CCP Maths 2 PSI 2003 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/15

CCP Maths 2 PSI 2003 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Le but de ce problème est de proposer une méthode de calcul approché des inté- grales du type

Z 1

−1

f(x)

√1−x² dx oùf est une fonction continue sur[−1 ; 1 ].

La première partie étudie les racines des polynômes de Tchebychev et établit quelques résultats généraux à leur propos.

La deuxième partie définit une structure pré-hilbertienne réelle sur l’espace C et donne une méthode de calcul exact de la famille d’intégrales précédente sur l’ensembleR₅.

Dans la troisième partie, la méthode de la deuxième partie est généralisée àR_n. On montre ensuite qu’elle donne une approximation d’intégrales surC. Le problème se conclut par un exemple d’application.

Vu d’une part les objets manipulés (polynômes de Tchebychev), les techniques employées (structure préhilbertienne réelle) et d’autre part son objet (calcul approché d’intégrales), on peut dire que ce problème, un peu calculatoire, est très classique.

C’est donc un excellent problème de révision.

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Indications

Partie I

I.1 Exprimer cos(2θ) et cos(3θ) en fonction de cos³θ, cos²θ et cosθ avec les formules d’addition du cosinus.

I.3 Comparertk ettn−(k+1).

I.4.1 Reconnaître une suite géométrique.

I.6 Considérer le résultat de la question I.5 comme une relation de récurrence.

I.7 Compter le nombre de racines detn trouvées à la question I.3.

Partie II

II.2.3 Pour le calcul de I2p+1, penser à la parité.

II.3.2 Faire le changement de variable θ = Arccosx. Puis calculer Z π

0

cosn xdx, pour n∈Z.

II.3.3 Remarquer quex^k∈Vect (t0, t1, . . . , tn−1).

II.4.2 Introduire une forme linéaire judicieuse, et montrer qu’elle est nulle.

Partie III

III.2.2 Deviner la valeur des réelsa0, a1, . . . , an−1, puis vérifier qu’avec cette valeur la propriété est vraie avec les fonctionst0, t1, . . . , tn−1.

III.3.1 Montrer que |Dn(f)| 6 2πkfk^∞, puis remarquer que Dn(f) = Dn(f −P), sin >deg(P).

III.3.2 Utiliser le théorème de Weierstrass.

III.4.1 Définir la suiteVn= 1 n n!+

m

P

k=0

1

k! , et montrer que(Vn)n∈Nest décroissante et tend vers^+∞P

k=0

1 k! .

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Partie I

I.1 Soitx∈[−1 ; 1 ]. On a successivement :

• t0(x) = 1;

• t1(x) = cos(Arccosx) =x;

• t2(x) = cos(2 Arccosx) = 2 cos²(Arccosx)−1 = 2x²−1.

Avant de donnert3, exprimonscos(3θ)en fonction decosθ,cos²θ, etc. : cos 3θ= cos(2θ+θ)

= cos 2θ cosθ−sin 2θ sinθ

= (2 cos²θ−1) cosθ−2 cosθ sinθ sinθ

= 2 cos³θ−cosθ−2 cosθ(1−cos²θ) cos 3θ= 4 cos³θ−3 cosθ

On en déduit donc que

t3(x) = 4 cos³(Arccosx)−3 cos(Arccosx) = 4x³−3x

∀x∈[−1 ; 1 ] t0(x) = 1 t1(x) =x t2(x) = 2x²−1 et t3(x) = 4x³−3x

Rappelons que la fonction cosinus définit une bijection de[ 0 ;π]sur[−1 ; 1 ].

Sa bijection réciproque est appelée « arc cosinus » et notéeArccos. On a donc très simplement, pourx∈[−1 ; 1 ], cos(Arccosx) =xetArccosx∈[ 0 ;π].

I.2 La fonctiont0 est constante, égale à 1. Elle n’a pas de racine et ses extremums sont tous les points de[−1 ; 1 ].

La fonctiont1n’admet que 0 comme racine. Son maximum, qui vaut1, est atteint en1. Son minimum est atteint en−1et vaut−1.

Établissons le tableau de variations det2, avect^′₂(x) = 4xpourx∈[−1 ; 1 ].

x −1 0 +1

t^′₂(x) − 0 +

1 1

t2(x) ց ր

−1

Le maximum det2 vaut1 et il est atteint en −1 et en1. Son minimum vaut−1 et il est atteint en0. Les racines det2 sont−p

1/2et +p 1/2.

De même, établissons le tableau de variations det3, avect^′₃(x) = 12x²−3 pour x∈[−1 ; 1 ]. Les racines du polynômePdéfini parP(x) = 12x²−3sont−1/2et1/2.

x −1 −1/2 1/2 1

t^′₃(x) + 0 − 0 +

1 1

t3(x) ր ց ր

−1 −1

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Le maximum det3vaut1et il est atteint en−1/2et en1. Son minimum vaut−1et il est atteint en−1 et1/2. Les racines det3 sont0,−√

3/2 et√ 3/2.

−1

0

1 1

−1

x1 2x²−1 4x³−3x

I.3 Soitn∈ N^∗. Le réelxest racine de tn si et seulement sicos(nArccosx) = 0, c’est-à-dire si et seulement si

cos(nArccosx) = 0 nArccosx= π

2 +kπ (aveck∈Z) Arccosx= π

2n+kπ

n (aveck∈Z)

Mais Arccosxdoit appartenir à l’intervalle [ 0 ;π], ce qui donne une limitation sur les valeurs dek:

06 π 2n+kπ

n 6π

−π 2n 6kπ

n 6π− π 2n

−1

2 6k6n−1 2 Le réelxest racine detn si et seulement si

Arccosx= π 2n+kπ

n avec k∈[[ 0 ;n−1 ]]

On trouve donc exactementnvaleurs distinctes deArccosx, toutes comprises entre0 etπ, et qui sont exactement les réelsθkdéfinis dans l’énoncé. Or, la fonction cosinus établissant une bijection de [ 0 ;π] dans [−1 ; 1 ], on trouve exactement n racines pourtn.

Les racines detn sontxk = cos (θk)pourk∈[[ 0 ;n−1 ]].

On verra à la question I.7 tout l’intérêt de déterminer précisément le nombre de racines.