PC/MP Analyse S4 2021
TD3 - Intégrales généralisées
Exercice 1. (Intégrales impropres et primitives explicites)
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes ? Si oui, les calculer.
1. R1 0
1 tdt.
2. Rπ2
0 √cost sintdt.
3. R1 0 t2dt.
4. R1 0 lntdt.
5. R+∞
1 sintdt 6. R1
0 sint
t dt (on ne cherchera pas à la calculer) 7. R0
−∞etdt
Correction : Dans tous les cas, on commence par décrire la régularité de la fonction sur l’intervalle d’intégration.
1. Posonsf(t) = 1t, alorsf est continue sur]0,1], mais ne se prolonge pas en 0. On se donnex∈]0,1], on a alors :
Z 1 x
1
tdt= [ln(t)]1x =−ln(x).
On a donc
x→0lim Z 1
x
1
tdt= +∞, ce qui prouve que l’intégraleR1
0 1
tdtest divergente.
2. Posonsf(t) = √cost
sint, alorsf est continue sur]0,π2], mais ne se prolonge pas en 0. On se donne x ∈]0,π2], on a alors, en reconnaissant une primitive d’une fonction de la forme √u0
u : Z π
2
x
f(t)dt= [2
√ sint]
π
x2 = 2(1−√ sinx).
On a donc
x→0lim Z π
2
x
f(t)dt= 2, ce qui prouve que l’intégraleRπ2
0 cost
√
sintdtest convergente, et vaut 2.
3. Posons f(t) = t2, alors f est continue sur [0,1], donc son intégrale R1
0 t2dt est bien définie comme intégrale de Riemann d’une fonction continue.
4. Posonsf(t) = ln(t), alorsf est continue sur]0,1], mais ne se prolonge pas en 0. On se donne x ∈]0,1], on a alors, par une intégration par parties classique (si ce n’est pas évident, vérifiez que vous savez la faire) :
Z 1 x
ln(t)dt= [tln(t)−t]1x=−1 +x−xln(x).
Or, par croissance comparée,
x→0limxln(x) = 0.
On a donc
x→0lim Z 1
x
ln(t)dt=−1, ce qui prouve que l’intégraleR1
0 ln(t)dt est convergente, et vaut -1.
5. Posons f(t) = sin(t), alors f est continue sur [1,+∞[. On se donne x >1, on a alors
Z x 1
sin(t)dt= [−cost]x1 =−cosx+ cos 1.
Or la fonction x7→cos(x) n’admet pas de limite lorsque x→ +∞, et doncRx
1 sin(t)dtnon plus, ce qui montre que l’intégraleRx
1 sin(t)dtest divergente.
6. Posonsf(t) = sin(t)t , alorsf est continue sur]0,1], de plus, on a l’équi- valent
sint∼
0 t, donc
limt→0
sin(t) t = 1,
et donc la fonctionf se prolonge par continuité à l’intervalle[0,1]. On déduit d’après le cours que l’intégraleR1
0 sin(t)
t dt est convergente.
7. Posonsf(t) =et, alorsf est continue sur]− ∞,0]. On se donnex <0, on a alors :
Z 0 x
etdt= [et]0x = 1−ex. On a donc
x→−∞lim Z 0
x
etdt= 1,
ce qui prouve que l’intégraleR1
−∞etdtest convergente, et vaut 1.
Exercice 2.
1. Soit une fonction f : [1,+∞)→ R continue telle quef tend vers une limitel6= 0 en +∞. Montrer que l’intégraleR+∞
1 f(t)dtdiverge.
2. Donner un exemple de fonction f : R+ −→ R continue telle que R+∞
0 f(t)dtest convergente, et telle que f ne tend pas vers 0 a l’infini (on cherchera à construiref de sorte à ce que l’aire sous sa courbe soit finie).
Exercice 3. Soienta, b∈R∪{+∞}aveca < betf une fonction numérique continue sur[a, b[.
1. Montrer que si lim
x→bf(x) existe alors f est bornée.
2. Soitk≥0. Montrer que si pour tout1≤j≤k,lim
x→bxjf(x)existe alors il existeC >0etC0 >0 tels que
|f(x)| ≤ C
1 +|x|k ≤ C0 (1 +|x|2)k2. 3. Montrer quef :R−→Rdéfinie par
f(x) = cos(x2) (x3−4x) 3 + 2x2+x6 , est intégrable surR.
4. La fonctionx7→e−
√|x|est-elle intégrable sur R?
Exercice 4. Déterminer si les intégrales suivantes convergent ou non : I1 =
Z 1 0
dt (1−t)√
t; I2 = Z +∞
0
lnt
t2+ 1dt; I3 = Z 1
0
sin(1 t2)dt;
I30 = Z +∞
0
sin(1
t2)dt; I4= Z +∞
0
√ dt
et+ 1; I5 = Z +∞
0
1 et−1dt;
I6= Z +∞
0
e−(lnt)2dt; I7= Z π
2
0
√
tantdt; I8= Z +∞
2
dt tlnt;
I9 = Z +∞
0
(t+2−p
t2+ 4t+ 1)dt; I10= Z 2
1
√t−1
lnt dt; I11= Z +∞
0
sin(1t) t dt
Exercice 5.
Soit f : [0,+∞[→ R une fonction continue par morceaux. On suppose queR∞
0 f(t)dtconverge.
1. Déterminer
x→+∞lim Z x
x 2
f(t)dt.
2. On suppose de plus que f est positive et décroissante. Montrer que f(x) =o(x1) au voisinage de+∞.
3. Donner un exemple de fonction f telle que R∞
0 f(t)dt converge mais tf(t)n’est pas bornée lorsque t→+∞.
Exercice 6. (MP)
Soient a, b ∈ R∪ {+∞} avec a < b et f, g deux fonctions numériques positives, continues par morceaux surI = [a, b[.
1. Montrer que sig est d’intégrale convergente surI et si au voisinage de b, f = O(g) alors f est d’intégrale convergente sur I et au voisinage deb
Z b x
f(t)dt=O Z b
x
g(t)dt
2. Montrer que sigest intégrable surI et si au voisinage deb,f ∼galors f est intégrable surI et au voisinage deb
Z b x
f(t)dt∼ Z b
x
g(t)dt
3. Montrer que si g n’est pas d’intégrale convergente surI et si au voisi- nage deb, f ∼g alorsf n’est pas d’intégrale convergente sur I et au voisinage deb:
Z x a
f(t)dt∼ Z x
a
g(t)dt
Exercice 7. (MP)
En utilisant l’exercice précédent, montrer que : 1. Au voisinage de x= 0,
Z x 0
ln(ln(1 +t))dt∼xlnx
2. Quandx tend vers+∞, Z x
0
et2dt∼ ex2 2x
(Indication : on pourra montrer et utiliser que dxd ex2
2x
∼ex2)
