Lycée Pierre de Fermat 2020/2021
MPSI 1 TD
Espaces vectoriels de dimension finie
Dans la feuille, (K,+,×) désigne un corps qui est Q,RouC.
1 Notion de dimension.
⊲ Exercice 1.1.
Calculer la dimension de F ={(x1, x2, x3)∈ R3 | x1+ 3x2 = 0} et proposer un supplémentaire de cet espace dansR3.
⊲ Exercice 1.2.
SoitF={(x1, x2, x3, x4)∈R4 |x1= 2x2−x3, x4=x1+x2+x3}.
1. Montrer queFest unR-espace vectoriel de dimension finie. Quelles sont, a priori, ses dimensions possibles.
2. Déterminer sa dimension et une base deF. 3. Proposer un supplémentaire deF.
4. Construire deux endomorphismes deR4, l’un dont le noyau est F et l’autre dont l’image estF.
⊲ Exercice 1.3.
Soitf ∈ LR(R3) définie par
∀(x, y, z)∈R3, f(x, y, z) = (−y+ 3z, x+y,2x+ 2y).
Déterminer le noyau def, son image, donner une base de chacun de ces sous-espaces vectoriels et leurs équations paramétriques. Imf et Kerf sont-ils supplémentaires ?
⊲ Exercice 1.4. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels deE.
1. Montrer queF∪Gest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement siF ⊆GouG⊆F.
2. Montrer queF et G admettent un supplémentaire commun si et seulement si ils ont même dimension.
On pourra commencer par prouver que si F et G sont des sous-espaces vectoriels distincts de même dimension, alors il existe une droite vectorielle qui n’intersecteF ∪Gqu’en{0E} (on pourra la chercher sur un dessin afin de prouver son existence). Ensuite, on pourra tenter une récurrence sur la dimension du supplémentaire.
3. Trouver un exemple concret d’application de l’existence d’un supplémentaire commun... à l’occasion d’un exercice et en parler à votre professeur !
⊲ Exercice 1.5. Sous-espaces vectoriels de LK(E, F).
1. L’ensemble{u∈ LR(R2)|Im(u) = Vect{(1,1)}}est-il un sous-espace vectoriel deLR(R2) ?
2. Calculer la dimension deH={u∈ LR(R2)| Im(u)⊂Vect{(1,1)}} et en donner une base. On pourra, dans un premier temps, prouver que la question a un sens, puis montrer que l’ensemble considéré est isomorphe à un espace vectoriel dont on connaît canoniquement une base et la dimension.
3. Calculer de même la dimension deK={u∈ LR(R3,R2)|Vect{(1,0,1)} ⊂Keru et Im(u)⊂Vect{(1,1)}}
et en donner une base.
2 Rang d’une famille.
⊲ Exercice 2.1.
1. Montrer que la famille{x7→1, x7→ex, x7→sin(x)} est libre dans leR-espace vectoriel F(R,R). Quel est son rang ?
2. Quel est le rang de la famille
{x7→1, x7→x2+ 1, x7→3x2, x7→ex, x7→sin(x), x7→cos(x)}?
⊲ Exercice 2.2.
Quel est le rang de la familleF ={(1,−1,−1), (2,−1,1), (1,0,2)}? Donner une représentation paramétrique de Vect{F}dansR3.
⊲ Exercice 2.3.
Trouver des bases et les dimensions des sous-espaces vectoriels deC0(R,R) constitués par {x7→ (ax2+bx+ c) cos(x)|(a, b, c)∈R3} et par{x7→(ax2+bx+c) cos(x+ϕ)|(a, b, c, ϕ)∈R4}.
⊲ Exercice 2.4. Soient (f1, f2, f3)∈ LR(R3,R) définies par
∀(x, y, z)∈R3, f1(x, y, z) =x+y+z, f2(x, y, z) = 2x−3y, f3(x, y, z) =x+y+1 2z.
Quel est le rang de la famille{f1, f2, f3}? que peut-on en déduire ?
⊲ Exercice 2.5.
Montrer que la famille{Xk(1−X)n−k}06k6n (n∈N∗) constitue une base duR-espace vectoriel des polynômes réels de degré au plusn.
3 Rang d’une application linéaire. Théorème du rang.
3.1 Applications de “l’accident” de la dimension finie
⊲ Exercice 3.1.
Soient (a, b)∈C2et A∈C[X]. Montrer qu’il existe un uniqueP ∈C[X] tel queP(X−a) +P(X−b) =A(X).
⊲ Exercice 3.2.
Montrer que, pour toutA∈C[X], il existe un uniqueP∈C[X] tel que P′′(X) +P′(X) +P(X) =A(X).
⊲ Exercice 3.3. Preuve du théorème de Bézout via l’algèbre linéaire.
Soient (A, B)∈(K[X]\ {0K[X]})2 tels queA∧B= 1. Notonsa(resp.b) le degré deA(resp.B) et considérons l’aplication
Ψ
Kb−1[X]×Ka−1[X] −→ Ka+b−1[X]
(U(X), V(X)) 7−→ A(X)U(X) +B(X)V(X) . 1. Montrer que Ψ est une application linéaire.
2. Ψ est-elle injective ? 3. Conclure.
3.2 Théorème du rang
⊲ Exercice 3.4. Soient EunK-espace vectoriel de dimension finie etf ∈ LK(E). Montrer que Imf = Imf2 ⇐⇒ Imf⊕Kerf =E ⇐⇒ Kerf = Kerf2.
⊲ Exercice 3.5.
Soit (e1, e2) la base canonique deR2.
1. Déterminer l’ensembleE des endomorphismesude R2 tels que Im(u) = Vect{e1+e2}. Est-ce un sous- espace vectoriel deLR(R2) ?
2. Exprimer, pouru∈ E, u2 en fonction de u. Pouvait-on prévoir le résultat ? Que dire de la dimension de R[u] ? La dimension d’uneK-algèbre est sa dimension en tant queK-espace vectoriel.
3. A-t-on, pour toutu∈ E, R2= Imu⊕Keru?
⊲ Exercice 3.6.
SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie et (f, g)∈ LK(E)2. Montrer que rg(f ◦g)6rg(f). A-t-on rg(f◦g)6rg(g) ?
⊲ Exercice 3.7. Le grand classique : appliquer le théorème du rang à une restriction
Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels de dimension finie et (f, g) ∈ LK(E, F)× LK(F, G). Montrer que dimKKer(g◦f)6dimKKer(f) + dimKKer(g). On pourra pour cela considérer la restriction def à Ker(g◦f).
⊲ Exercice 3.8.
SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie et (f, g)∈ LK(E)2 tels que g◦f = 0LK(E) et f+g∈ GLK(E).
Montrer que rg(f) + rg(g) = dimK(E).
Donner des exemples de tels endomorphismes si E =R2, E = R3 et si E est l’espace vectoriel des fonctions polynômiales de degré au plusn(n∈N∗)(on pourra penser à l’endomorphisme dérivation et à ses itérés).
⊲ Exercice 3.9.
SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie etf ∈ LK(E).
Montrer que Kerf = Imf si et seulement si [f2= 0LK(E)et 2rg(f) = dimKE ].
⊲ Exercice 3.10. Inégalités et rang d’applications linéaires.
SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie n∈N∗. Soient (u, v)∈ LK(E)2. Les deux inégalités suivantes se prouvent indépendamment l’une de de l’autre.
1. Montrer que
rg(u) + rg(v)6rg(u◦v) +n.
Indication : on pourra étudier la restriction ˜ude u à Imv et montrer que Im˜u= Im(u◦v) et Ker˜u= Keru∩Imv, puis appliquer le théorème du rang.
2. Montrer que
|rg(u)−rg(v)|6rg(u+v)6rg(u) + rg(v).
⊲ Exercice 3.11.
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien∈N∗. SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels deE. Donner une condition nécessaire et suffisante surF et Gpour qu’il existeu∈ LK(E) vérifiant Imu=F et Keru=G.
⊲ Exercice 3.12. Soient E unK-espace vectoriel de dimension finien∈N∗ et f ∈ LK(E) tel que rg(f) = 1.
Montrer qu’il existeµ∈Ktel quef2=µ.f.
⊲ Exercice 3.13. SoientE et F deuxK-espaces vectoriels de dimensions finies respectivesn∈N∗ et p∈N∗. SoientGetH deux sous-espaces vectoriels respectifs deE et F. Montrer que l’ensemble
EG,H={f ∈ LK(E, F)G⊂Kerf et Imf ⊂H } est un sous-espace vectoriel deLK(E, F) de dimension dimKH×(n−dimKG).
⊲ Exercice 3.14.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n∈ N∗. Soitu∈ LK(E) telle qu’il existe x0 ∈E pour lequel {x0, u(x0), . . . , un−1(x0)} est une base deE. NotonsC le commutant deu, à savoir l’ensemble des endomor- phismes deE qui commutent avecu:
C={v∈ LK(E)|u◦v=v◦u}. 1. Montrer queCest un sous-espace vectoriel deLK(E).
2. Montrer que C = (n−1
X
k=0
akuk ∈ LK(E)
(a0, a1, . . . , an−1)∈Kn )
où on a noté u0 l’endomorphisme idE.
3. En déduire une base deC et sa dimension.
4 Dualité.
⊲ Exercice 4.1.
1. Montrer, en un seul calcul, que
u1=
1 0 3
, u2=
1 2 6
, u3=
4 3 7
est une base deR3et expli- citer la base duale qui lui est associée.
2. Expliciter la base duale de la famille
P1(X) = 1 + 3X2, P2(X) = 1 + 2X+ 6X2, P3(X) = 4 + 3X+ 7X2 deR2[X].
3. Montrer, sans calcul, que ∃!(α1, α2, α3) ∈ R3 tels que ∀P ∈ R2[X], P′(√
2) =α1.P1∗(P) +α2.P2∗(P) + α3.P3∗(P). Donner, sans calcul, les valeurs deα1,α2 etα3.
⊲ Exercice 4.2. SoitF=
f1: R → R
x 7→ x2 , f2: R → R
x 7→ x(1−x) , f3: R → R x 7→ (1−x)2 ,
. 1. En un seul calcul, montrer queF est une base deR2[x] et expliciter sa base duale{f1∗, f2∗, f3∗}. 2. En déduire qu’il existe un unique triplet (α, β, γ)∈R3 tel que
∀P ∈R2[x], P′(1) =αf1∗(P) +βf2∗(P) +γf3∗(P).
Calculer effectivementα,β et γ.
⊲ Exercice4.3. SoientEetF deuxK-espaces vectoriels de dimensions finiesn∈N∗etp∈N∗respectivement.
SoientBE= (e1, . . . , ep) etBF = (f1, . . . , fn) des bases respectives. Expliciter la base duale de la base deE×F canoniquement associée àBE et BF.
⊲ Exercice 4.4.
SoitE unK-espace vectoriel de dimension finien∈N∗. Soitp∈N∗ etH1,. . .,Hp phyperplans deE.
1. Justifier l’existence deϕ1,. . .,ϕp pformes linéaires non nulles sur E telles que∀i∈[[1, p]], Kerϕi=Hi. 2. Soit Φ
E 7→ Kp
x → (ϕ1(x), . . . , ϕp(x)) Montrer que KerΦ =
\p i=1
Hi. 3. Montrer que dim
\p i=1
Hi>n−p.
⊲ Exercice 4.5.
SoitE unK-espace vectoriel de dimension finien∈N∗.
1. Soit (e1, . . . , en) une base deE. Notons (e∗1, . . . , e∗n) sa base duale.
Pour touti∈[[1, n]], posonsFi= Vect{e1, . . . , ei}. Montrer que, pour touti∈[[1, n]],Fi=
\n k=i+1
Ker(e∗k).
2. SoitF un sous-espace vectoriel de dimensionm∈[[0, n−1]].
Montrer qu’il existen−mhyperplans deE notésH1,. . .,Hn−mtels que F=
n−m\
k=1
Hk.
⊲ Exercice 4.6. Équation d’un hyperplan
SoitE unK-espace vectoriel de dimension finien∈N∗ etB= (e1, . . . , en) une base de E.
Soient a = (a1, . . . , an) ∈ Kn \ {0Kn} et b = (b1, . . . , bn) ∈ Kn\ {0Kn}. Notons respectivement Ha et Hb les hyperplans d’équations respectives :
Xn i=1
aixi= 0 et Xn i=1
bixi= 0
Montrer que ces deux équations dans la base B définissent le même hyperplan si et seulement si elles sont proportionnelles (ce qui équivaut àaet bsont colinéaires).
⊲ Exercice 4.7. Équation d’un hyperplan
1. Donner, dans la base (L0, L1, L2) d’interpolation de Lagrange en 0, 1 et 2 de R2[X], une équation de l’hyperplanH1 des polynômes qui s’annulent en 1 puis une équation de l’hyperplan H3 des polynômes qui s’annulent en 3. Donner des bases deH1 etH3.
2. (a) Donner, dans la base canonique de Kn[X], une équation de l’hyperplan H des polynômes dont le polynôme dérivé s’annule en 1. En déduire une base de cet espace vectoriel.
(b) Donner une équation de cet hyperplan H dans la base de Taylor en 1. En déduire une base de cet espace vectoriel.
5 L’indispensable : complétez, démontrez ou infirmez les assertions suivantes.
⊲ Exercice 5.1.
1. SoientE etF deuxK-espaces vectoriels etf ∈ LK(E, F). L’image de toute famille libre/liée/génératrice deEest une famille libre/liée/génératrice deF. Le fait que les espaces soient de dimension finie change-t-il quelquechose au résultat ?
2. SoientE et F deuxK-espaces vectoriels etf ∈ LK(E, F). Si l’image d’une famille finie deE est respec- tivement une famille libre/liée/génératrice deF, alors la famille de départ est respectivement libre/liée/- génératrice. Le fait que les espaces soient de dimension finie change-t-il quelquechose au résultat ? 3. Les sous-ensembles suivants deRN(R-espace vectoriel des suites réelles) sont-ils des sous-espaces vectoriels
deRN de dimension finie ? (a) E1=
(
u∈RN ∃N ∈N : XN i=0
ui= 0 )
,
(b) E2= (
u∈RN ∃N ∈N : XN i=0
ui=−1 )
,
(c) E3= (
u∈RN X7 i=0
ui= 0 )
,
(d) E4= (
u∈RN X7 i=0
ui= 0 et ∀n∈[[8,+∞[[, un= 0 )
, (e) E5={u∈RN| ∃N∈N : ∀n∈N, n>N⇒un= 0}, (f) E6={u∈RN| ∀n∈N, n>123⇒un = 0},
(g) E7={u∈RN| ∀n∈N, n <13⇒un≡0[3]}, (h) E8={u∈RN| ∀n∈N, n>4⇒un+un+1=−1},
(i) E9={u∈RN| ∀n∈N, n>4⇒un+un+1= 0},
(j) E10={u∈RN| ∃N ∈N : ∀n∈N, n>N⇒un+un+1= 0},
4. Comment justifie-t-on que x ∈ X appartient à f−1(A) (A est une partie d’un ensemble Y et f une application deX dansY) ? À quelle condition surf ∈ LK(E, F) peut-on écrire{0E}=f−1({0F}) ? que peut-on écrire en toute généralité ?
5. Les deux familles{(2,3,−1), (1,−1,−2)}et {(3,7,0), (5,0,−7)}engendrent le même sous-espace vecto- riel.
6. Que dire des noyaux et des images def etfp pourp∈N∗\ {1}et f ∈ LK(E) ?
7. Sif ∈ LK(E, F), les polynômes enf forment un sous-espace vectoriel des applications linéaires deEdans F.
8. Que dire de la dimension de l’image et du noyau def ∈ LK(E, F) sif n’est pas injective (resp. surjective), lorsqueE etF sont desK-espaces vectoriels de dimension finie.
9. Construire des endomorphismes deR2dont les noyaux ont pour dimension toutes les valeurs possibles.
10. Même question avec les images.
11. Existe-t-il des endomorphismes deR2 dont l’image est égale au noyau ?
12. Même question dans R3 et R4? en déduire un résultat général sur l’existence d’endomorphismes deRn dont le noyau est égal à l’image.
13. Soit P(X) un polynôme de degré 2. La famille des polynômes{P(X+ 1), P(X), P(X−√
3), P(X+π)} est-elle libre ou liée ?
14. La famille de fonctions deRdansR{x7→2 sin(x), x7→cosx−3 sinx, x7→sin(x+ 1)}est-elle libre ou liée ?
15. Peut-on trouver 5 suites linéairement indépendantes satisfaisant une même relation de récurrence linéaire d’ordre 4 du type∀n∈ N, un+4+a3un+3+a2un+2+a1un+1+a0un = 0 où (a0, a1, a2, a3)∈ R4 sont fixés ?
16. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel des solutions d’une équation différentielle homogène linéaire d’ordre 1 ? et d’ordre 2 ? et d’ordren(conjecture pourn>3, résultat de cours pourn= 1 etn= 2) ? 17. Donner deux bases de l’espace vectoriel des applications linéaires de R4 dansR. Cet espace vectoriel est
l’... deR4 (important).
18. Donner une base des espaces vectorielsLC(C,C2) et une base deLR(C,C2) (important).
19. Donner un isomorphisme entreR3et l’espace vectoriel des suites réelles périodiques dont 2 est une période.
20. Existe-il des applications linéaires surjectives deR4 dansR5? 21. Existe-il des applications linéaires surjectives deR4 dansR2? 22. Existe-il des applications linéaires injectives deR4dansR5? 23. Existe-il des applications linéaires injectives deR4dansR4?
24. Toutes les applications linéaires deR4 dansR4sont injectives ou surjectives.
25. Donner un endomorphisme injectif et un endomorphisme non injectif de l’espace vectoriel des suites périodiques dont 6 est une période.
26. Donner une application linéaire surjective non injective duR-espace vectoriel des fonctions polynômiales de degré au plus 3 dans leR-espace vectorielR3, puis dansR4.
27. Donner la dimension de{(x1, x2, . . . , xn)∈Rn |x1+x2+. . . xn= 0}. Quelle est la structure algébrique de{(x1, x2, . . . , xn)∈Rn |x1+x2+. . . xn =√
3}, la préciser entièrement.
28. Dans le R-espace vectoriel des fonctions polynômiales de degré au plus 5, quelle est la dimension des supplémentaires de celles qui s’annulent en 2 ? quelle est la dimension des supplémentaires de celles qui sont paires ?
29. Un endomorphisme nilpotent dans un espace vectoriel de dimension finie ne peut pas être surjectif. Un endomorphisme nilpotent dans un espace vectoriel de dimension infinie peut-t-il être surjectif ?
30. Un endomorphisme nilpotent ne peut pas avoir d’autres valeurs propres que 0.
31. Sif ∈ LK(E) vérifiefp=−3idE pourp∈N∗fixé, alorsf ∈ GLK(E). Cet énoncé est-il affecté par le fait queEsoit de dimension finie ou non ?
32. Le théorème du rang dit que dans un espace vectoriel de dimension finie, comme la dimension de l’image d’un endormorphisme est égale à la dimension de l’espace moins celle du noyau, l’image et le noyau sont supplémentaires.
33. Si (un)n∈N est une suite réelle satisfaisant∀n ∈ N, un+2−un+1+1
4un = 0, alors cette suite converge vers 0.
34. L’équation de récurrence linéaire∀n∈N, un+3=a2un+2+a1un+1+a0un admet une droite vectorielle de solutions constantes non triviales si et seulement si ...
35. Si (un)n∈N est une suite complexe satisfaisant ∀n ∈N, un+2+ i−1
2 un+1− i
4un = 0, alors cette suite converge vers 0.
36. Soit (un)n∈Nune suite réelle satisfaisant,∀n∈N, un+2−3un+1+ 4un= 0. Si cette suite converge, alors sa limite est nulle.
37. Soit (un)n∈Nune suite réelle satisfaisant,∀n∈N, 2un+3−un+1+un = 0. Si cette suite converge, alors sa limite est nulle.
38. Soit (un)n∈N une suite réelle satisfaisant, pour un p∈ N∗ quelconque,∀n ∈N, un+p =ap−1un+p−1+ ap−2un+p−2+. . .+a0un. Si cette suite converge, alors soit cette limite est nulle, soitap−1+ap−2+. . .+a0= 1.
Correction des exercices
⊲ Corrigé de l’exercice 1.1
x1
x2
x3
∈F ⇐⇒ x1+ 3x2= 0
1 inconnue principalex1, 2 inconnues secondairesx2 etx3
⇐⇒
x1
x2
x3
∈
−3s s
t
(s, t)∈R2
⇐⇒
x1
x2
x3
∈Vect
−3 1 0
,
0 0 1
Ce calcul prouve queF = Vect
−3 1 0
,
0 0 1
donc c’est un sous-espace vectoriel deR3. La famille
−3 1 0
,
0 0 1
engendre F et elle est libre (les deux vecteurs n’étant évidemment pas coli- néaires) donc c’est une base deF si bien que dimRF = 2.
Tout supplémentaire deF dansR3est de dimension dimR3−dimF = 1 : ce sera une droite vectorielle.
Pour expliciter un supplémentaire, cherchons à compléter
−3 1 0
,
0 0 1
en une base deR3. Nous savons qu’une telle opération est possible à condition de choisir le vecteur qui manque dans une famille génératrice de R3, par exemple la base canonique de R3: (e1, e2, e3).
e1∈/ Vect
−3 1 0
,
0 0 1
donc
−3 1 0
,
0 0 1
, e1
est libre et de cardinal maximal dansR3 donc c’est une base deR3 si bien que Vect{e1} est un supplémentaire deF.
On aurait aussi pu diree2∈/ Vect
−3 1 0
,
0 0 1
donc
−3 1 0
,
0 0 1
, e2
est libre et de cardinal maximal dansR3donc c’est une base de R3 si bien que Vect{e2} est un supplémentaire deF.
En revanche,e3∈Vect
−3 1 0
,
0 0 1
donce3n’engendre pas un supplémentaire de F.
⊲ Corrigé de l’exercice 1.2
1. Montrons queF est sous-espace vectoriel
• Méthode 1 : stabilité par combinaison linéaire.
• Méthode 2 : intersection de noyaux de formes linéaires.Posonsϕ1:
R4 → R
x1
x2
x3
x4
7→ x1−2x2+x3
et ϕ2 :
R4 → R
x1
x2
x3
x4
7→ x1+x2+x3−x4 . ϕ1 et ϕ2 sont deux formes linéaires sur R4 (exo) et F = Kerϕ1∩Kerϕ2 doncF est un sous-espace vectoriel deR4.
• Méthode 3 : noyau d’une appication linéaire.
Posonsψ:
R4 → R2
x1
x2
x3
x4
7→
x1−2x2+x3
x1+x2+x3−x4
Alorsψ∈ LR(R4,R2) (exo) doncF = Kerψ est
un sous-espace vectoriel de R4.
• Méthode 4 : sous-espace engendré par une famille.
x1
x2
x3
x4
∈F ⇐⇒
x1 − 2x2 + x3 = 0 x1 + x2 + x3 − x4 = 0
⇐⇒
x4 − x1 − x2 − x3 = 0 x1 − 2x2 + x3 = 0
⇐⇒
x1
x2
x3
x4
∈
2s−t
s t 3s
(s, t)∈R2
⇐⇒
x1
x2
x3
x4
∈Vect
2 1 0 3
,
−1 0 1 0
doncF est un sous-espace deR4.
L’avantage de cette méthode, c’est qu’en un seul calcul, elle montre que F est un sous-espace vectoriel, qu’il est engendré par 2 vecteurs donc il est de dimension finie, or ces 2 vecteurs sont libres (car non proportionnels) donc ils forment une base deF si bien que dimF = 2.
Ainsi,F est un sous-espace vectoriel deR4, orR4est de dimension finie donc F est unR-espace vectoriel de dimension finie . De plus
dimF∈ {0,1,2,3,4} En fait,
⋆ F 6={0R4}car
1 0 0 1
∈F donc dimF >1,
⋆ F 6=R4car
0 0 0 1
∈/F donc dimF 63,
si bien que dimF∈ {1,2,3} .
Si on a choisi la méthode 2, on peut être plus précis en utilisant le théorème du rang. En effet, par construction, rgψ= dimImψ6dimR2= 2 donc le théorème du rang appliqué àψdonne
dimKerψ= dimR4−rgψ>4−2 = 2 donc dimF ∈ {2,3} .
2. Pour déterminer la dimension et une base deF, reprenons la méthode 4 ci-dessus qui répond à toutes les questions simultanément :
u1=
2 1 0 3
, u2=
−1 0 1 0
est une base deF et dimRF = 2 .
3. Il existe une infinité de supplémentaires possibles pourF.
Une technique de construction (voir le cours et le lemme fondamental 1) consiste à choisir une famille génératrice finieG deR4(par exemple la base canonique{e1, e2, e3, e4}) pour compléter{u1, u2} en une base de R4 en lui adjoignant des vecteurs de G. Pour des raisons de dimension, nous savons qu’il faut rajouter deux vecteurs{u1, u2}pour en faire une base. Par exemple,{u1, u2, e1, e2}ou{u1, u2, e2, e3}. En revanche,{u1, u2, e1, e3}n’est pas une base caru2=−e2+e3.
Montrons que Vect{e1, e3} est un supplémentaire de F dans R4.Il suffit pour cela de montrer que {u1, u2, e1, e2}est une base deR4.
Soit
a b c d
∈R4fixé quelconques. Cherchons (λ, µ, ν, δ)∈R4 tels que
λ.u1+µ.u2+ν.e1+δ.e2=
a b c d
⇐⇒
2λ − µ + ν = a
λ + δ = b
µ = c
3λ = d
⇐⇒
λ + δ = b
− µ + ν − 2δ = a−2b
µ = c
− 3δ = d−3b
⇐⇒
λ + δ = b
µ = c
ν − 2δ = a−2b+c
− 3δ = d−3b
si bien qu’il existe un unique quadruplet solution donc la famille{u1, u2, e1, e2} est une base deR4. Par conséquent,
R4= Vect{u1, u2} ⊕Vect{e1, e2}=F⊕Vect{e1, e2}
4. Un endomorphisme deR4 est caractérisé (=parfaitement défini et de manière unique) par l’image d’une base de l’espace de départ.
⋆ Construire un endomorphismef deR4dont le noyau est F.
Choisissons de définirf par l’image de la base{u1, u2, e1, e2} (qui est construite à partir d’une base deF) :
f :
R4 → R4 u1 7→ 0R4
u2 7→ 0R4
e1 7→ u1
e2 7→ u1+e1
f(u1) =f(u2) = 0R4 doncF = Vect{u1, u2} ⊆Kerf.
Par ailleurs, Imf = Vect{f(u1), f(u2), f(e1), f(e2)}= Vect{u1, u1+e1}or{u1, u1+e1}est libre donc dimImf = 2 donc le théorème du rang donne dimKerf = 2. Par conséquent, dimF = dimKerf donc l’inclusionF ⊂Kerf est une égalité de sorte que l’endomorphismef répond à la question.
⋆ Construire un endomorphismeg deR4 dont l’image estF.
Choisissons de définirg par l’image de la base canonique{e1, e2, e3, e4}:
g:
R4 → R4 e1 7→ u1
e2 7→ u2
e3 7→ 2u1−3u2
e4 7→ u1−u2
Img= Vect{g(e1), g(e2), g(e3), g(e4)}= Vect{u1, u2, 2u1−3u2
| {z }
∈Vect{u1, u2}
, u1−u2
| {z }
∈Vect{u1, u2}
}= Vect{u1, u2}= F doncgrépond à la question.
⊲ Corrigé de l’exercice 1.3
⊲ Corrigé de l’exercice 1.4
1. • Supposons que F ⊆ G (resp. G ⊆ F). Alors F ∪G = G (resp. F ∪G = F) donc F ∪G est un sous-espace vectoriel deE.
• Supposons que F∪Gest un sous-espace vectoriel deE.
Raisonnons par l’absurde en supposant que non(F⊆GouG⊆F) ⇐⇒ non(F ⊆G) et non(G⊆F).
Alors,∃xF ∈F\Get ∃xG∈G\F. Considérons le vecteurx=xF +xG.
PuisqueF∪Gest un sous-espace vectoriel, x∈F∪Gsi bien que
⋆ soitx∈F auquel casxG =x−xF
| {z }
∈F
∈F ce qui contredit le choix dexG∈G\F,
⋆ soitx∈Gauquel casxF =x−xG
| {z }
∈G
∈Gce qui contredit le choix dexF ∈F \G.,
Par conséquent, l’hypothèse de départ est fausse : on a doncF ⊆GouG⊆F.
Ainsi,F∪Gest un sous-espace vectoriel deE si et seulement siF ⊆GouG⊆F. 2. SoitE unK-espace vectoriel de dimension finien∈N∗.
• Supposons que les deux sous-espaces vectoriels F et G du K-espace vectoriel E de dimension finie admettent un supplémentaire commun notéH.
Alors, sachant que la dimension d’une somme directe de deux sous-espaces est la somme de leurs dimensions, les égalités
E=F⊕H =G⊕H impliquent
dimE= dimF + dimH = dimG+ dimH si bien que
dimF = dimG Par conséquent,F et Gont même dimension.
• Considérons la propriétéP(k) définie pourk∈[[0, n]] par
P(k) :′′deux sous-espaces vectoriels deE de même dimensionn−k admettent un supplémentaire commun′′
⋆ SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels deE de même dimensionn−0 fixés quelconques.
Alors, puisque dimF = dimH = dimE, F =H =E donc{0E} est un supplémentaire commun aux espacesF et G.
Par conséquentP(0) est vraie.
⋆ Soitk∈[[0, n−1]] fixé quelconque tel queP(k) est vraie.
SoientF et Gdeux sous-espaces vectoriels deEfixés quelconques de même dimension n−k−1 .
⋆ Cas 1 : si F∪Gest un sous-espace vetoriel de E, alors d’après la première question,F ⊆G ou G ⊆ F. Or ces deux espaces ayant même dimension, F = G. Le théorème d’existence d’un supplémentaire dans un espace de dimension finie appliqué à F permet de trouver un supplémentaireH deF et donc également deG: c’est un supplémentaire commun.
⋆ Cas 2 : siF∪Gn’est pas un sous-espace vectoriel deE. Alors F∪G(E si bien qu’il existe x∈E\(F∪G). 0E∈F doncx6= 0E. PosonsD= Vect{x} et montrons que
D∩F ={0E}=D∩G
Puisque 0E ∈D∩F, siD∩F 6={0E} alors∃λ∈K∗ :λ.x ∈F mais alorsλ−1.λ.x∈F donc x∈F ce qui contredit la construction dex∈E\(F∪G).
On en déduit queD∩F ={0E} et on montre de même queD∩G={0E}.
Par conséquent, F′ =F⊕D et G′ =G⊕D sont deux sous-espaces vectoriels de E de même dimensionn−ksi bien queP(k) permet d’affirmer qu’il existe un sous-espaceH deEsupplé- mentaire commun àF′ et G′ :
E= (F ⊕D)⊕H = (G⊕D)⊕H Par associativité de la somme directe,
E=F⊕(D⊕H) =G⊕(D⊕H) donc le sous-espaceD⊕H est un supplémentaire commun àF etG.
Par conséquentP(k+ 1) est vraie.
Ainsi, deux sous-espaces deE de même dimension admettent toujours un supplémentaire commun.
3.
⊲ Corrigé de l’exercice 1.5
1. L’ensemble{u∈ LR(R2)|Im(u) = Vect{(1,1)}}n’est pas un sous-espace vectoriel deLR(R2) car 0LR(R2)
ne lui appartient pas puisque Im0LR(R2)={0R2}.
2. • Montrons queH={u∈ LR(R2)|Im(u)⊂Vect{(1,1)}}est un sous-espace vectoriel deLR(R2).
⋆ H ⊂ LR(R2) par définition,
⋆ H 6=∅ car Im0LR(R2)={0R2} ⊆Vect{e1+e2}donc 0LR(R2)∈ H,
⋆ soient (α, β)∈R2, (u, v)∈ H2 fixés quelconques.
Soity∈Im(α.u+β.v) fixé quelconque.∃x∈R2 tel que (α.u+β.v)(x) =y donc y=α.u(x) +β.v(x) =u(α.x)
| {z }
∈Imu
+v(β.x)
| {z }
∈Imv doncy∈Imu+ Imv.
Ainsi, Im(α.u+β.v)⊆Imu+Imv= Vect{(1,1)}+Vect{(1,1)}= Vect{(1,1)}si bien queα.u+β.v∈ H.
Ainsi,Hest un sous-espace vectoriel deLR(R2).
Remarque :Hest un sous-espace vectoriel deLR(R2) qui est de dimension 4 doncHest un espace de dimension finie et sa dimension appartient à [[0,4]].
De plus, idR2 ∈ H/ donc dimH63, le projecteurpVect{e1+e2},Vect{e1}∈ Hdonc dimH>1.
En conclusion, dimH ∈ {1,2,3}.
• Considérons les endomorphismesu1etu2deR2définis par l’image qu’ils donnent de la base canonique (e1, e2) deR2:
u1:
R2 → R2 e1 7→ e1+e2
e2 7→ 0R2
et u2:
R2 → R2 e1 7→ 0R2
e2 7→ e1+e2
Montrons que{u1, u2}est une base deH.
⋆ Imu1 = Vect{u1(e1), u1(e2)} = Vect{e1+e2,0R2} = Vect{e1+e2} donc u1 ∈ H. On montre de même queu2∈ H.
Par conséquent, VectLR(R2){u1, u2} ⊆ H.
⋆ Soient (λ1, λ2)∈R2 fixés quelconques tels que
λ1.u1+λ2.u2= 0LR(R2)
Évaluons la relation ci-dessus ene1 :
λ1.u1(e1) +λ2.u2(e1) = 0R2 ⇒λ1.(e1+e2) +λ2.0R2= 0R2 ⇒λ1.(e1+e2) = 0R2
ore1+e26= 0R2 doncλ1= 0R. De même, en évaluant ene2,
λ1.u1(e2) +λ2.u2(e2) = 0R2 ⇒λ1.0R2+λ2.(e1+e2) = 0R2 ⇒λ2.(e1+e2) = 0R2
ore1+e26= 0R2 doncλ2= 0R.
Ainsi,λ1=λ2= 0Rdonc{u1, u2} est une famille libre.
⋆ Soitu∈ Hfixé quelconque.
Puisque Imu⊆Vect{e1+e2},∃(λ, µ)∈R2 :u(e1) =λ.(e1+e2) et u(e2) =µ.(e1+e2).
Montrons queu=λ.u1+µ.u2. Calculons
— (λ.u1+µ.u2)(e1) =λ.u1(e1) +µ.u2(e1) =λ.(e1+e2) +µ.0R2=λ.(e1+e2) =u(e1),
— (λ.u1+µ.u2)(e2) =λ.u1(e2) +µ.u2(e2) =λ.OR2+µ.(e1+e2) =µ.(e1+e2) =u(e2),
donc les endomorphismesuetλ.u1+µ.u2affectent les même images à une même base deR2donc, par unicité de l’endomorphisme pernant des valeurs données sur une base donnée de l’espace, u=λ.u1+µ.u2.
Ainsi,{u1, u2} est une famille génératrice deH.
Par conséquent,{u1, u2} est une base deHqui est donc un espace vectoriel de dimension 2.
3. On peut calculer de même la dimension de
K={u∈ LR(R3,R2)|Vect{(1,0,1)} ⊂Keru et Im(u)⊂Vect{(1,1)}}
et en donner une base.
On pourra noter {e1, e2, e3} la base canonique de R3, choisir Vect{e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0)} comme supplémentaire de Vect{e1+e3= (1,0,1)}et montrer que
u1:
R2 → R2 e1 7→ e1+e2
e2 7→ 0R2
e1+e3 7→ 0R2
et u2:
R2 → R2 e1 7→ 0R2
e2 7→ e1+e2
e1+e3 7→ 0R2
forment une base deK.
⊲ Corrigé de l’exercice 2.1
1. Soient (λ, µ, ν)∈R3 fixés quelconques tels que
λ.(x7→1) +µ.(x7→ex) +ν.(x7→sin(x)) = 0F(R,R)
Alors,
∀x∈R, λ+µex+νsin(x) = 0R (1)
En dérivant deux fois la relation (1), on obtient
∀x∈R, µex−νsin(x) = 0R
et en l’évaluant pourx←0,
µ= 0 si bien que la relation (1) devient
∀x∈R, λ+νsin(x) = 0R
En l’évaluant pourx←0,
λ= 0 puis en l’évaluant pourx← π
2,
ν = 0
Par conséquent, (x7→1, x7→ex, x7→sin(x)) est une famille libre dansF(R,R).
Ainsi, rg{x7→1, x7→ex, x7→sin(x)}= 3.
2. Observons tout d’abord que
(x7→x2+ 1) = 1
3.(x7→3x2) + (x7→1) si bien que
Vect{x7→1, x7→x2+ 1, x7→3x2, exp, sin, cos}={x7→1, x7→3x2, exp, sin, cos} Montrons que la famille (x7→1, x7→3x2, exp, sin, cos) est libre dans F(R,R).
Soient (λ, µ, ν, δ, σ)∈R5 fixés quelconques tels que
λ.(x7→1) +µ.(x7→3x2) +ν.exp +δ.sin +σ.cos = 0F(R,R)
Alors,
∀x∈R, λ+ 3µx2+νex+δsin(x) +σcos(x) = 0R (2) En dérivant 2 fois la relation (2), on obtient
∀x∈R, 6µ+νex−δsin(x)−σcos(x) = 0R (3) En sommant les équations (2) et (3),
∀x∈R, 6µ+λ+ 3µx2+ 2νex= 0R (4)
En dérivant 2 fois la relation (4), on obtient
∀x∈R, 6µ+ 2νex= 0R
En passant à la limite lorsquex→ −∞, par unicité de la limite, 6µ= 0⇒µ= 0 et en évaluant ensuite pourx←0,
2ν= 0⇒ν= 0 En reportant dans (4) on obtientλ= 0.
Enfin, en reportant dans (2)
∀x∈R, δsin(x) +σcos(x) = 0R
et en particularisant pourx←0 puis x← π
2, on obtient δ=σ= 0
Par conséquent, (x7→1, x7→3x2, exp, sin, cos) est une famille libre dansF(R,R).
Ainsi, rg{x7→1, x7→x2+ 1, x7→3x2, x7→ex, x7→sin(x), x7→cos(x)}= 5.
⊲ Corrigé de l’exercice 2.2
• Méthode 1, systématique qui marche toujours.
Le rang de la famille F est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Pour dé- terminer cette valeur, cherchons une base du sous-espace vectoriel engendré par la méthode classique du pivot de Gauss :
a b c
∈VectF ⇐⇒ ∃(λ, µ, ν)∈R3 : λ.
1
−1
−1
+µ.
2
−1 1
+ν.
1 0 2
=
a b c
⇐⇒ ∃(λ, µ, ν)∈R3 :
λ + 2µ + ν = a
−λ − µ = b
−λ + µ + 2ν = c
⇐⇒ ∃(λ, µ, ν)∈R3 :
λ + 2µ + ν = a
µ + ν = a+b 3µ + 3ν = a+c
⇐⇒ ∃(λ, µ, ν)∈R3 :
λ + 2µ + ν = a
µ + ν = a+b
= −2a−3b+c
⇐⇒ c−2a−3b= 0
⇐⇒
a b c
∈
s t 2s+ 3t
(s, t)∈R2
⇐⇒
a b c
∈Vect
1 0 2
,
0 1 3
Ainsi, la famille
1 0 2
,
0 1 3
engendre VectF, or elle est libre (les deux vecteurs ne sont évidem- ment pas colinéaires) donc c’est une base de VectF.
Ainsi, rgF= 2.
Une équation de VectF estc−2a−3b= 0.
Une représentation paramétrique de VectF est
s
t 2s + 3t
(s, t)∈R2
.
• Méthode 2, rapide car il n’y a que 3 vecteurs et pertinente à condition de rapidement observer une relation de liaison entre les trois vecteurs.
On observe que
1
−1
−1
−
2
−1 1
=−
1 0 2
donc VectF = Vect
1
−1
−1
,
2
−1 1
. Or la famille
1
−1
−1
,
2
−1 1
est libre (les deux vecteurs ne sont évidemment pas colinéaires) donc c’est une base de VectF.
Ainsi, rgF= 2.
La représentation paramétrique de VectF qui se déduit de cette base est
s + 2t
−s − t
−s + t
(s, t)∈R2
.
Pour obtenir une équation de VectF avec cette méthode, il faut éliminer les paramètres s et t dans la
représentation paramétrique ci-dessus :
a b c
∈VectF ⇐⇒ ∃(s, t)∈R2 :
s + 2t
−s − t
−s + t
=
a b c
⇐⇒ ∃(s, t)∈R2 :
s + 2t = a
−s − t = b
−s + t = c
⇐⇒ ∃(s, t)∈R2 :
s + 2t = a
t = a+b 3t = a+c
⇐⇒ ∃(s, t)∈R2 :
s + 2t = a
t = a+b
0 = −2a−3b+c
⇐⇒ −2a−3b+c= 0 Ainsi, une équation de VectF est−2a−3b+c= 0.
Remarque : nous avons retrouvé exactement la même équation que celle obtenue par la méthode 1 ! en fait VectF est un sous-espace vectoriel de dimension 2 dans un espace de dimension 3 donc c’est un hyperplan de R3 et nous avons vu (paragraphe sur la dualité) que, relativement à une base fixée, deux équations définissent le même hyperplan si et seulement si elles se déduisent l’une de l’autre par la multiplication par une constante non nulle, ce qui prouve que les deux équations devaient être, dans le pire des cas, proportionnelles.
⊲ Corrigé de l’exercice 2.3
⊲ Corrigé de l’exercice 2.4
Montrons que (f1, f2, f3) est une famille libre deLR(R3,R).
Soient (λ, µ, ν)∈R3 fixés quelconques tels que
λ.f1+µ.f2+ν.f3= 0LR(R3,R)
Alors,
∀u∈R3 , λ.f1(u) +µ.f2(u) +ν.f3(u) = 0R
En particulier, siu prend les valeurs des 3 vecteurs de la base canonique de R3 (à savoir (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1)), on obtient queλ, µetν vérifient le système linéaire ci-dessous
λ + 2µ + ν = 0
λ − 3µ + ν = 0
λ + 1
2ν = 0 ⇐⇒
λ + 2µ + ν = 0
− 5µ = 0
− 2µ − 1
2ν = 0
⇐⇒
λ + 2µ + ν = 0
µ = 0
ν = 0
⇐⇒ λ=µ=ν = 0 Par conséquent, (f1, f2, f3) est une famille libre deLR(R3,R).
Ainsi, (f1, f2, f3) est une famille libre deLR(R3,R) donc rg(f1, f2, f3) = 3. Son cardinal vaut 3 et elle appartient à un espace vectoriel de dimension 3 donc c’est une base deLR(R3,R).
⊲ Corrigé de l’exercice 2.5
Considérons la propriétéP(·) définie pour toutn∈N∗ par
P(n) : «{Xk(1−X)n−k}06k6n est une famille libre de R[X] »
• Soient (λ0, λ1)∈R2 fixés quelconques tels que
λ0.X0(1−X)1−0+λ1.X1(1−X)0= 0R[X]
Cette équation équivaut à
λ0.(1−X) +λ1.X= 0R[X]
