CCP Maths 1 PSI 2010 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/19

CCP Maths 1 PSI 2010 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) ; il a été relu par Olivier Glorieux (ENS Lyon) et Céline Chevalier (ENS Cachan).

Ce problème traite de l’interpolation polynomiale d’une fonction réelle continue d’une variable réelle.

• La première partie définit des polynômes d’interpolation de Lagrange et étudie l’application linéaire Λ qui, à une fonction f continue sur un segment [a;b], associe le polynôme de Lagrange Pn interpolant f en des points x0, . . . , xn

de[a;b]donnés. On montre en particulier queΛest un endomorphisme continu de C([a;b],R) muni de la norme infinie et l’on calcule sa norme. Lorsque f ∈Cⁿ⁺¹([a;b],R), on prouve également une expression de l’erreur d’interpo- lationPn−f.

• La deuxième partie consiste en une étude de fonction dont le principal but est d’obtenir, lorsque f ∈ Cⁿ⁺¹([a;b],R), une majoration uniforme de l’erreur d’interpolationPn−f dans le cas où les points d’interpolation sont les points équidistantsxi=a+i havech= (b−a)/n.

• Enfin, la troisième partie propose la démonstration d’une formule barycentrique pour Pn en fonction des (f(xk))_{k∈[[ 0 ;}_n_]], puis applique cette formule à l’interpolation polynomiale de la fonctionx7→cos (xπ/2).

D’une longueur raisonnable pour une épreuve de quatre heures, ce sujet d’analyse fait la part belle au programme de première année (étude de fonction, polynômes, racines de polynômes et théorèmes des valeurs intermédiaire et de Rolle notamment) et constitue une bonne occasion de réviser cette partie du programme de mathématiques que l’on ne saurait négliger.

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Indications

Partie I

I.1.1 Étudier le caractère défini de la forme bilinéaire symétrique positiveBsur les deux espacesR_n[X]et C(R,R).

I.2.3 Justifier que sif ∈R_n[X], alorsPn(f) =f, puis

n

P

k=0

Lk(X) = 1 I.3.1 Utiliser la question I.2.1.

I.3.2 Montrer queΦest continue sur le segment[a;b].

I.3.3 Justifier et utiliser le fait que pour tout i∈[[ 0 ;n]]

Ψ(xi)Li(τ) =|Li(τ)|

I.4.1 Penser au théorème de Rolle.

I.5.1 Montrer quePn+1−Pn∈R_n+1[X] et quex0, . . . , xn sont racines de ce poly- nôme pour conclure.

II.1.2 Établir que ∀t∈[ 0 ;n] ϕ(n−t) =ϕ(t) II.1.4 Utiliserϕ(t−1)>ϕ(t)pour t∈[ 0 ;n/2 ].

Partie II

II.2.3 Exploiter le résultat de la question II.1.4.

II.2.4 Justifier l’égalité Pⁿ

k=0

1 tn−k = 0 II.3.2 Montrer quetn−−−−−→

n→+∞ 0.

II.4.3 Utiliser la définition detn, celle deϕet la question précédente.

II.5.1 Montrer que |Tn+1(x)|=hⁿ⁺¹ϕ(t)

II.5.2 Utiliser la question I.5.3, puis la question précédente et la question II.4.3.

Partie III

III.2 Faire usage de la question I.2.1 et de la question précédente.

III.3.1 Justifier que

wk = (−1)^n−k

hⁿk! (n−k)! et wk⋆= (−1)^k n

k

III.3.2 Se servir de la question III.2.

III.4.2 Justifier que P4n est le polynôme d’interpolation de f sur [−2n; 2n] aux points déterminés à la question précédente.

III.4.3 Se souvenir quep∈Zetp6x < p+ 1.

III.4.4 Calculerf⁽ⁿ⁺¹⁾. Utiliser la question I.5.3 et l’inégalité obtenue à la question précédente. Montrer que θ(n, p)−−−−−→

n→+∞ 0 à l’aide de la formule de Stirling.

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Partie I

I.1 Définition d’une structure euclidienne sur Rn[X]

I.1.1 Identifions les polynômes de R_n[X] avec les fonctions polynomiales de R dansR. Puisqu’une fonction polynomiale deRdansRest continue, il vient queR_n[X]

est un sous-espace vectoriel deC(R,R). La fonctionBest définie surC(R,R)×C(R,R) et à valeurs réelles. Elle est de plus manifestement bilinéaire, symétrique et positive.

Elle l’est de même par restriction àR_n[X]×R_n[X].

Montrons que cette restriction est définie positive sur R_n[X]. Supposons que P∈R_n[X] vérifieB(P,P) = 0. Ceci s’écrit

n

P

i=0

P(xi)²= 0

Puisque pour touti∈[[ 0 ;n]],P(xi)∈R, on a P(xi)²>0. Or une somme den+ 1 termes positifs est nulle si et seulement si tous les termes de la somme sont nuls. Ainsi,

∀i∈[[ 0 ;n]] P(xi)²= 0

donc ∀i∈[[ 0 ; n]] P(xi) = 0

On en déduit que le polynômeP, de degré au plusn, admet au moinsn+ 1racines distinctes. Par conséquent,P = 0. Ceci montre que la restriction deBàR_n[X]×R_n[X]

est définie positive surR_n[X]. En conclusion,

Bdéfinit un produit scalaire surR_n[X].

Montrons que B n’est pas définie positive sur C(R,R). La fonction f définie pourx∈Rpar

f(x) =

n

i=0

Π

(x−xi)

est une fonction polynomiale donc continue surR. Elle est non nulle surRcar c’est une fonction polynomiale de degré n+ 1 dont les seules racines sont x0, . . . , xn. En outre,

B(f, f) =

n

P

i=0

f(xi)²=

n

P

i=0 n

j=0

Π

(xi−xj)²=

n

P

i=0

0 = 0

En résumé,B(f, f) = 0 etf 6= 0. Par suite,Bn’est pas définie positive surC(R,R).

En particulier,

Bne définit pas un produit scalaire sur C(R,R).

Même lorsque l’énoncé demande de justifier « rapidement » un fait mathé- matique, il ne faut pas bâcler la réponse, à plus forte raison quand il s’agit de la première question d’une épreuve. Tout au plus peut-on passer rapidement sur certains points faciles et néanmoins traiter sérieusement les points que l’on juge important. Le rapport du jury précise que « nombreux sont ceux qui sont déroutés par une question sur le produit scalaire et qui ne savent pas faire ressortir l’essentiel, en l’occurrence le caractère défini (ou non) de la forme bilinéaire ».

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I.1.2 Introduisons le symbole de Kronecker défini pour(j, k)∈N² par δj,k=

1 si j=k 0 sinon Soit(j, k)∈[[ 0 ; n]]². Calculons

Lk(xj) =

n i=0

Π

i6=k

(xj−xi) (xk−xi)

Sij6=k, alors l’un des termes du produit est(xj−xj)/(xk−xj) = 0. Par conséquent, dans ce cas,Lk(xj) = 0. Si j =k, alors les n termes du produit sont égaux à 1 et Lk(xj) = 1. En résumé,

∀(j, k)∈[[ 0 ;n]]² Lk(xj) =

1 si j=k 0 sinon

Pour toutk∈[[ 0 ;n]], Lk est un polynôme à coefficients réels de degré égal àn, doncLk∈R_n[X]. Soit(j, k)∈[[ 0 ; n]]². Écrivons, à l’aide du calcul précédent,

B(Lj,Lk) =

n

P

i=0

Lj(xi)Lk(xi) =

n

P

i=0

δi,jδi,k

Sik6=j, tous les termes de la somme ci-dessus sont nuls. Si k=j, alors B(Lj,Lj) =

n

P

i=0

δi,j2

et le seul terme non nul dans cette somme estδj,j2= 1²= 1. Par conséquent,

∀(j, k)∈[[ 0 ; n]]² B(Lj,Lk) =δj,k

On en déduit que la famille (Lk)_{k∈[[ 0 ;}_n_]] est une famille orthonormée de R_n[X].

Puisqu’elle comporten+ 1vecteurs et queR_n[X]est de dimensionn+ 1, il vient que (Lk)_{k∈[[ 0 ;}_n_]] est une base orthonormée de(R_n[X],B).

I.2 Définition dePn(f)

I.2.1 Soitf ∈C(R,R)etk∈[[ 0 ;n]]. Calculons, à l’aide de la question précédente, B(f,Lk) =

n

P

i=0

f(xi)Lk(xi)

=

n

P

i=0

f(xi)δk,i

B(f,Lk) =f(xk)

Par suite, Pn(f)(xk) =

n

P

i=0

B(f,Li)Li(xk)

=

n

P

i=0

B(f,Li)δi,k d’après I.1.2

= B(f,Lk)

Pn(f)(xk) =f(xk) d’après le début de la question Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.