CCP Maths 2 PSI 2005 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/18

CCP Maths 2 PSI 2005 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Olivier Dudas (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Ce problème propose une étude des matrices de Pauli, qui sont les matrices complexes(2,2)égales à la transposée de leur conjuguée et de trace nulle. Tout le pro- blème est construit en progression pour aboutir, dans la partie IV, à la mise en œuvre de tous les moyens exposés dans les parties précédentes et, en particulier, à la généralisation des résultats sur les matrices orthogonales au cas complexe.

• La première partie, très facile, traite de résultats classiques sur les vecteurs complexes et le produit scalaire canonique. Elle introduit à la question I.3 une matriceTqui servira d’exemple tout au long du problème.

• La deuxième partie étudie le groupe unitaire, équivalent complexe du groupe orthogonal, et montre les résultats qui seront utilisés par la suite.

• La troisième partie s’intéresse au cas particulier des matrices de déterminant 1, qui constituent le groupe spécial unitaire.

• Enfin, la quatrième partie étudie l’algèbre des matrices de Pauli et certains de ses endomorphismes.

Ce problème progressif est remarquablement guidé : tous les outils dont on a besoin sont introduits petit à petit. Il propose une étude intéressante mais requiert peu de connaissances et n’utilise pas beaucoup de théorèmes. Il demande surtout de savoir prendre du recul par rapport au programme et d’être à l’aise avec les raisonnements abstraits. C’est une excellente occasion de réviser l’algèbre bilinéaire.

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Indications

Partie I

I.2.1 La famille(x, y)est une base deC²si et seulement si elle est libre.

I.3.1 Calculer le polynôme caractéristique deTpour déterminer ses valeurs propres, puis résoudre les deux systèmesTX =λX.

I.3.2 Montrer que la famille de vecteurs propres obtenue est orthogonale, puis di- viser les vecteurs par leur norme.

Partie II II.1 Utiliser la question précédente.

II.3.1 Montrer que ^tU = U⁻¹. II.3.2 Utiliser l’égalité ^tU = U⁻¹.

II.4 Partir de l’égalitéUX =λX, la conjuguer et la transposer, puis faire appa- raître une égalité avec la norme deXen utilisant ^tU U = I².

Partie III III.1.1 Utiliser la question I.4 .

III.1.2 Effectuer des combinaisons linéaires sur le système obtenu à la question pré- cédente.

III.1.3 Utiliser la question précédente pour le sens direct et vérifier la réciproque par le calcul.

Partie IV

IV.1.1 Montrer queV est un sous-espace vectoriel réel deM2(C).

IV.1.2 Montrer que l’application h·,·i est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

IV.4 Calculerl^U(PEjP⁻¹)pour j= 1,2,3.

IV.5.1 Calculer explicitementHen fonction de bet q.

IV.5.2 Montrer queUet Hcommutent.

IV.7.1 Utiliser la question III.2.1 pour déterminer les valeurs propres deU. Conclure à l’aide de la trace et du déterminant.

IV.7.2 Utiliser la question III.2.1 puis la relation λ²(X|Y) = (λX|λY)

avecX(resp.Y) vecteur propre associé àλ(resp.λ). Conclure à l’aide de la question II.1 .

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Partie I

I.1 Vérifions que(· | ·)possède bien les propriétés d’un produit scalaire.

Si l’on se fie aveuglément à l’énoncé, il n’y a strictement rien à faire dans cette question. Celui-ci dit que c’est un produit scalaire, donc on peut directement rappeler les résultats du cours.

Cependant, on ne peut pas exclure l’hypothèse d’une formulation mal- adroite : peut-être l’énoncé demande-t-il de vérifier par le calcul que c’est effectivement un produit scalaire.

Sachant que le calcul est trivial, il serait dommage de passer bêtement à côté de points faciles. Nous vous conseillons donc d’effectuer explicitement les vérifications.

On a (y|x) = ^tY X

= ^t(^tX Y)

=

t

(^tX Y)

= ^t(x|y) (y|x) = (x|y)

De la même manière, (λx|y) = ^tλX Y

=λ^tX Y (λx|y) = λ(x|y)

Enfin, (x|µy) = ^tXµY

(x|µy) = µ(x|y)

I.2.1 La famille(x, y) est une base deC² si et seulement si c’est une famille libre de C², ce qui revient à dire que la matrice (X Y) est inversible, c’est-à-dire que detB(x, y)6= 0. Or,

detB(x, y) =

a −1 + 5i 1 + 3i 3−2i

=a(3−2i)−(1 + 3i)(−1 + 5i) ce qui montre que la condition nécessaire et suffisante cherchée est :

a6= (1 + 3i)(−1 + 5i) 3−2i c’est-à-dire, après calculs, a6=−4−2i

La famille(x, y)est une base deC² si et seulement sia6=−4−2i.

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I.2.2 La base(x, y)est orthogonale si et seulement si(x|y) = 0, ce qui s’écrit

tX Y =a(−1 + 5i) + (1 + 3i)(3−2i) = 0

On en déduit a= (1−3i)(3−2i) 1−5i

= (−3−11i)(1 + 5i) 1²+ 5²

= 52−26i 26 a= 2−i

Dans ces conditions,kxk²=|2 + i|²+|1 + 3i|²= 5 + 10 = 15.

La famille(x, y)est une base orthogonale si et seulement sia= 2 + i. On a alorskxk=√

15.

I.3.1 Déterminons le polynôme caractéristiqueχ_T(λ) = det(T−λI²)deT.

Pour toutλ∈C,

i 2 −λ

√3 2

−

√3 2 −i

2 −λ

= i

2−λ −i 2 −λ

− −

√3 2

! √ 3 2

!

=λ²+ 1

Dans le cas particulier de la dimension 2, on peut toujours utiliser directement la formuleχ_T(λ) =λ²−(tr T)λ+ det T. Elle permet de déterminer le polynôme caractéristique de Tplus facilement.

χ_T(λ) =λ²−(tr T)λ+ det T =λ²+ i

2

−i 2

− −√ 3 2

! √ 3 2

!

=λ²+ 1

On en déduit que les valeurs propres deTsontiet−i. Cherchons les vecteurs propres associés.

• Le vecteur propreX = (a, b)associé à la valeur propreivérifieTX = iX:









 i 2a+

√3 2 b = ia

−

√3

2 a− i 2b = ib

soit

√ 3b= ia

−√

3a= 3ib

puis ia=√

3b Ainsi, le vecteur(√

3,i)convient.