CCP Maths 2 PSI 2000 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/18

CCP Maths 2 PSI 2000 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Gilles Radenne (ENS Ulm) ; il a été relu par Pascal Delanoe (Mines de Paris) et Cyril Niboyet (Mines de Paris).

L’épreuve se compose de cinq parties ; à chaque fois, un ou deux résultats seront utiles dans les parties suivantes.

– Le sujet porte sur les courbes de Bézier, que la première partie étudie dans des cas simples, avec deux ou trois points.

– On s’intéresse ensuite à la notion de convexité, qu’on utilise pour préciser l’éten- due de ces courbes, et on regarde également l’effet d’une transformation affine sur ces courbes.

– La troisième partie est consacrée à l’étude du cas général avec n points par l’intermédiaire des coefficients barycentriques.

– La partie suivante définit les courbes de Bézier comme images de polynômes par une famille de morphismes, et on en déduit les dérivées successives de la trajectoire.

– Enfin la dernière partie s’intéresse à l’interpolation d’une famille de points par une courbe de Bézier l’approchant au mieux.

Cette épreuve est relativement longue, et très fortement calculatoire, mais ne requiert principalement que des connaissances en algèbre linéaire et en géométrie, avec cependant quelques dérivations partielles simples dans la dernière partie.

Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

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Indications

I.2.1 Exprimer Qi en fonction des Bj.

II.1.1 Pour la réciproque, procéder par récurrence sur n.

II.1.3 Utiliser la question II.1.2 pour montrer que C(E) est le plus petit ensemble convexe contenantE.

II.1.5 Montrer que l’ensemble donné dans l’énoncé est le plus petit ensemble convexe contenantE.

II.1.6 Déterminer la relation existant entre l’enveloppe convexe de AS

Bet celles deA etB.

II.2.2 Appliquer le résultat de la question II.2.1 à la question I.2.4 .

III.1.3 Penser à la formule du binôme de Newton, à ce que doit valoir la somme des bn,k, et généraliser les expressions deb3,kobtenues à la question III.1.2 . III.2.1 Comparerbn,k etbn,n−k.

IV.1.1 Commencer par déterminer Z avec i = 1, puis démontrer le résultat par récurrence en utilisant la valeur deZtrouvée.

IV.1.4 Montrer d’abord l’égalité sur les monômes de W, puis utiliser la linéarité de Φet des opérateurs dérivation.

IV.1.5 ExprimerBn,Fcomme unCi,jpuis appliquer les résultats des questions IV.1.1 et IV.1.4 .

IV.2 Utiliser aussi le résultat de la question III.2.1.

V.I Décomposerf en somme de carrés.

V.2 Exprimer explicitementf en fonction des variables (xi etyi) et des données du problème (Mk ettk).

V.3 Construire les matricesA,UetV à l’aide des relations affines obtenues dans la question V.2.

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Partie I

I.1.1 En appliquant la définition deBF:

BF(t) = (1−t)B0(P0)(t) +tB0(P1)(t) = (1−t)P0+tP1

I.1.2 Ainsi, quandtparcourt[ 0 ; 1 ],BF(t)se déplace deP0à P1, donc : La trajectoire de l’arc paramétréBFest le segment[P0P1].

I.2.1 BF

1 2

= 1

2B1(P0,P1) 1

2

+1

2B1(P1,P2) 1

2

D’après la question I.1.1,B1(M,N) 1

2

= 1 2M + 1

2N, donc B1(M,N) est le milieu de[MN]; par suiteB1(Pi,Pi+1)

1 2

= Qi, ce qui entraîne :

BF

1 2

est le milieu du segment[Q0Q1].

I.2.2 On a : BF(0) = B1(P0,P1)(0) = P0

BF(1) = B1(P1,P2)(1) = P2

I.2.3

BF(t) = (1−t)B1(P0,P1)(t) +tB1(P1,P2)(t)

= (1−t)((1−t)P0+tP1) +t((1−t)P1+tP2) BF(t) = (1−t)²P0+ 2t(1−t)P1+t²P2

Et on a bien (1−t)²+ 2t(1−t) +t²= (1−t+t)²= 1

Par conséquent,BF(t)est le barycentre des points(P0,P1,P2)affectés des coefficients ((1−t)²,2t(1−t), t²).

I.2.4.1 BF(t) = (1−t)², t² dBF(t)

dt = (2(t−1),2t) d²BF(t)

dt² = (2,2)

La trajectoire de l’arc paramétréBF ayant une « accéleration constante », c’est un morceau de parabole d’extremitésP0et P2, et passant parBF

1 2

= 1

4,1 4

.

I.2.4.2 L’étude précédente permet de tracer le graphe suivant : Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

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P1

P2

P₀ Q₀

Q₁

Graphe deBF, pourn= 2.

Partie II

II.1.1 Pour un ensemble non videK, on note(∗)la propriété définie dans l’énoncé.

Montrons que cette propriété(∗)est équivalente à la propriété servant à définir la convexité.

SoitKune partie non vide du plan vérifiant(∗). Appliquons cette propriété pour n= 2:

∀(M,N)∈K², ∀(λ1, λ2)∈(R+)² λ1+λ2= 1 =⇒λ1M +λ2N∈K ce qui revient strictement à la définition de la convexité.

Inversement, supposons que K est convexe, et montrons par récurrence que K vérifie(∗).

– Pour n= 1 la propriété est immédiate, et pour n= 2 on vient de démontrer que cela revenait à la définition de la convexité.

– Supposons (∗)vérifiée par Kpour n fixé. Soient (M1, . . . ,Mn+1)∈ Kⁿ⁺¹ des points de K, (λ1, . . . , λn+1) ∈ [ 0 ; 1 ] des coefficients de somme égale à 1, et montrons que

n+1

P

k=1

λkMk∈K.

On peut supposer

n

P

k=1

λk6= 0, sinon en utilisant le fait que lesλi sont positifs, on a λ1=. . .=λn= 0, ce qui entraîne

n+1

P

k=1

λkMk= Mn+1 ∈Ket la propriété est évidente.