CCP Maths 2 PSI 2001 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/18

CCP Maths 2 PSI 2001 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Lyon) ; il a été relu par David Lecomte (ENS Cachan) et Nicolas Andraud (Mines de Paris).

Le problème porte sur une accélération de la convergence de la méthode des trapèzes pour le calcul d’intégrales.

Dans la première partie on établit une formule d’extrapolation en O hⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ . Puis, dans la deuxième partie, on introduit les polynômes de Bernoulli et on étudie certaines de leurs propriétés afin d’établir la formule d’Euler-Maclaurin. Enfin dans la troisième partie, on exprime une approximation de l’intégrale def par la méthode des trapèzes à l’aide de la formule d’Euler-Maclaurin, puis on accélère la convergence de ce processus à l’aide des résultats de la première partie.

Ce problème ne pose pas de difficulté mathématique majeure et pourrait être ré- solu dans sa quasi-totalité par un bon élève de mathématiques supérieures. Il nécessite cependant beaucoup de rigueur dans les calculs.

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Indications

Première partie

I.2.3 Raisonner par récurrence.

I.2.4 Utiliser la question I.2.1.

I.5.1 Utiliser la formule de Taylor-Young.

I.5.2 Développer gau voisinage deαà l’ordre1.

I.6.2 Utiliser les questions I.5.1 et I.5.2.

I.7.1 Utiliser la formule de récurrence obtenue à la question I.3.4. Pour voir ap- paraître des différences entre les Ap,q, il faut approximer au moins à 10⁻⁷ près.

Deuxième partie

II.2.1 Montrer que

∼

Bn(t)vérifie (i) et (ii), puis montrer par récurrence que la suite définie par ces deux hypothèses est unique.

II.2.2 Utiliser les questions II.2.1 et II.1.3.

II.3.2 Raisonner par récurrence surn; le passage denàn+ 1se fait à l’aide d’une intégration par parties.

II.4.3 Appliquer(1)auxfq et sommer les égalités obtenues pourqentre1 etN.

Troisième partie

III.5.1 Montrer quet 7→ sin(t)

t est développable en série entière, avec un rayon de convergence infini.

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I. Procédé d’extrapolation de Richardson

I.1.1 On sait que ϕ(t) = O ((ρt)^s)

Donc ∃α >0 ∃M>0 ∀t∈[−α;α]

ϕ(t) (ρt)^s

6M

d’où ∀t∈[−α;α]

ϕ(t) t^s

6Mρ^s

La fonction t7→ ϕ(t)

t^s est donc bornée sur[−α;α].

On en déduit ϕ(t) = O (t^s)

I.1.2 On a ϕ(t) = O t^k

Donc ∃α >0 ∃M>0 ∀t∈[−α;α]

ϕ(t) t^k

6M

D’où ∀t∈[−α;α]

ϕ(t) t^k−1

6M|t|

Or lim

t→0M|t|= 0 D’après le théorème d’encadrement :

t→lim0

ϕ(t) t^k−1 = 0

I.2.1 On a A(t)−a0 = O (t). Donc t7→A(t)−a0 admet une limite quandt tend vers0et cette limite est nulle, d’après la question précédente.

On en déduit que t 7→ A(t) admet une limite quandt tend vers 0 et que cette limite esta0.

D’où lim

t→0A(t) =a0

I.2.2 Par définition,

A1(t) = rA0(t)−A0(rt)

r−1 = rA(t)−A(rt) r−1 Donc, au voisinage de zéro :

A1(t) = r r−1

a0+a1t+a2t²· · ·+ O t^k+1

− 1 r−1

a0+a1rt+a2(rt)²· · ·+ O (rt)^k+1

A1(t) =a0+

r

r−1a1− 1 r−1a1r

t+

r

r−1a2− 1 r−1a2r²

t² +· · ·+ O t^k+1

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En posanta1,2=r−r²

r−1a2, on a bien :

A1(t) =a0+a1,2t²+· · ·+ O t^k+1

I.2.3 Raisonnons par récurrence surnpour prouver ce résultat.

NotonsP(n)la propriété « Il existean,n+1tel qu’au voisinage de0on aitAn(t) = a0+an,n+1tⁿ⁺¹+· · ·+ O t^k+1

» et montrons que celle-ci est vraie pour toutndans N.

• P(0)est vraie, carA0 admet un développement limité au voisinage de0.

On sait même queP(1)est vraie, d’après la question précédente, laquelle peut donc paraître superflue ; en réalité, elle est là pour introduire cette question.

• P(n) =⇒ P(n+ 1)

An+1(t) = rⁿ⁺¹An(t)−An(t) rⁿ⁺¹−1

= rⁿ⁺¹ rⁿ⁺¹−1

a0+an,n+1tⁿ⁺¹+an,n+2tⁿ⁺²+· · ·+ O t^k+1

− 1

rⁿ⁺¹−1

a0+an,n+1(rt)ⁿ⁺¹+an,n+2(rt)ⁿ⁺²

+· · ·+ O (rt)^k+1

An+1(t) = a0+

rⁿ⁺¹

rⁿ⁺¹−1an,n+1− 1

rⁿ⁺¹−1an,n+1rⁿ⁺¹

tⁿ⁺¹ + rⁿ⁺¹−rⁿ⁺²

rⁿ⁺¹−1 an,n+2tⁿ⁺²+· · ·+ O t^k+1

Donc, en posantan+1,n+2= rⁿ⁺¹−rⁿ⁺²

rⁿ⁺¹−1 an,n+2, on obtient bien : An+1(t) =a0+an+1,n+2tⁿ⁺²+· · ·+ O t^k+1 ce qui veut dire queP(n+ 1)est vraie.

• Conclusion : la propriétéP(n)est vraie pour toutn∈N. Donc, au voisinage de0,

An(t) =a0+an,n+1tⁿ⁺¹+· · ·+ O t^k+1