·i est un produit scalaire deRn.
Exercice 6. SoientM(t),t∈R, une famille de points de l’espace, qui dépendent continuement de t∈R et qui sont de classeC1 par rapport àt∈R. Cela veut dire que la fonctionM :R→R3 est de classeC1.
On suppose de plus que ces points se déplacent sur un cercle fixé de centre l’origineO. Montrer alors qu’en tout pointM(t), le vecteur vitesse est perpendiculaire au vecteur−−−−→
OM(t).
Exercice 7. Soitn∈N∗. Soit la fonctionfn:R→Rdéfinie par fn(x) =
xn six≥0 0 six <0
Déterminer l’ordre maximal kpour lequelfn est de classeCk sur R
Exercices plutôt réservés aux MPs sur les difféomorphismes : Exercice 8. Les applications suivantes sont-elles des difféomorphismes ?
1. f :]−π2,π2[→R définie parf(t) = tan(t).
2. g:R→Rdéfinie par g(t) =t3. Exercice 9.
1. Montrer que la fonctionf :R→Rdéfinie parf(x) =x3+x−2est unC∞-difféomorphisme.
2. Calculer(f−1)0(0).
Exercice 10.
1. Montrer que la fonction f :]0,+∞[→ R définie par f(x) = −1 +ex−1+ ln(x) est un C∞- difféomorphisme.
2. Donner l’équation de la tangente à la courbe représentative de x=f−1(y)au pointy = 0.
2
