PC/MP Analyse S4 2020

PC/MP Analyse S4 2020

TD1 - Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles

Exercice 1. Justifier la dérivabilité puis calculer la dérivée des fonctionsf :R→R² définies par : 1. f(t) =

1 +t

t²

.

2. f(t) =

√

1 +t+t² sin(_1+t^t2)

.

Exercice 2. Introduisons les fonctions numériques suivantes :

f₁(t) =t;f₂(t) =|t|;f₃(t) = sin(t);f₄(t) =t²;f₅=f₁×f₂;f₆ =f₃◦f₂;f₇=f₄◦f₂;f₈=f₃−f₂.

1. Sur quelles parties de Rces fonctions sont-elles continues, dérivables ? 2. Même question pour les fonctions vectorielles suivantes :

f₉ :R−→R² : t7→(f₁(t), f₂(t)); f₁₀:R−→R⁵ : t7→(f₃(t), f₄(t), f₅(t), f₇(t), f₈(t)).

Exercice 3. Pour quelles valeurs dek∈N, les fonctionsf :R−→Rsuivantes sont-elles dérivables ? 1. La fonction définie par

t7→

sin(t^k) sit6= 0 0 sit= 0 2. La fonction définie par

t7→

t^ksin(1/t) si t6= 0 0 si t= 0

Exercice 4. Soientn∈N^∗ eta∈R. Soitf :R−→Rⁿ dérivable ena.

1. Montrer qu’il existe un vecteur L ∈ Rⁿ et une application ε :R −→ Rⁿ tels que pour tout t∈R,

f(t) =f(a) + (t−a)L+ (t−a)ε(t)

avec εqui tend vers 0 lorsque t tend versa. Cette propriété implique-t’elle la dérivabilité de f ena?

2. Calculer

limt→a

1 t−a

af(t)−tf(a) .

Exercice 5. SoientI un intevalle ouvert deR,f ∈C¹(I,R^m),g∈C¹(I,Rⁿ) etB une application bilinéaire deR^m×Rⁿ dansR. Montrer alors que B(f, g)∈C¹(I,R) et de dérivée :

B(f, g)

0

=B(f⁰, g) +B(f, g⁰).

1

Exercice 6. SoientM(t),t∈R, une famille de points de l’espace, qui dépendent continuement de t∈Ret qui sont de classeC¹ par rapport àt∈R.

1. Traduire mathématiquement les hypothèses faites sur les pointsM(t).

2. On suppose de plus que ces points se déplacent sur un cercle de rayon 2 et de centre O.

Montrer alors qu’en tout pointM(t), le vecteur vitesse est perpendiculaire au vecteur−−−−→

OM(t).

Exercice 7. Les applications suivantes sont-elles des difféomorphismes ? 1. f :]−^π₂,^π₂[→R:t7→tan(t)?

2. g:R→R:x7→t³.

Exercice 8.

1. Montrer que la fonctionf :R→Rdéfinie parf(x) =x³+x−2est unC^∞-difféomorphisme.

2. Calculer(f⁻¹)⁰(0).

Exercice 9.

1. Montrer que la fonction f :]0,+∞[→ R définie par f(x) = −1 +e^x−1+ ln(x) est un C^∞- difféomorphisme.

2. Donner l’équation de la tangente à la courbe représentative de x=f⁻¹(y)au pointy = 0.

Exercice 10. Soit n∈N^∗. Soit la fonctionfn:R→Rdéfinie par

f_n(x) =

xⁿ six≥0

0 six <0

Déterminer l’ordre maximal kpour lequelfn est de classeC^k sur R

2