PC/MP Analyse S4 2020
TD3 - Intégrales généralisées Premiers réflexes
Exercice 1.
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes ? Si oui, les calculer.
1. Rπ2
0 √cost sintdt 2. R1
0 lnt dt.
3. R+∞
1 sint dt 4. R0
−∞etdt
Exercice 2. (Question de cours)
Soient a, b ∈ R∪ {+∞} avec a < b et f, g deux fonctions numériques positives continues par morceaux sur [a, b[. Supposons que pour tout t ∈ [a, b[,0≤f(t)≤g(t).
1. Montrer que si Rb
ag est convergente alorsRb
af l’est aussi.
2. Montrer que si Rb
af est divergente alorsRb
ag l’est aussi.
Exercice 3.
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes ? Si oui, les calculer.
1. R+∞
−∞
1 1+t2dt 2. R+∞
−∞ t dt Exercice 4.
Les intégrales suivantes sont-elles convergentes ? 1. R1
0 ln(t)2dt 2. Rπ2
0 (tant)αdt (on discutera suivant la valeur de α∈R).
1
Exercice 5.
1. Soit une fonction f : [1,+∞)→ R continue telle quef tend vers une limitel6= 0 en +∞. Montrer que l’intégraleR+∞
1 f(t)dtdiverge.
2. Donner un exemple de fonction f : R+ −→ R continue telle que R+∞
0 f(x)dxest convergente, et telle quef ne tend pas vers 0 a l’infini (on cherchera à construiref de sorte à ce que l’aire sous sa courbe soit finie).
Exercice 6. Soienta, b∈R∪{+∞}aveca < betf une fonction numérique continue sur[a, b[.
1. Montrer que si lim
x→bf(x) existe alors f est bornée.
2. Soitk≥0. Montrer que si pour tout1≤j≤k,lim
x→bxjf(x)existe alors il existeC >0etC0 >0 tels que
|f(x)| ≤ C
1 +|x|k ≤ C0 (1 +|x|2)k2
.
3. Montrer quef :R−→Rdéfinie par
f(x) = cos(x2) (x3−4x) 3 + 2x2+x6 , est intégrable surR.
4. La fonctionx7→e−
√|x|est-elle intégrable sur R?
Exercice 7. Déterminer si les intégrales suivantes convergent ou non :
I1= Z 1
0
dt (1−t)√
t; I2= Z +∞
0
lnt
t2+ 1dt; I3 = Z 1
0
sin(1 t2)dt;
I30 = Z +∞
0
sin(1
t2)dt; I4= Z +∞
0
√ dt
et+ 1; I5 = Z +∞
0
1 et−1dt;
I6 = Z +∞
0
e−(lnt)2dt; I7= Z π
2
0
√
tantdt; I8 = Z +∞
2
dt t lnt;
I9 = Z +∞
0
(t+2−p
t2+ 4t+ 1)dt; I10= Z 2
1
√t−1
lnt dt; I11= Z +∞
0
sin(1t) t dt
2
Exercice 8.
Soit f : [0,+∞[→ R une fonction continue par morceaux. On suppose queR∞
0 f(t)dt converge.
1. Déterminer
x→+∞lim Z x
x 2
f(t)dt.
2. On suppose de plus que f est positive et décroissante. Montrer que f(x) =o(x1) au voisinage de+∞.
3. Donner un exemple de fonction f telle que R∞
0 f(t)dt converge mais tf(t)n’est pas bornée lorsque t→+∞.
Exercice 9. (MP)
Soient a, b ∈ R∪ {+∞} avec a < b et f, g deux fonctions numériques positives, continues par morceaux surI = [a, b[.
1. Montrer que sig est d’intégrale convergente surI et si au voisinage de b, f = O(g) alors f est d’intégrale convergente sur I et au voisinage deb
Z b
x
f(t)dt=O Z b
x
g(t)dt
2. Montrer que sigest intégrable surI et si au voisinage deb,f ∼galors f est intégrable surI et au voisinage deb
Z b x
f(t)dt∼ Z b
x
g(t)dt
3. Montrer que si g n’est pas d’intégrale convergente surI et si au voisi- nage deb, f ∼g alorsf n’est pas d’intégrale convergente sur I et au voisinage deb:
Z x a
f(t)dt∼ Z x
a
g(t)dt
Exercice 10. En utilisant l’exercice précédent, montrer que : 1. Au voisinage de x= 0,
Z x 0
ln(ln(1 +t))dt∼xlnx
2. Quandx tend vers+∞, Z x
0
et2dt∼ ex2 2x
(Indication : on pourra montrer et utiliser que dxd ex2
2x
∼ex2)
3
