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CCP Maths 2 MP 2005 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hicham Qasmi (ENS Lyon) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).
Ce sujet aborde le thème des racines carrées de matrices. Il porte essentiellement sur l’étude de leur existence et sur les propriétés topologiques de l’ensemble qu’elles constituent. Il est composé de trois parties indépendantes.
• La première partie permet de déterminer les racines carrées de quelques matrices simples. Elle fait appel à des notions de base en algèbre linéaire, et plus précisément sur la réduction des matrices.
• La deuxième porte sur l’étude de quelques propriétés topologiques des racines carrées de matrices : forment-elles un ensemble fermé ? borné ?
• Enfin, la troisième partie propose de déterminer l’intérieur de l’ensemble des racines carrées de matrices en introduisant un ensemble bien choisi de polynômes dont on étudie les racines.
Dans l’ensemble, le sujet est de longueur raisonnable et ne présente pas de grande difficulté. Il a l’avantage d’être assez complet car il fait appel à des outils d’algèbre (la réduction de matrices et les polynômes) et de topologie (les espaces vectoriels normés).
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Indications
Première partie 2.b Utiliser le résultat de la question précédente.
2.d Exploiter le calcul de la question précédente.
3 On pourra utiliser les résultats des questions 1, 2.d et 2.e.
4 Appliquer le résultat de la question précédente. Puis, pour rendre les calculs plus aisés, remarquer queAest symétrique et possède des valeurs propres simples.
5.a Penser à la formule du rang.
5.b Garder à l’esprit que cette base de Imf est aussi une famille de vecteurs deKerf.
6.a Utiliser le résultat de la question précédente.
6.b Quelles sont les valeurs possibles der? 7.b Trouver un polynôme annulateur de R.
8 Utiliser la question précédente.
9 Utiliser la question 2.d.
10 On s’inspirera de la réponse à la question 3.
Deuxième partie
11 Écrire Rac(A)comme l’ensemble des zéros d’une fonction bien choisie.
12.b S’inspirer de la preuve de la question précédente.
12.c Se souvenir de la question 7.a.
Troisième partie 13 Penser à la définition de la norme infinie surRp. 15.a Utiliser la question 14.a.
15.b Utiliser les questions 13.a puis 15.a.
15.c Utiliser la question précédente.
16.b Appliquer le résultat des questions 13.b et 15.c.
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I. Détermination de Rac (A) dans quelques exemples simples
1 La matrice A est réelle de taillenet possède exactementnvaleurs propres réelles distinctes ; elle est donc diagonalisable, c’est-à-dire
∃P∈GLn(R) A = PDP−1 oùD =diag(λ1, . . . , λn).
Supposons que Rsoit une racine carrée deA. Comme
∃P∈GLn(R) A = PDP−1
on a S2 = P−1RP2
= P−1RPP−1RP
= P−1R2P
= P−1AP carR∈Rac(A)
S2 = D Autrement dit,Sest une racine carrée deD.
Réciproquement, si la matriceSest une racine carrée de D, alors R2= PSP−12
= PSP−1PSP−1
= PS2P−1
= PDP−1 car S∈Rac(D)
R2= A doncRest une racine carrée de A. Finalement,
R∈Rac(A) ⇐⇒ S∈Rac(D)
2.a SoitS une racine carrée deD. Il vient que DS = S2S = SS2= SD
Les matricesSet Dcommutent.
2.b Pour toute matrice M, notons mij son coefficient (i, j). Le coefficient (i, j) de la matriceDS−SDs’écrit
n
P
k=1
dikskj−
n
P
k=1
sikdkj = (λi−λj)sij
Par ailleurs, les valeurs propresλ1, . . . , λn sont deux à deux distinctes, donc
∀(i, j)∈ {1, . . . , n}2 i6=j=⇒sij = 0 La matriceSest donc diagonale.
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2.c Sest une racine carrée de DdoncS2= D. OrSest diagonale, si bien que
∀i∈ {1, . . . , n} si2=λi
2.d Soit R une racine carrée de A. D’après la question 1, S = P−1RP est alors une racine carrée de D = diag(λ1, . . . , λn). De plus, d’après la question 2.c, Sest forcément diagonale et ses coefficients diagonaux vérifient
∀i∈ {1, . . . , n} si2=λi
Ainsi, ∀i∈ {1, . . . , n} λi >0
Une condition nécessaire pour qu’il existe une racine carrée deAest que toute valeur propre deAsoit positive ou nulle. La contraposée s’écrit alors
SiAadmet une valeur propre strictement négative alors Rac(A)est l’ensemble vide.
2.e SoitSune racine carrée deD. D’après la question 2.c,
∀i∈ {1, . . . , n} si2=λi
donc ∀i∈ {1, . . . , n} ∃εi ∈ {−1; 1} si=εi√ λi
Réciproquement, soient(ε1, . . . , εn)∈ {−1; 1}n et S =diag(ε1√
λ1, . . . , εn
√λn).
Le carré deSest
S2=diag ε12λ1, . . . , εn2λn
= D Ainsi,
Rac(D) =
S∈Mn(R)| ∃(εi)16i6n∈ {−1; 1}n S =diag ε1√
λ1, . . . , εn√ λn
3 SiAadmet une valeur propre strictement négative alors, d’après la question 2.d, Rac(A)est vide.
Sinon, considéronsRune matrice deMn(R). D’après la question 1,S = P−1RP est une racine carrée deD si et seulement siRest une racine carrée deA, donc
Rac(A) =
PSP−1
S∈Rac(D)
où Rac(D)est donné par la question précédente. Comme λ1< λ2< . . . < λn,
• soitλ1 est nul, auquel cas Rac(A)possède exactement2n−1éléments ;
• soitλ1 n’est pas nul, auquel cas Rac(A)possède exactement2n éléments.
En conclusion,
card Rac(A) =
0 si une valeur propre de A est strictement négative 2n−1 si 0 est la plus petite valeur propre deA
2n sinon
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