Séries de fonctions CCP 2012
•Ne pas écrirekfn(x)k∞à la place dekfnk∞.
•Pour montrer queX
fnconverge simplement, avec fn : x7−→(−1)nx2+n n2
il ne faut surtout pas écrire que|fn|décroît. En effet, ceci signifie que la fonction|fn| décroît. Or elle croît (strictement). Et ça nous est complètement égal. Bien sûr, on doit dire que la suite¡¯
¯fn(x)¯
¯
¢décroît pour toutx. Ce qui n’est pas (du tout) la même chose.
•Un grand classique : on lit sur la copie
∀n∈N ∀x∈I |Rn(x)| ≤ρn (1) où (ρn) converge vers 0.Parfait ! on s’apprêterait, si c’était noté, à mettre le maximum des points ! mais à la ligne suivante. . .
Donc, pour toutx∈I,Rn(x)−−−−−→
n→+∞ 0 (2)
Pas faux, mais. . .très affaibli : la ligne(1)permet effectivement de conclure à la conver- gence uniforme, mais la ligne(2)se contente d’en déduire la convergence simple et donc la suite (Rn) converge uniformément surI vers la fonction nulle.
Si on pouvait effacer la ligne(2), ce serait parfait. . .. A bien comprendre !
• |fn| −−−−−→
n→+∞ 0 n’est pas très clair.|fn|−−−−−→C S
n→+∞ e0 est bien plus explicite. Mais ne vaut pas, en clarté,
Pour toutx,|fn(x)| −−−−−→
n→+∞ 0
•En général la convergence d’une série se montre en étudiant le terme général, uti- liser les sommes partielles est au mieux une perte de temps et de clarté, au pire un bon moyen d’écrire des bêtises.
•Il est vivement conseillé de calculer les sommes géométriques en mettant en fac- teur le premier terme.
