2 convergence uniforme

Suites d’applications (version chantier)

Marc SAGE 22 avril 2007

Table des matières

1 intro : convergence poncutelle 2

2 convergence uniforme 2

2.1 def eg . . . 2

2.2 continuité de la limite . . . 2

2.3 intégration de la limite . . . 3

2.4 interversion limite . . . 3

2.5 dérivée de la limité . . . 4

2.6 approximation uniforme . . . 4

3 divers 4

4 Pour aller plus loin 5

1 intro : convergence poncutelle

quel sens à limite defn? limite ponctuelle semble raisonnalbe (bien préciser ledomaine de convergence: ca serait pareil pour la cn des séries)

Quel propréités passent à lim ponctuelle ?

monotonie, convexité, lip (pour la même cst : sinonxⁿ) Mais limite ponctuelle de fonction C0 pas C0¹ :xⁿ sur[0;1]

Pire : lim ponc de fonctions C0 sur segment (donc bornée) n’est pas bornée :x7! _x¹ tronquée ànsur 0;¹_n . En plus, pas de th d’interversion deR

: prendre pic _n¹ n.

2 convergence uniforme

terminologieconvergence uniforme de Weierstrass (1841 dans ses cours à Berlin, publié 1894, source bour- baki et Laurent Mazliak), introduite pour permettre interversion P R

, et surtout pour conserver la continuité à la limite.

CEG de Darboux : f_n(x) := 2n²xe ^n2x2 2xe ^x2. Alorslimf_n(x) = 2xe ^x2, doncRX

0 limf_n=e ^X2 1, maislimRX

0 f_n= lim e ^X2 e ^n2X2 =e ^X2.

2.1 def eg

defk k₁,B(X;C)sous alg deC^X,k k₁ norme (rq : on peut parle de cu de fonctions pas bornées) cu = interverision quantif, ou cv pourk k(DESSIN du rouleau)

rq : critère pratique de cvu (stone par convolution ?) : il y a une suite"n !0 tq8x; jfn(x) f(x)< "nj EG : ^atn_n^nxcu0,e^x2+xncue ^x2 sur[0;1]

sifn cu versf bornée, alorsfn bornée apcr

limUni de CL ok, de produit oksi fonctio limite sont bornées critère cauchy

EG :n xe ^nx surR⁺. cp0, mais cu dépd de 1

important : le pb estlocalisé en0–>en se plaçant sur [a;1[, on a cu (si 1) La Cu est une prop …niment locale ( ? ? ?)

EG :P_xⁿ

n! cu versexpsur tout intervalle borné.

EG :P _x

x²+n² cu sur tout intervalle borné (majorerR_n)

EXO : fn : R⁺ R

t t e ^ntsint ( 2 R) cu0 sur ₂;1 , ailleurs on se débarrasse du sin à l’aide de

2Id sin Id, donc cu0 sur 0;₂ ssit ⁺¹e ^ntidem. En dérivant, c’est le cas ssi >1 EXO :cos p

n !e ².

2.2 continuité de la limite

lim unif de fonctino CO est CO

(C0 en un point, sur tout segment, sur tout l’intervalle) rq :P

fn cp,Rn cu, alorsP

fn cu (écrire jS Snj Rn)

Réciproque fausse : prendre pics de hauteur non bornée et de largeur tendant vers0.

Il faudrait une notion de cv moins "serrée" (terme de Borel dans leçon ? ? ?), trouvée par Arzelà.

On dit qu’une suite(fn)converge quasi-uniformément (versf) surA(terminologie de BOrel, leçon ? ? ?, venant de Azelà, cu à traits ) si, d’une part elle converge ponctuellement, d’autre part si pour tout" >0 et pour tout entier N >0, il y a un entierN⁰ > N tel que, pour tout aon peut trouver un N n < N⁰ tel que jfn fj(a)< ".

On montre aisméent (en réinjectantN⁰ à la place de N) que cela équivaut à : il y a une extraction ' et famille d’extraction('^"_a)_a2A entrelacées ('^"(n) '^"_a(n)< '^"(n+ 1)) telles que f_'^"_a(n) f (a)< "pour tout n; a.

EXO :montrer qu’on ne peut se passer de la condition n_a < N⁰ à l’aide de la suite f_n(x) =xⁿ _n(1 ¹_x)+1. DEM cs vers0 sur[0;1], maisf_n 1 _n¹ = 1 _n^{1 n 1}₂ ! ¹₂ ¹_e >0. AInsi,

9"0 =1 2

1

e ;9N(= 0);8N⁰ > N; 9a = 1 1

N⁰ ;8n N⁰; jfn(a)j> "0

EXO :justi…er la terminologie, ie montrer que cu =>cqu

DEM …xer" >0, ily a unN tel que blabla, alors'='_a=translation deN convient EXO montrer qu’une limite quasiuniforme de fonctions CO est CO

DEM soit" >0, il y a'et '_a tel que blabla. Alors jf(x) f(a)j f(x) f_'x(n)(x)

| {z }

<"par cqu

+ f_'x(n)(x) f_'x(n)(a)

| {z }

<"par continuité des(fk)_'(n) k<'(n+1)

+ f_'x(n)(a) f(a)

| {z }

<"par cs defn(a)

(on …xe npar cs, puis un par continuité)

Rq : on peut supposer la cqu seulement sur tout compact car continuité est "locale". On a alors la réciproque.

EXO :soit (fn)CO qui cs vers une fonction CO. Montre que la cv est qu sur tout compacte DEM OPSf = 0. Soit" >0,N >0, eta2K. En eécrivant

jfn(x)j jfn(x) fn(a)j+jfn(a)j,

on prend par cs unn > N tqjfn(a)j< ", puis par continuité defnun tqjx aj< =) jfn(x) fn(a)j< ".

On recouvre ainsi K par des ouverts centrées en ses points, d’où par compacité un sous-recouvrement …ni. On peut donc considérermaxnet min , CQFD.

2.3 intégration de la limite

TH (primitivation) : soient fn localement régléés sur I BORNé qui CUf loc réglée (hypothése importante : une limite uniforme de Cpm n’est pas forcémentCpm : le nombre de discontinuité peut devenir in…ni) : alors 8a2I; R

afnCUR

af

COR : sifnCU sur[a; b], alorslimR fn=R

limfn.

Idée CEG : f fn ets limité par deux murs, une barre horizontale écrase la masse vers0. Si on retire un mur ou la barre, la mase peut s’échapper.

CEG : siIpas bornée, prendre f_n=rectangle platn _n¹; ou encore ¹

x^{1+ 1n}CU_x¹ pourx 1.

CEG : si pas cu, prendre même eg en verticale (pic s’envolant en0vers un Dirac)

2.4 interversion limite

unique théo inter lim : f_n : I ! K, a 2 I. Si f_ncv en a, si f_ncuf sur vois de a, alors lim_alim_nf_n = lim_nlim_af_n.

EG :a=1etlimf_n …xé.

CEG si que cp : pallier1sur[0; n]et0 sur[n+ 1;1]

2.5 dérivée de la limité

controle de la drivée ? aucun viakfk, et d’ailleurs ^sinn_n^2xcu0, mais dérivée pas cu (pas bornée !) Dessin TH : sif_ncp en un point,f_n⁰cu, alorsf_ncu et(limf_n)⁰ = limf_n⁰

(dem :R

af_n⁰CUR

alimf_n⁰, ief_nCUf avecf⁰= limf_n⁰) THC^k :

fn C^k cp en un point fn⁽ⁱ⁾CU loc80< i k

Alorslimfn C^k et [limfn]⁽ⁱ⁾= limfn⁽ⁱ⁾.

2.6 approximation uniforme

TH : toute fnction C0pm (donc les C0 aussi) est limU de fonction en escalier / C0 a¢ ne par morceaux.

fontionsréglées : sous-algèbre deB([a; b];K), stable par limU.

réglée équivaut àf(a )eiste en tout a rélgée stalbe parj j

EXO :CNS sur A Rpour que sup_AjPjnomrle ? -> Ain…nie bornée TH weistrass (qui convolait par gaussienne)

Dem : convolutoin parnoyau de Landau (^{1 t2})ⁿ

an

CEG : pas deWieistrass sur intervalleI non nbornée :K[X]_I est fermé ! EXO :C⁰[a; b]est adhrénece deQ[X] (ou deD[X]oùD dense dansR)

approximation dej j sur [ 1;1]par Vincent Pilaud : on poseP0 = 0 et Pn+1 =Pn+ ¹₂ X² P_n² . Alors 0 P_n P_n+1 j j(dem par récurrence : 0 P_n P_n+1=jXj (jXj P_n) 1 ¹₂(jXj+P_n+1) 1), donc par diniP_ncuj j

EXOC⁰[a; b] est adhrénece deR[']ssi': [a; b] !Rest injective

EXO : …xonsa₁; :::; a_n. Alors toute fonction CO est limi uniform de poly ayant même valeur quef en lesa_i APP : exo intégrale périodiodque Sylvain Carré

APP : sif C^k, alorsf est lim uuni def_n dont toutes les déréivés CU (th intégation) EXO :R1

0

R1

0 f pⁿx₁:::x_n dx₁:::dx_n !f ¹_e (monomes, poynomes, puis densité)

3 divers

réciproqe cp => cu ? On montre déjà que f_nCU => f_n équicontinue (terminologe de Ascoli & Arzelà : également continues)

Cela est su¢ sant : Sif_n équicontinue, alors cp =>cu.

EG : équi-lip, dérivée uniformément bornée

EXO : caractères deC⁰(S; R): il sont positifs, tqj (f)j kfk, et en fait = eval_a (Weistrass !) il y a une suite cvL1 mais nulle part cp : salve dencréneaux de largeur ₂¹n, puis incrémentern Th Ascoli - Arzelà sur compacité : équiCO + bornée

On montre que la fonction véri…e aussi l’équation fonctionnelle suivante pour z prenant ses valeurs dans CnZ :

(1 z) = 2

(2 )²cos z

2 (z) (z).

4 Pour aller plus loin

Soitfn:R !Rune suite de fonctions continues qui cs. Alors la limite est continue sur un ensemble dense de réels.

démo : csqce de Baire, cf http ://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_limite_simple_de_Baire (source pdf Gilles Godefroy)

Le grand théorème de Baire donne la réciproque : une fonction Rⁿ ! R est limite simple de fonctions continues ssi elle a un point de continuité sur tout fermé (non vide). Le sens réciproque nécessite l’intervention des ordinaux (induction trans…nie).

EG : toute fonction dérivée est continue sur un ensemble dense. Réciproquement,sif : [0;1] !Rest limite simple d’app continue et est Darboux, alors il y a un homéo croissant'tqf 'soit une dérivée (théorème dû à Choquet, prouvé à la …n de sa thèse)

Quels sont les conditions sur une topologie pour que le résultat suivant soit vrai ?

Soient l un élément de mon ensemble et aⁿ_k une famille d’éléments indexés par N² telle que 8k; aⁿ_k ⁿ!¹ l.

Alors il existe une application '2N^N telle quea^'(k)_k ^k1!l

C’est vrai si l’espace est métrisable, et faux en toute généralité. Qu’est-ce qu’on peut dire entre les deux ? (ok si il y a une base dénombrable de voisinages ? ? ?)

Je signale par exemple que c’est faux pour la convergence simple des fonctions réelles : _Qest limite simple de limites simples de fonctions continues (c’est assez facile à construire, genre avec la fonction ^p_q 7! _q^1r et^cQ !0) mais n’est pas limite simple de fonctions continues (par Baire).