CCP Maths 1 MP 2007 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/22

CCP Maths 1 MP 2007 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Laetitia Borel (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Le sujet est constitué d’un exercice assez calculatoire, et d’un problème un peu long mais sans difficulté majeure. L’exercice consiste à déterminer le maximum d’une fonction de deux variables sur un carré, en distinguant le bord et l’intérieur du carré.

Le problème porte sur les inversions d’une limite et d’une intégrale, puis d’une somme infinie et d’une intégrale, en distinguant différents cas pour l’intervalle d’intégration : intervalle fermé borné, intervalle borné, intervalle non borné.

• La partie préliminaire reprend les grands classiques, les fonctionsΓetζ. Tout ce qu’on peut en dire, c’est qu’il faut savoir le faire.

• La première partie commence par une question de cours. On demande ensuite des exemples qui mettent en lumière des conditions suffisantes, sans être néces- saires, pour l’inversion de la limite et de l’intégrale sur un segment. On passe ensuite au cas d’un intervalle quelconque, avec un contre-exemple, puis on éta- blit une extension du théorème d’inversion au cas d’un intervalle borné mais pas fermé. La partie se termine par une application du théorème de convergence dominée. À noter une question « ouverte », et même très ouverte, puisqu’on demande un exemple « intéressant » (notion quelque peu subjective) d’application.

• La deuxième partie, consacrée aux séries de fonctions, commence également par une question de cours sur les séries de fonctions, suivie d’une autre sur les séries de Fourier, illustrant une application de la convergence uniforme à une intégrale sur un segment. On traite une application de la version séries de fonctions du théorème de convergence dominée. La question 10 est très intéressante d’un point de vue mathématique puisqu’elle met en évidence une condition suffisante mais non nécessaire, confusion très répandue qu’il est bon d’éviter.

• Les trois dernières questions portent sur le théorème de convergence monotone et sur une application de ce théorème à divers calculs d’intégrales.

C’est un excellent problème de révision d’analyse, à faire absolument pour avoir les idées claires avant les écrits, car il propose essentiellement un panorama didactique des applications directes du cours.

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Indications

Exercice

a Penser au cours de topologie : que peut-on dire de l’ensembleF?

Problème

1.a Utiliser un équivalent pour le problème en0et penser aux croissances compa- rées pour le problème en⁺∞.

1.b Faire une intégration par parties.

2.a Majorer le terme général de la série par une intégrale en s’aidant d’un dessin.

3 Commencer par écrire la définition de la convergence uniforme.

4 Cette question est assez délicate, comme souvent le sont les contre-exemples.

Essayer d’interpréter graphiquement, avec une fonction affine par intervalles, de telle sorte que les calculs d’intégrales reviennent au calcul de l’aire d’un triangle.

5.a Utiliser une intégration par parties.

5.b.i Penser que l’inégalité triangulaire a deux côtés.

5.b.ii Adapter la démonstration faite à la question 3.

6.b.i L’exemple sera plus intéressant si les intégrales des fonctions fn ne sont pas évidentes à calculer.

6.b.ii Appliquer le théorème de convergence dominée, chercher une fonction domi- nante avec une inégalité simple de la trigonométrie.

7 Appliquer(TH1)à la suite des sommes partielles de la série.

8 Chercher une conséquence de la formule de Parseval pour la série de terme général|bn|².

9.a Chercher une propriété des séries convergentes qui permette de majorer le terme |an| |xⁿ|/n!sur un segment.

9.b Pour calculer Z ⁺^∞

0

|an|xⁿe^−x

n! dx, utiliser une intégration par parties.

10.a Penser à une caractérisation de la convergence uniforme utilisant le reste de la série. Calculer explicitement l’intégrale de la valeur absolue de la fonction.

10.b Séparer les sommes de séries entre sommes partielles de rang N et restes, puis faire la différence.

11 Si une série est à termes positifs, la suite des sommes partielles est croissante et en cas de convergence elle est majorée par la somme de la série.

12.a En remarquant que 0<e^−t<1, utiliser le développement en série entière au voisinage de0 de la fonctionu7→ 1

1−u .

13 Adapter la méthode utilisée à la question précédente.

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Exercice

a La fonction (x, y) 7→ x+y est continue de R² dans R car elle est bilinéaire.

Les fonctions (x, y) 7→ x et (x, y) 7→ y sont linéaires par rapport à la première, respectivement deuxième, variable. On en déduit, par composition et somme, que les fonctions

(x, y)7→1 +x² et (x, y)7→1 +y²

sont continues. La fonction(x, y)7→xyest continue deR²dansRen tant que fonction bilinéaire, ce qui entraîne par composition que la fonction

(x, y)7→(1 +x²)(1 +y²)

est continue. Cette fonction n’étant jamais nulle, il en résulte, par passage à l’inverse et produit, que la fonction

(x, y)7→ x+y (1 +x²)(1 +y²)

est continue sur R². L’ensemble F = [ 0 ; 1 ]×[ 0 ; 1 ] est compact, puisque c’est un sous-ensemble fermé borné deR², espace vectoriel de dimension finie. Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes, donc

f est bornée surFet atteint sa borne supérieure.

Il faut veiller à énoncer précisément les hypothèses du théorème d’existence d’un maximum : le rapport du jury signale de fréquentes confusions entre fermé et compact.

Pour cette première question, la démonstration de la continuité a été détaillée, ainsi qu’il est souhaitable de le faire au moins une fois dans une copie. On peut par contre par la suite se contenter d’évoquer les « théorème généraux ».

b Si la borne supérieure est atteinte en un point de l’ouvertΩ = ] 0 ; 1 [×] 0 ; 1 [, c’est un extremum local d’une fonction de classe C¹ (toujours par les théorèmes généraux), donc la condition nécessaire pour qu’une fonction admette un extremum local en un point doit être vérifiée, c’est-à-dire que le gradient de f doit être nul.

Pour tout couple(x, y)deΩ,

∂f

∂x(x, y) = 1 +x²−2x(x+y)

(1 +x²)²(1 +y²) = 1−x²−2xy (1 +x²)²(1 +y²)

∂f

∂y(x, y) = 1−y²−2xy (1 +x²) (1 +y²)²

La condition de nullité du gradient est donc équivalente à 1−x²−2xy= 0

1−y²−2xy= 0 Le système est équivalent à

y² =x² 1−x²−2xy = 0

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• 1^er cas :

x=y

1−x²−2x² = 0 ⇐⇒

x=y 1−3x² = 0

ce qui donne x=⁺⁻

√3

3 =y Remarquons néanmoins que seul √

3/3,√ 3/3

appartient àΩ.

• 2^e cas :

x=−y 1 +x²= 0 ce qui est impossible.

La condition nécessaire d’existence d’un extremum local est vérifiée au seul point √

3/3,√ 3/3

deΩ.

Comme f √

3/3,√ 3/3

= 2√ 3/3

(1 + 1/3)² = 2√ 3 3

9 16 = 3√

3 8

Le seul maximum local, donc global, possible sur l’ouvertΩest 3√ 3 8 . c Étudions maintenant la restriction de f aux quatre segments qui forment la frontière deF:

• y= 0,x varie de 0 à 1.Pour toutx∈[ 0 ; 1 ], posons g1(x) =f(x,0) = x

1 +x²

g^′1(x) = 1 +x²−2x²

(1 +x²)² = 1−x² (1 +x²)²

g1^′(x) est donc positive sur [ 0 ; 1 ]. La fonction g1 est croissante, le maximum est atteint en1et vaut

g1(1) = 1 2

• x= 1, y varie de 0 à 1.Pour touty∈[ 0 ; 1 ], posons g2(y) =f(1, y) = 1 +y

2 (1 +y²)

g2^′(y) = 1 +y²−2y(1 +y)

2 (1 +y²)² =1−2y−y² 2 (1 +y²)²

g2^′(y) = 0 est équivalent à y²+ 2y−1 = 0. Le discriminant réduit ∆^′ est égal à 2, donc les solutions sont−1⁺⁻√

2. Il y a une seule solution dans l’intervalle [ 0 ; 1 ]qui est√

2−1.g2^′(y)est positif sur l’intervalle 0 ;√

2−1

et négatif sur l’intervalle√

2−1 ; 1

, doncg2admet un maximum au point√

2−1, égal à g2(√

2−1) =

√2 2

1 + √

2−1² =

√2 2 1 + 2−2√

2 + 1 =

√2 4 2−√

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