Exercices sur les espaces vectoriels de dimension finie (applications linéaires et théorème du rang, projecteurs et symétries)

(1)

Exercices sur les espaces vectoriels de dimension finie (applications linéaires et théorème du rang,

projecteurs et symétries)

1 Question préliminaire :

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E.

Comparer Ker f et Ker f² ; Im f et Im f².

Dans la suite, on suppose que E est de dimension 3, dim Ker f1et que Ker f  Im f.

1°) Démontrer que : dim Im f²0  Imf Ker f. Conclure.

2°) Démontrer que : dim Im f²2  ^Im^f^Ker^ ^f^

 

⁰ . Conclure.

3°) Déterminer dim Im f² et dim Ker f².

2 Soit f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E de dimension finie n tels que g^ f 0 et f g soit bijective.

Démontrer que l’on a : rgfrggn.

3 Soit f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E de dimension finie tels que EImf Im gKerf Ker g.

Démontrer que les deux sommes sont directes.

On dit que deux sous-espaces vectoriels A et B sont en somme directe pour exprimer que : E = A + B et A  B = { 0 }.

On dit aussi que A et B sont supplémentaires dans E.

4 Soit f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E de dimension finie tels que fgid_E et rgfrggdim E.

Démontrer que f et g sont deux projecteurs de E.

Indication : démontrer d’abord que l’on a : KergIm f et ImgKer f. 5 Théorème des noyaux et des images itérés

Soit E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E.

Pour tout entier naturel p, on note I_pImu^p et K_pKer u^p. 1°) Démontrer que, pour tout entier naturel p, K_pK_p₁ et I_p_₁I_p. 2°) On suppose que E est de dimension finie et que u est injectif.

Déterminer I_p et K_p pour tout entier naturel p.

3°) On suppose que E est de dimension finie et que u est non injectif.

a) Démontrer qu’il existe un plus petit entier naturel rn tel que K_rK_r₁.

b) Démontrer qu’alors I_r I_r₁ et que, pour tout entier naturel p, on a : K_rK_{r p}_ et I_rI_{r p}_ . c) Démontrer que l’on a : EK_rI_r.

4°) Lorsque E n’est pas de dimension finie, existe-t-il un plus petit entier naturel r tel que K_rK_r_₁ ?

6 Soit n un entier naturel tel que n1.

On pose ^En

 

X . Soit  l’application de E dans E telle que 

 

^P ^{P X}^



¹



^^{P X}

 

. 1°) Démontrer que est un endomorphisme de E.

2°) Déterminer Ker par deux méthodes différentes : a) directement ;

b) en observant que si PKer, alors ^P

 

⁰ ^^P

 

¹ ^...^{P n}^

 

. 3°) Déterminer Im .

7 Soit E et F deux espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F telle que les deux espaces Ker f et Im f soient de dimension finies.

Démontrer que E est de dimension finie.

Indications :

Soit



u u1, 2, ...,u_p



une base de Im f. Pour tout entier naturel i compris entre 1 et p, il existe un élément e_i de E tel que uif e

 

i .

Distinguer 3 cas : - ^Ker ^f^

 

⁰ ^;

- Ker fE ;

- ^Ker ^f

 

⁰ et Kerf E.

8 Soit E un espace vectoriel de dimension finie.

Soit f et g deux endomorphismes de E tels que fg fg. 1°) Déterminer



f^idE

 

^ g^idE



.

2°) Démontrer f^gg^ f.

9 Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E.

1°) Comparer Ker f et Ker f² ; Im f et Im f².

2°) Dans la suite, on suppose que E est de dimension finie.

Démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes : a) Ker fKer f².

b) Im fIm f² c) ImfKer f 

 

0 .

3°) On suppose que l’une des conditions du 2°) est vérifiée.

Démontrer que pour tout entier naturel n non nul on a : Ker f Ker fⁿ et Im f Im fⁿ.

10 Soit l’application de n

 

X dans n

 

X qui à tout polynôme P fait correspondre le polynôme P'P. 1°) Démontrer que est un endomorphisme de n

 

X .

2°) Démontrer que est bijectif.

3°) En déduire que toute fonction f : x  ^e^^x^{P x}

 

où P est un polynôme admet une primitive de la forme F : x  ^e^^x^{Q x}

 

où Q est un polynôme.

(2)

11 1°) Soit n un entier naturel non nul. On note  l’application de K_n1

 

X dans ^Kn

 

^X . définie par ^

 

^P ^^P^{(X 1)}^ ^^P^(X)^.

Démontrer que  est bien définie, linéaire surjective.

2°) Soit  l’application de [X] dans [X] définie par 

 

^P ^^P^{(X 1)} ^^P^(X). Démontrer que  est un endomorphisme.

Déterminer Ker  et Im .

3°) Soit P un polynôme de [X] et n un entier naturel quelconque.

Démontrer que :

     

^

 

0

1 1

n

n k

n

k

P n P X k

k



       



  ^. En déduire que si degPn, alors on a

 

^

 

0

1 0

n k

k

n P X k k



     



  ^.

12 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

On note l’application de n_1

 

X dans n_1

 

X qui à tout polynôme ^{P X}

 

fait correspondre le polynôme





¹



P X .

1°) Démontrer que est un endomorphisme de n_1

 

X . 2°) Démontrer que – id est nilpotent.

En déduire qu’il existe des réels a₁, a₂…, a_n tels que pour tout polynôme P de n_1

 

X on ait

 

^

 

1 n

k k

P X a P X k





 ^.

13 Question préliminaire :

Soit f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension quelconque tels que f  g = g  f.

Démontrer que le noyau et l’image de g sont stables par f.

Dans la suite de l’exercice, on se place dans un espace vectoriel E de dimension finie égale à n avec n2 sur un corps commutatif K.

On considère n endomorphismes nilpotents u₁, u₂, … u_n qui commutent deux à deux (c’est-à-dire tels que pour tout couple



i j,



d’entiers compris entre 1 et n au sens large on ait u_iu_ju_ju_i).

Pour tout entier naturel i, compris entre 1 et n au sens large, on pose ^F_i^Im



û_i^û_i₁^^û_n



. 1°) Démontrer que pour tout entier naturel k compris entre 1 et n – 1 au sens large, F_k_₁ est stable par u_k. 2°) En déduire que uk



Fk_1



Fk_1.

3°) Démontrer que Fkuk



Fk_1



. 4°) Démontrer que dim dimF_kdimF_k_₁. 5°) Démontrer que dim Im



u1^u2^^u_n



0. Que peut-on en déduire pour u₁u₂u_n ?

14 Soit n un entier naturel non nul et K un corps commutatif.

On note S_n l’ensemble des bijections de l’ensemble



1 ; 2 ; ... ;n



dans lui-même.

On pose EKⁿ muni de sa structure canonique d’espace vectoriel.

On note D la droite vectorielle engendrée par le vecteur



1, 1, ..., 1 .



On pose



1 2



1

, ,..., / 0

n

n i

i

H x x x E x



 

 

   

 





^.

Démontrer que les sous-espaces vectoriels F de E tels que pour tout  S_n, si



x x₁, ₂, ...,x_n



F, alors

     



^x^¹^,^x^²^{, ...,}^x^ⁿ



^^F^sont

^{ }

⁰^E , D, H et E.

Indication : Démontrer que si F est un sous-espace vectoriel de E différent de

 

⁰_E , D, H a cette propriété de stabilité, alors



^1,1, 0, 0, ..., 0



F et



1, 1,1, ...,1



F.

On pourra utiliser les bijections particulières.

(3)

Corrigés

1 2°) Im f²Imf ; Ker f²Ker f. Soit xImfKer f.

 

' 0 x f x

f x



 

 

 ^f²

 

^x^' ⁰ d’où 'xKer f donc x = 0 3°) dim Im f²2  dim Ker f²1 Ker fKer f²

Donc : dim Im f²1 et dim Ker f²2 4 Si xKer f, alors ^{g x}

 

^^x^.

Ker gImf  dim Ker gdim Imf rg frg gdim E d’où dim Ker gdim Imf. Ker gImf

De même, ImgKer f.

7 ImfVect



u1, ...,u_p



. uif e

 

i

   

1 p

i i

i

f x f e







 

1

0

p

i i

i

f x f e



 

   

 





 ^donc

^{ }

1

Ker

p

i i

i

x f e f







 

On distingue 3 cas :

- ^Ker^f

 

⁰

- Ker fE

- ^Ker^f

 

⁰ et Ker fE Solution détaillée :

Attention, ne pas écrire « Ker f et Im f sont de dimensions finies, donc la somme de leurs dimensions existe et par suite, dim E  dim Kerf dim Im f». Le théorème du rang ne permet pas de déduire que E est de dimension finie.

Soit



u u1, 2, ...,u_p



une base de Im f.

Il existe une famille



e e1, 2, ...,e_p



d’éléments de E tels que, pour tout entier naturel i compris entre 1 et p

 

i i

f e u. Il est clair que cette famille est libre car une combinaison linéaire

1

0

p i i i

e



 



^implique

1

0

p i i i

f e



 

 

 





 ^donc

1

0

p i i i

u



 



^.

L’indépendance linéaire de la famille



u u1, 2, ...,u_p



implique alors que tous les scalaires _i sont nuls.

Soit x un vecteur quelconque de E. Il existe des scalaires ₁ , ₂,_p tels que

 

1 1

p p

i i i i

i i

f x u f e

 

 

 

   

 

 

 

^.

Il s’ensuit que

1

Ker

p i i i

x e f







  ^. Si f est bijective, alors

 

1 p

i i

i

x f e





 et on en déduit que



e e1, 2, ...,e_p



est une base de E et donc que E est de dimension finie.

10 1°) Démontrons que est une application linéaire



P1 P2

  

P1

 

P2

     



^kP



^k

 

^P

  

Grâce au degré, on peut dire que est un endomorphisme de n

 

X . 2°) Démontrons que est bijectif.

On étudie le noyau de 

' 0

PP  P'P P0 (on étudie le degré)

 

Ker   0

3°) ^x^^e^^x^{Q x}

 

est dérivable

Trouver un Q tel que



^e^^x^{Q x}

  

^'^^e^^x^^{P x}

^{ }



 



^e^^x^{Q x}



^'^^e^^x^_^{Q x}^^'

^{ }

^^{Q x}^

^{ }

^_^^Q^'^^Q^^P

Comme est bijectif, Q tel que Q'QP.

13 2°) Pour démontrer que l’inclusion est stricte, je conseille de considérer l’endomorphisme  uk qui est l’endomorphisme induit par u_k sur le sous-espace F_k.

Cet endomorphisme est nilpotent donc il n’est pas bijectif…

(4)

Questions de cours

1 Énoncer et démontrer le théorème du rang (énoncé et démonstration).

2 Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K.

On suppose que E et F sont de dimension finie et que leurs dimensions sont égales.

Soit f une application linéaire de E dans F.

Démontrer que f injective  f surjective  f bijective.