Convergence simple, convergence uniforme ____________

Convergence simple, convergence uniforme ____________

1. Convergence simple, convergence uniforme.

2. Un exemple célèbre : convergence vers la courbe en cloche.

3. Espaces fonctionnels : convergences simple, uniforme, compacte.

4. Limites uniformes de fonctions continues.

5. Théorèmes d’interversion de limites.

6. Approximation uniforme.

Pierre-Jean Hormière

________________

Dans ce chapitre, les fonctions sont définies sur un ensemble X, parfois muni d’une structure d’espace métrique, et à valeurs dans un espace de Banach F sur K = R ou C. Cela permet d’étudier simultanément suites et séries de fonctions. Mais ce qui concerne les suites et les familles de fonctions s’étend sans peine à des fonctions à valeurs dans un espace métrique complet.

1. Convergence simple, convergence uniforme.

1.1. Suites de fonctions.

Définition 1 : Soit X un ensemble, (f_n) une suite de fonctions de X dans F. On dit que la suite (f_n) converge simplement vers la fonction f si, pour tout x ∈ X, la suite (f_n(x)) converge vers f(x).

(CS) (∀x ∈ X) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀n ≥ n₀) || f_n(x) − f(x) || ≤ ε.

Il importe de noter que l’entier n₀ dépend a priori de ε et de x ; pour souligner cette dépendance, on le note parfois n₀(ε, x), mais ce n’est pas à proprement parler une fonction de ε et de x. Cela dit, si l’on choisit pour n₀ le plus petit entier vérifiant (∀n ≥ n₀) || f_n(x) − f(x) || ≤ ε, alors il devient une vraie fonction de ε et de x.

Définition 2 : Sous les mêmes hypothèses, on dit que la suite (f_n) converge uniformément vers f si:

(CU) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀n ≥ n₀) (∀x ∈ X) || f_n(x) − f(x) || ≤ε.

Ici l’entier n₀ ne doit pas dépendre de x. Cette condition équivaut à chacune des deux suivantes : (CU') (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀n ≥ n₀) sup_x∈X || f_n(x) − f(x) || ≤ε ;

(CU") La suite M_n = sup_x∈X || f_n(x) − f(x) || tend vers 0 dans R₊ quand n tend vers ∞.

Proposition 1 : La convergence uniforme implique la convergence simple ; la réciproque est fausse.

Proposition 2 : Critères de Cauchy simple et uniforme.

Pour que la suite (f_n) converge simplement, (resp. uniformément) il faut et il suffit que : (CCS) (∀x ∈ X) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀p & q ≥ n₀) || f_q(x) − f_p(x) || ≤ε. (CCU) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀p&q ≥ n₀) (∀x ∈ X) || f_q(x) − f_p(x) || ≤ ε.

Contre-exemples :

1) Soit f_n la fonction caractéristique de [n, n+1]. La suite (f_n) tend simplement vers 0 sur R, mais pas uniformément. Plus généralement, si ϕ est une fonction ≠ 0, nulle hors de [a, b], la suite

f_n(x) = ϕ(x−n) de ses translatées converge simplement vers 0, non uniformément.

Le même résultat subsiste si ϕ est une fonction ≠ 0, tendant vers 0 en ±∞.

2) Dans l’exemple précédent le domaine de définition était R. Plaçons-nous sur [0, 1]. Soit f_n la fonction caractéristique de [

1 1+ n ^,n

1_]. La suite (f_n) tend simplement vers 0 sur [0, 1], mais pas uniformément. De même pour les fonctions continues affines par morceaux " en pics " :

g_n(x) = 2nx si 0 ≤ x ≤ n 2

1 _{, g}

n(x) = 2 − 2nx si n 2

1 _{≤ x ≤} n 1 _{, g}

n(x) = 0 si 0 ≤ x ≤ n 2

1 _, qui se résument en : g_n(x) = sup( 1 – | 2nx – 1 | , 0) ,

et pour la suite de fonctions h_n = n.g_n, d’intégrales égales à 1 (qui tendent vers la mesure de Dirac).

> with(plots):

> g:=(n,x)->max(1-abs(2*n*x-1),0);

p:=n->plot(g(n,x),x=0..1.3,thickness=2,color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12),numpoints=1000):

> display({seq(p(n),n=1..9)});

> h:=(n,x)->n*max(1-abs(2*n*x-1),0);

q:=n->plot(h(n,x),x=0..1.3,thickness=2,color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12),numpoints=500):

> display({seq(q(n),n=1..9)});

« Érection : ne se dit qu'en parlant des monuments. » (Gustave Flaubert)

Tous ces exemples ont ceci de commun : il y a convergence simple non uniforme vers 0 lorsque les graphes sont l’objet d’un phénomène de « bosse glissante », précisons : d’une bosse qui glisse sans se résorber. Pour résorber la bosse, il suffirait d’un peu de Contre-coups de l’abbé Perdrigeon

− s’il s’agit d’une bosse traumatique... quant aux autres bosses, les moyens de les résorber ne relèvent ni des mathématiques ni de la pharmacie ! − .

En pratique, pour étudier la convergence d’une suite de fonctions f_n : 1° On commence par déterminer leur domaine de définition commun D ;

2° On détermine l’ensemble X des x ∈ D tels que la suite (f_n(x)) converge ; soit f(x) sa limite ; 3° On pose alors g_n = f_n− f et on détermine M_n = sup_x∈X || g_n(x) || par étude des variations de g_n ; Si (M_n) tend vers 0, il y a convergence uniforme ; sinon, il n’y a pas c.u.

4° Il est parfois difficile de calculer explicitement M_n, soit parce que la fonction g_n est compli- quée, soit parce que X n’est pas inclus dans R. On pense alors à utiliser des conditions suffisantes : − si l’on trouve une suite (εn) tendant vers 0 et telle que (∀n) (∀x) || f_n(x) − f(x) || ≤εn, il y a c.u.

− si l’on trouve une suite (xn) de points de X telle que f_n(x_n) − f(xn) ne tende pas vers 0, il n’y a pas convergence uniforme.

5° S’il n’y a pas c.u., il est néanmoins souvent possible de déterminer des parties de X sur lesquelles il y a convergence uniforme : elles sont suggérées par l’étude des déformations des graphes lorsque n augmente. Un logiciel peut aider à voir les choses.

NB : Avec Maple, pour représenter plusieurs courbes sur un même graphe, utiliser la commande display du package « plots », comme ci-dessus.

On dit que la partie A ⊂ D est un domaine de convergence simple (resp. uniforme) de (fn) si f_n|_A converge simplement (resp. uniformément). La réunion d’une famille quelconque de domaines de convergence simple est un domaine de convergence simple ; mais seule une réunion finie de domaines de convergence uniforme en est un en général.

Exercice 1 : Etudier la convergence sur R des suites de fonctions : f_n(x) =

² 1

1

+nx ^{, gn(x) =} 1 n²x²

+x ^{, hn(x) =} 1 nx² n

x+ ^{, kn(x) =} 1 ( )² 1 x−n

+ ^{, ln(x) = n.kn(x).}

Exercice 2 : Etudier la convergence sur [0, 1] des suites de fonctions : f_n(x) =

nx +nx

1 ^{, gn(x) =} nx +x

1 ^{, hn(x) =} 1+nx 1 _. f_n(x) = n.( xⁿ – xⁿ⁺¹ ) et g_n(x) = f_n’(x).

f_n(x) = n xⁿ⁺¹ ( 1 1+

n ^– 2n+1 xⁿ

) et g_n(x) = n f_n(x).

f_n(x) = n^ax.( 1 − nx + | 1 − nx | ) . Quand a-t-on limn

∫

₀^{1fn( dtt). =}

∫

₀^{1limnfn(t).dt ?}

Exercice 3 : Étudier et discuter la suite de fonctions f_n(x) = n^a x e^−nx sur R₊ ( a > 0 ).

Exercice 4 : Étudier les suites de fonctions f_n(x) = e^−nx.sin(x) et g_n(x) = e^−nx.sin(nx) sur R₊. Exercice 5 : Soit f : R⁺→ R une fonction continue, non nulle, telle que f(0) = lim_x→+∞ f(x) = 0.

1) Etudier la convergence simple et uniforme des suites f_n(x) = f(nx) et g_n(x) = f(

n x_).

2) Domaines de convergence uniforme.

3) Etudier la convergence des suites ( n 1_f

n) , ( n 1_g

n) et (f_n.g_n).

Exercice 6 : Étudier la suite de fonctions f_n(x) = n xⁿ sin(πx) sur [0, 1].

Exercice 7 : Etudier la suite de fonctions f_n(x) = _n

n

x x x

x + + + + ² ...

1 ^{sur R+.}

Exercice 8 : Etudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions :

u₀(x) = x , u_n+1(x) = sin u_n(x) sur R ; u₀(x) = x , u_n+1(x) = ln(1 + u_n(x)) sur R₊. Exercice 9 : Soit (f_n) une suite de fonctions X → R convergeant uniformément vers f.

Que dire de la suite g_n = ₂ 1 n

n

f +f ^?

Exercice 10 : Soit ϕ une fonction : F → G ; quelle propriété doit-elle vérifier pour que :

a) (f_n) tend simplement vers f ⇒ (ϕ ^o f_n) tend simplement vers ϕ ^o f ? b) (f_n) tend uniformément vers f ⇒ (ϕ^o f_n) tend uniformément vers ϕ^o f ?

Exercice 11 : Etudier la convergence simple et uniforme sur R des suites de fonctions : f_n(x) = ^x

n

n e x ₋

!. ^{et Fn(x) =}

∑

= n − k

x k

k e x

0

!.

Exercice 12 : Soit (P_n) une suite de polynômes réels convergeant uniformément sur R vers une fonction f. Montrer que f est un polynôme et que P_n(x) = f(x) + c_n à partir d’un certain rang.

Exercice 13 : Etudier la convergence simple sur R des fonctions f_n(x) = cos(nx), puis de la suite de leurs moyennes de Cesàro g_n =

1

0 ...

++ +

n f

f n

. 1.2. Familles de fonctions.

Les notions précédentes s’étendent sans peine au cas où l’indice n est remplacé par un paramètre α appartenant à une partie A d’un espace métrique Λ, et tendant vers une limite α₀ ∈A. La généralisation est facile : on peut se ramener à des suites (αn) tendant vers α₀ .

Définition 3 : Soit (f_α)_α∈A une famille de fonctions de X dans F. On dit que (f_α) tend simplement vers g lorsque α tend vers α₀ si, pour tout x ∈ X , lim_α→α0 f_α(x) = g(x).

On dit que (f_α) tend uniformément vers g lorsque α tend vers α₀ si :

(CU) (∀ε > 0) (∃η > 0) (∀α ∈ Α) d(α, α₀) ≤ η ⇒ (∀x ∈ X) || f_α(x) − g(x) || ≤ ε . Exercice 14 : Soient f une fonction R → R, et (f_α)_α∈R la famille de ses translatées fα(x) = f(α− x).

1) Montrer que f est continue ssi (f_α)_α∈R tend simplement vers f quand α → 0 ;

2) Montrer que f est uniformément continue ssi (f_α)_α∈R tend uniformément vers f quand α→ 0.

1.3. Séries de fonctions.

Définition 4 : Soit

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u une série de fonctions définies sur l’ensemble X, à valeurs dans F.

On note S_n(x) =

∑

= n

k k x u

0

)

( la somme partielle d’ordre n. On dit que la série converge simplement, resp. uniformément, si la suite de fonctions (S_n(x)) converge simplement, resp. uniformément.

En pratique, pour étudier la convergence d’une série de fonctions, il faut : − déterminer le domaine de définition commun D des fonctions un(x) ; − discuter selon les valeurs de x ∈ D la convergence de la série

∑

^+∞

=0

) (

n n x u ;

− si X est le domaine de convergence simple, et S(x) la somme de la série, il y a convergence uni- forme de la série ssi S(x) − S_n(x) tend uniformément vers 0, autrement dit si le reste d’ordre n R_n(x) =

∑

^+∞

+

= 1

) (

n k

k x

u tend uniformément vers 0 sur X ;

− s’il n’y a pas convergence uniforme sur tout X, il est souvent possible de déterminer des parties A de X sur lesquelles il y a convergence uniforme.

Exemples :

1) La série

∑

^+∞

=0 !

n n

n

z converge simplement sur C vers une fonction, notée exp z. La convergence est absolue pour tout z. Elle est uniforme sur tout domaine borné de C, mais non sur C, ni sur aucun domaine non borné de C.

2) La série

∑

^+∞

=1 ²

n n

n

z converge simplement sur |z| ≤ 1, diverge grossièrement pour tout |z| > 1. La convergence est uniforme sur |z| ≤ 1.

3) La série

∑

^+∞

=0 n

zn converge simplement sur |z| < 1, diverge grossièrement sinon. La convergence est uniforme sur tout disque « de sûreté » |z| ≤ r < 1 ; la somme vaut

−z 1

1 _. 4) Si 0 ≤ r < 1 est fixé, la série

2 1 ₊

∑

^+∞

=1

) cos(

.

n

n n

r θ (de fonctions de θ) converge uniformément sur R, vers une fonction que l’on peut calculer en exercice : le noyau de Poisson P(r, θ).

5) La série

∑

^+∞

=

− − 1

1. ) 1 (

n

n n

n

x est simplement convergente sur ]−1, 1] ; la convergence est uniforme sur tout [−r, 1], où 0 ≤ r <1 ; la somme vaut ln(1 + x).

6) La série de fonctions

∑

^+∞

=1

1

n n^1[n,n+1[(x) est uniformément convergente.

Proposition 3 : Soit

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u une série de fonctions définies sur l’ensemble X, à valeurs dans F.

Pour que la série converge uniformément, il faut et il suffit qu’elle vérifie le critère de Cauchy uniforme : (CCU) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀q > p ≥ n₀) (∀x ∈ X)

|| ∑

+

= q

p n

n x u

1

) (

||

≤ε , autrement dit que les tranches de Cauchy puissent être rendues uniformément apqv.

Proposition 4 : Soit

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u une série de fonctions de X dans F. On suppose : (CN) Il existe une série numérique convergente

∑

^+∞

=0 n

an telle que (∀x ∈ X) || un(x) || ≤ an. Alors la série

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u converge simplement, absolument et uniformément sur X.

On dit alors qu’il y a convergence normale de la série.

Réexaminons les exemples précédents à la lumière du critère précédent : − Les exemples 1, 2, 3, 4 précédents relèvent de ce critère.

− L’exemple 5 n’obéit à ce critère que sur les intervalles «de sûreté» [−r, r], où 0 ≤ r < 1. En revanche, il n’y a pas convergence normale sur [0, 1], puisqu’il n’y a pas convergence absolue en 1.

− L’exemple 6 n’obéit pas au critère de convergence normale.

Ainsi, la convergence normale n’est qu’une condition suffisante de convergence uniforme. Pour établir la convergence uniforme d’une série, il faut en priorité chercher des domaines de convergence normale ; lorsque cela échoue, on revient à une majoration uniforme du reste utilisant les séries alternées, ou une transformation d’Abel.

Remarque 1 : La proposition précédente est dûe à Weierstrass, qui l’employait fréquemment. C’est pourquoi elle est appelée dans les livres anglo-saxons «critère de Weierstrass». Le terme de

«convergence normale» fut introduit en 1908 par René Baire¹ pour signifier que ce critère est le cas le plus usuel, le plus "normal", de convergence uniforme. Mais il faut garder présent à l’esprit que la convergence normale n’est pas un concept nouveau : c’est seulement un critère commode de conver- gence uniforme.

Remarque 2 : Toute suite de fonctions est la suite des sommes partielles d’une série. Cette méthode de transformation de suite en série se révèle très efficace, notamment dans l’étude des produits infinis.

Exercice 15 : la fonction ψ.

1) Montrer que, sur x > 0, la suite de fonctions u_n(x) = ln n −

∑

= +

n

k ₀x k

1 a une limite simple ψ(x), la convergence étant uniforme sur tout segment [a, A], 0 < a < A (pls. méthodes possibles).

2) Soit (a_n)_n≥1 une suite complexe p-périodique. Trouver une cns pour que la série

∑

^+∞

=1 n

n

n a _con- verge ; exprimer alors sa somme à l’aide de la fonction ψ.

2. Un exemple célèbre : convergence vers la courbe en cloche.

Les probabilistes affirment que, lorsque n tend vers l’infini, la suite (Cn^k)_0≤k≤n des coefficients binomiaux tend vers la fameuse « courbe en cloche » de Gauss. Si l’on veut donner un sens précis et rigoureux à cette convergence, il faut « centrer » et « réduire » la suite (Cn^k)_0≤k≤n.

Définition : Nous appelons gaussiennes les fonctions définies sur R par f_m,σ(x) = π σ ^{12 2 ²}

)² (^xο^m

e

− −

. La fonction g(x) = f_0,1(x) =

π 2

1 e^−x²/2 est appelée gaussienne centrée réduite.

Proposition 1 : La fonction g est paire, tend vers 0 en ±∞, est intégrable sur R et vérifie :

∫

₋^+∞_∞^{g ).(x dx = 1.}

Elle a des moments de tous ordres, qui vérifient :

∫

₋^+∞_∞^xn.g(x).dx = 0 pour n impair,

∫

₋^+∞_∞^xn.g(x).dx = (2m – 1)(2m – 3) … 1 pour n = 2m.

Preuve : l’affirmation finale est démontrée dans le chapitre sur les intégrales impropres ou celui sur les fonctions eulériennes. Comme f_m,σ(x) = σ^{1 g(x−}

σ

^m), on en déduit aisément :

Corollaire : La gaussienne f_m,σ vérifie

∫

₋^+∞_∞ ^{fm,σ(x).dx = m et}

∫

₋^+∞_∞^{(x−m)².fm,σ(x).dx = σ2.}

> with(plots):

> f:=(m,sigma,x)->1/(sigma*sqrt(2*Pi))*exp(-(x-m)^2/(2*sigma^2));

> G:=(m,sigma)->plot(f(m,sigma,x),x=-5..5,color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12),thickness=2);

1« Bien qu’à mon avis l’introduction de termes nouveaux ne doive se faire qu’avec une extrême prudence, il m’a paru indispensable de caractériser par une locution brève le cas le plus simple et de beaucoup le plus courant des séries uniformément convergentes, celui des séries dont les termes sont moindres en module que des nombres positifs formant série convergente (ce qu’on appelle quelquefois critère de Weierstrass). J’appelle ces séries normalement convergentes, et j’espère qu’on voudra bien excuser cette innovation. Un grand nombre de démonstrations, soit dans la théorie des séries, soit plus loin dans la théorie des produits infinis, sont considérablement simplifiées quand on met en avant cette notion, beaucoup plus maniable que la propriété de convergence uniforme. » René Baire, Leçons sur les théories générales de l’Analyse, préface du

> display({G(0,1),G(0,0.5),G(0.5,2),G(-0.7,0.7),G(0.7,0.8),G(1,1),G(- 1,0.5),G(-1.5,0.6)});

Pour tout entier n ≥ 1 et tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, posons : t_n,k =

2 /

2 / n k−n ₌

n k−n 2 _{, J}

n,k = [t_n,k − n 1 _{, t}

n,k + n 1 _{[ et I}

n =

U

ⁿ

k k

Jn 0

,

=

= [− n− n

1 _, n + n 1 _[ Soit f_n la fonction définie sur R par :

f_n(x) = 0 si x ∉ I_n , f_n(x) = 2

n

21n Cnk si x ∈ J_n,k pour 0 ≤ k ≤ n . En termes probabilistes, f_n(x) =

2 n _.P(X

n = k), où X_n suit la loi binomiale BBBB_{(n, ½) .} Si x est fixé dans I_n , f_n(x) =

2 n

21n k

Cn pour k = [ 2 1 x n n++ ] . En effet, x ∈ J_n,k ⇔

n n k−

2 ₋

n 1 _{≤ x <}

n n k−

2 ₊

n

1 _{⇔ 2k − 1 ≤ x} n + n < 2k + 1 , etc.

Proposition 2 : La fonction f_n est en escaliers sur I_n ; elle croit sur R⁻, décroit sur R⁺, tend vers 0 en

±∞, et vérifie

∫

₋^+∞_∞ ^{fn(x).dx = 1.}

Preuve : La fonction f_n est nulle sur ]_−∞ , − n₋

1 [n et sur [ n + n

1 _{, +∞}[.

Ajoutons qu’elle est continue à droite en tout point, et « presque » paire : si l’on remplace ses valeurs aux points de discontinuité par la demi-somme des limites à droite et à gauche, elle est paire.

Et

∫

₋^+∞_∞ ^{fn(x).dx =}

∫

_In^{fn(x).dx =}

∑ ∫

= J^nk n n

k

dx x f

,

).

(

0

= n n^k

n

k

n C n 21

2 2

0

∑

=

= n n^k n

k

21C

0

∑

=

= 1.

Théorème 3 : La suite (f_n) tend simplement et uniformément sur R, vers la gaussienne g.

Preuve : Nous nous contenterons de montrer que f_n(0) → g(0).

Il découle de ce qui précède que f_n(0) = 2

n 21n k

Cn pour k = [ 2+1 n ] . Si n est pair, n = 2m, f_n(0) = ₁

2ⁿ⁺ n m

Cn = _{2 1} 2

2m+

m m

C₂m = _{2 1} 2

2m+

m )²

! (

)!

2 (

m

m _→

π 2

1 en vertu de la formule de Stirling : n ! ∼ n

e n⁾n^{. 2}

π

( . Il en découle que : Si n est impair, n = 2m + 1, f_n(0) = ₁

2ⁿ⁺ n m

Cn = _{2 2} 2

1 2 ++

m

m m

C2m+1 = _{2 2} 2

1 2 ++

m

m

11 2 ++

mm

)²

! (

)!

2 (

m m _→

π 2 1

La démonstration complète du théorème 3 repose sur un examen approfondi de la formule de Stirling. Nous nous contenterons ici de visualiser la convergence :

> with(plots):

F:=(n,x)->evalf(sqrt(n)/2^(n+1)*binomial(n,floor(n/2+1/2+x/2*sqrt(n))));

> p:=n->plot(F(n,x),x=-4..4,color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12));

> g:=plot(1/sqrt(2*Pi)*exp(-x^2/2),x=-5..5,thickness=2,color=blue):

> display({g,seq(p(2*n+1),n=0..10)});

Plus généralement, soient p un réel tel que 0 < p < 1, et q = 1 – p.

Pour tout entier n ≥ 1 et tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, posons t_n,k =

npq k−np

, J_n,k = [t_n,k − npq 2

1 _{, t}

n,k + npq 2

1 [

et I_n =

U

ⁿ

k k

Jn 0

,

=

= [₋ q np ₋

npq 2

1 _, q np +

npq 2

1 [

Soit f_n la fonction définie sur R par :

f_n(x) = 0 si x ∉ In , f_n(x) = npq Cn^kp^kq^n−k si x ∈ Jn,k pour 0 ≤ k ≤ n . En termes probabilistes, f_n(x) = npq.P(X_n = k), où X_n suit la loi binomiale BBBB_{(n, p) .} Si x est fixé dans I_n , f_n(x) =

2 n

21n k

Cn pour k = [np+x npq+1/2] .

Théorème 4 : La suite (f_n) tend simplement et uniformément sur R, vers la gaussienne g.

La démonstration du théorème 4 repose sur un examen minutieux de la formule de Stirling.

> with(plots):

F:=proc(n,p,x) local q,k; q:=1-p;

k:=floor(n*p+x*sqrt(n*p*q)+1/2):

evalf(sqrt(n*p*q)*binomial(n,k)*p^k*q^(n-k));end;

> pF:=(n,p)->plot(F(n,p,x),x=-4..4,color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12));

> g:=plot(1/sqrt(2*Pi)*exp(-x^2/2),x=-4..4,thickness=2,color=blue):

> display({g,seq(pF(n,2/3),n=0..10)});

Un autre exemple classique de convergence simple issu du calcul des probabilités est l’approximation binomiale de la loi de Poisson :

Proposition 5 : Soit (X_n) une suite de variables aléatoires suivant la loi binomiale BBBB_{(n, pn).}

Si la suite (np_n) tend vers λ > 0, la suite (X_n) converge en loi vers la loi de Poisson PPPP_(λ), en ce sens que : ∀k ∈ N P(X_n = k) = Cn^k(p_n)^k(1 – p_n)^n−k→ k!

e^−λ

λ

^k

.

Preuve : Il s’agit de démontrer une convergence simple dans FFFF(N, R). Fixons l’entier k. Pour n ≥ k P(X_n = k) = Cn^k(p_n)^k(1 – p_n)^k =

! 1

k n(n−1)...(n−k+1)(

λ

n _{+ o(}

n

1₎₎^k( 1 –

λ

n _{+ o(}

n 1₎)^n−k =

! k

λ

k

nk

k n n

n( −1)...( − +1) ( 1 + o(1) )^k( 1 –

λ

n _{+ o(}

n

1₎)^−k exp( n.ln(1 –

λ

n _{+ o(}

n 1₎)

=

! k

λ

k

( 1 + o(1) )exp(–λ + o(1))→

! k e^−λ

λ

^k

. Cqfd.

> with(plots):

> lambda:=5;p:=n->lambda/n+1/n^2;

> f:=proc(n,x) local k;k:=floor(x);binomial(n,k)*p(n)^k*(1-p(n))^(n-k);end;

> L:=proc(x) local k;k:=floor(x);exp(-lambda)*lambda^k/k!;end;

> G:=n->plot(f(n,x),x=0..20,thickness=2,color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12)):

P:=plot(L(x),x=0..20,color=black,thickness=2):

> display({seq(G(n),n=6..25),P});

3. Espaces fonctionnels : convergences simple, uniforme, compacte.

Le Rondo finale de la sonate Waldstein, n° 21 opus 53, est si difficile que Beethoven en donne trois versions : une pour les pianistes débutants, une pour les confirmés, et la troisième pour les virtuoses ; ainsi, chacun pourra jouer le superbe petit leitmotive de ce rondo. De même, les déve- loppements suivants sont forts abstraits. Seul le début du § 3.1. doit être lu et compris. Ce qui suit le

♣

peut être omis par les débutants. Enfin, ce qui suit le

♥

est réservé aux passionnés de mathé- matiques. Comme son nom l’indique, la convergence simple est simple, et on peut vivre sans ressentir le besoin de la rattacher au cours de topologie générale.

3.1. Topologie de la convergence uniforme.

Proposition 1 : L’espace vectoriel BBBB(X, F) des fonctions bornées de X dans F est un espace de Banach pour la norme uniforme || f ||_∞ = sup_x∈X || f(x) ||.

Si une suite (f_n) de fonctions bornées converge uniformément vers une fonction f, alors f est bornée et l’on a || f_n− f ||_∞→ 0, la réciproque étant évidente. Autrement dit, si l’on se place dans l’espace BBBB(X, F), la topologie de la convergence uniforme peut être définie par la norme uniforme.

♣

Les résultats précédents subsistent-ils si l’on se place dans l’ensemble FFFF(X, F) de toutes les fonctions de X dans F ? La réponse est moins simple, car la distance uniforme de deux fonctions peut être infinie.

Proposition 2 : SurFFFF(X, F), la fonction d_∞(f, g) = sup_x∈X || f(x) − g(x) || est un écart, et D = +1

∞

∞

d d est une distance. On a alors les équivalences :

(f_n) converge uniformément vers f ⇔ d_∞( f_n, f ) → 0 ⇔ D( fn, f ) → 0 .

Ainsi, la topologie de la convergence uniforme est «métrisable», i.e. peut être définie par une distance. Il serait alors facile de montrer que (FFFF(X, F), D) est un espace métrique complet, et il découle de la proposition 1 que BBBB(X, F) est un sous-espace fermé de (FFFF(X, F), D).

Mais lorsque X est un ensemble infini, elle n’est pas « normable », en ce sens qu’il n’existe pas de norme sur FFFF(X, F) telle que (f_n) converge uniformément vers f ⇔ || f_n− f || → 0.

En effet, soit f une fonction non bornée sur X. La suite

(

n

f

)

tend simplement vers 0, mais pas uni- formément, car aucune des fonctions

n

f n’est bornée. S’il existait une norme de la convergence uniforme l’on aurait ||

n f || =

n

1|| f || → 0, donc

(

n

f

)

tendrait uniformément vers 0.

♥

♥

♥

♥

3.2. Topologie de la convergence simple.

Dans ce §, nous allons résoudre les deux problèmes suivants :

1° Existe-il une topologie OOOO _sur FFFF(X, F) pour laquelle la convergence simple des suites de fonctions soit la convergence des suites pour cette topologie ?

2° Existe-t-il une distance d_s sur FFFF(X, F) pour laquelle la convergence simple soit la conver- gence pour cette distance, autrement dit telle que l’on ait :

(f_n) converge simplement vers f ⇔ d_s( f_n, f ) → 0 ?

Ces questions sont-elles importantes ? Autrement dit, est-il important de savoir si la convergence simple des suites de fonctions s’inscrit dans le cadre des espaces métriques, ou dans un cadre plus général ? On peut en douter : la définition de cette convergence est simple, comme son nom l’indique, et l’on peut se dire que, quelle que soit la réponse, elle n’empêchera pas les trains de rouler. Cela dit, il est assez naturel de se demander si l’exposé de la convergence des suites dans le cadre des espaces métriques est assez général pour contenir la convergence simple des suites de fonctions.

Nous allons voir que la réponse à la première question est positive, et que la réponse à la seconde est positive si X est un ensemble fini ou dénombrable, négative dans le cas contraire.

Définition : Appelons voisinage élémentaire de la fonction f ∈ FFFF(X, F) tout ensemble de la forme : V( f ; x₁, ..., x_k ; ε ) = { g ∈FFFF_{(X, F) ; (∀i) || f(xi) − g(xi) || < ε } , où x1, ..., xk} sont des points de X en nombre fini, et ε un réel > 0 ;

voisinage de f tout ensemble contenant un V( f ; x₁, ..., x_k ; ε) ; et enfin ouvert de FFFF(X, F) tout ensemble qui est un voisinage de chacun de ses points.

Proposition 3 : L’ensemble OOOO de ces ouverts vérifie les axiomes (OI), (OII) et (OIII), et munit FFFF_(X, F) d’une structure d’espace topologique. De plus, (f_n) converge simplement vers f ssi tout voisinage élémentaire de f contient les f_n à partir d’un certain rang.

Preuve : Laissons la première assertion en exercice, et montrons la seconde. Si tout voisinage élémentaire de f contient les f_n à partir d’un certain rang, c’est en particulier le cas de V( f ; x ; ε), pour tout x et tout ε ; cela signifie que f_n(x) tend vers f(x).

Réciproquement, si (f_n) converge simplement vers f, alors, pour toute famille finie (x₁, ..., x_k) de points de X et tout ε > 0, on a ∃n₀ ∀n ≥ n₀ (∀i) || fn(x_i) − f(x_i) || < ε, donc fn∈ V( f ; x₁, ..., x_k ; ε) pour n ≥ n₀. cqfd.

Ainsi, il existe bien une topologie sur FFFF(X, F), dite topologie de la convergence simple, pour laquelle la convergence des suites coïncide avec la convergence des suites pour cette topologie.

Cette topologie est-elle sous-jacente à celle d’une métrique ?

− Si X est un ensemble fini, il suffit de considérer la distance d_s(f, g) = sup_x∈X || f(x) − g(x) || . Cette distance n’est autre que l’écart uniforme d_∞ déjà considéré en 2.1. Cela n’est pas surprenant, car sur un ensemble fini, convergences simple et uniforme coïncident. De plus, ici l’on a FFFF_{(X, F) =} B

B B

B(X, F), et la topologie de la cs est normable.

− Si X est infini dénombrable, indexons-le bijectivement par N : X = { x_k ; k ∈ N }, et posons :

∀

( f, g) ∈ FFFF_{(X, F)}² _ds( f, g ) =

∑

^+∞

=021

k

k 1 ( ) ( )

) ( ) (

k k

k k

x g x f

x g x f

− +

− .

Proposition 4 : Sous les hypothèses précédentes, d_s est une distance sur FFFF(X, F), et l’on a : (f_n) converge simplement vers f ⇔ d_s( f_n, f ) → 0 .

Preuve laissée en exercice.

− Lorsque X est non dénombrable, introduisons le sous-espace NNNN des fonctions X → F à support fini. Ce sous-espace vectoriel est dense dans FFFF(X, F), car tout ouvert non vide contient un voisinage élémen-taire, et tout voisinage élémentaire V( f ; x₁, ..., x_k ; ε) contient une fonction ϕ ∈ NNNN. Il suffit de poser : ϕ(x_i) ≡ f(x_i) et ϕ(x) = 0 si x ∉ { x_i ; 1 ≤ i ≤ k } ! S’il existait une distance d_s pour laquelle

(f_n) converge simplement vers f ⇔ d_s( f_n, f ) → 0 , N

N N

N étant un sous-espace dense, toute f serait limite simple d’une suite de fonctions à support fini. Or un instant de réflexion montre que la limite simple d’une suite (f_n) de fonctions à support fini est une fonction à support dénombrable. La fonction constante égale à 1 n’est pas dans ce cas.

Au fond, l’adhérence séquentielle de NNNN est exactement l’ensemble des fonctions à support dénombrable, tandis que l’adhérence de NNNN _est FFFF(X, F) tout entier. La topologie de la convergence simple n’est donc pas «métrisable», et rend nécessaire la topologie générale. Le problème sur les fonctions de Baire (§ 3.3) donne une autre preuve de ce résultat pour FFFF_{(R, R).}

3.3. Topologie de la convergence compacte.

Il arrive souvent que la convergence de la suite (f_n) ne soit pas uniforme sur X, mais seulement sur les parties compactes de X. Par exemple, la série

∑

^+∞

=0 !

n n

n

z converge uniformément sur les parties compactes de C, non sur C. Le problème suivant résout le problème de l’existence d’une topologie de la convergence uniforme sur les compacts.

Problème : Nous dirons qu’un espace métrique (X, d) possède une s.e.c. s’il existe une suite croissante d’ensembles compacts (K_n) telle que X = ∪ Int(K_n). Une telle suite s’appelle suite exhaustive de compacts, ou sec. ²

1) Exemples :

a) Montrer que tout intervalle de R, tout disque ouvert de C, possède une sec ; b) Montrer que tout ensemble ouvert ou fermé d’un evn de dim finie possède une sec.

2) Retour au cas général. Soit f : X → F, (K_n) une sec de X. Montrer l’équivalence des propriétés:

i) f est bornée au voisinage de tout point ;

ii) La restriction de f à tout compact K ⊂ X est bornée ; iii) La restriction de f à tout compact K_n d’une sec est bornée.

3) Soit

B B B B

_k(X, F) l’espace vectoriel des fonctions localement bornées de X dans F.

a) Montrer que, pour tout n, p_n(f) = sup_x∈Kn || f_n(x) || est une semi-norme sur

B B B B

_{k(X, F) ;}

b) Montrer que d_k( f, g) =

∑

^+∞

=021

n

n 1 ( )

) (

g f p

g f p

n n

− + −

est une distance sur

B B B B

_{k(X, F) ;}

c) Soit (f_n) une suite d’éléments de

B B B B

_k(X, F) ; montrer l’équivalence des propriétés : i) d_k(f_n, f) → 0 ;

ii) (f_n) converge simplement vers f, la convergence étant uniforme sur tout K_n ; iii) (f_n) converge simplement vers f, la convergence étant uniforme sur tout compact.

d) Montrer que (

B B B B

_{k(X, F), dk}) est complet pour cette distance.

La topologie définie par cette distance est dite topologie de la convergence compacte. Elle est indépendante de la sec choisie. Cette topologie se rencontre dans la théorie des fonctions analy-

2 Les espaces métriques possédant une sec sont les espaces localement compacts de type dénombrable (cf.

tiques : si (f_n) est une suite de fonctions analytiques sur un ouvert Ω de C, convergeant uniformé- ment vers f sur tout compact de Ω, alors f est analytique dans Ω.

4. Limites uniformes de fonctions continues.

4.1. Une erreur de Cauchy.

« L'erreur n'a rien d'étrange. C'est le premier état de toute connaissance. »

Alain

Dans son Cours d'Analyse de l'École polytechnique (1821), Cauchy tenta de fonder l’analyse sur des bases plus rigoureuses que celles des anciens cours, celui de Lagrange notamment. Cependant, le Cours de Cauchy contenait des erreurs célèbres, et dont la rectification devait faire faire de grands pas à l’Analyse au cours du XIXème siècle. L’une d’elles est celle où Cauchy affirme que la limite simple d’une suite de fonctions continues est continue — en fait, Cauchy considère une série de fonctions continues, de somme partielle s_n et de reste r_n , mais ce problème équivaut au précédent car toute suite peut être transformée en suite des sommes partielles d’une série — :

« Considérons les accroissements que reçoivent ces trois fonctions, lorsqu'on fait croître x d'une quantité infiniment petite α. L'accroissement de s_n sera, pour toutes les valeurs possibles de n, une quantité infiniment petite ; et celui de r_n deviendra insensible en même temps que r_n, si l'on attribue à n une valeur très considérable. Par suite, l'accroissement de la fonction s ne pourra être qu'une quantité infiniment petite. »

« Il me semble que ce théorème admet des exceptions », observe poliment un jeune norvégien de 23 ans, Niels Henrik Abel, dès 1825, faisant observer que la série trigonométrique :

sin x – 2

1_{sin(2x) +} 3

1sin(3x) – ...

connue d’Euler, est simplement convergente sur R mais a pour somme x/2 si |x| < π, 0 si |x| = π ; elle est discontinue aux points (2m+1)π. Aussi, lors de son étude des séries entières, prend-il soin de démontrer rigoureusement la continuité de la somme à l’intérieur du disque ouvert de convergence. ³ En écrivant que « l'accroissement de s_n sera, pour toutes les valeurs possibles de n, une quantité infiniment petite », Cauchy suppose en réalité la convergence uniforme. Ce n’est qu’en 1853 qu’il rectifiera son énoncé en utilisant fort correctement, sans la nommer, cette notion de convergence uniforme. La limite simple d’une suite de fonctions continues n’est en effet pas toujours continue : ainsi, les fonctions f_n(x) = xⁿ sont continues sur [0, 1], leur limite simple f(x) = 0 si x ∈ [0, 1[, f(1) = 1, ne l’est pas. Autrement dit :

lim_x→1− lim_n→+∞ f_n(x) ≠ lim_n→+∞ lim_x→1− f_n(x) .

Dès 1841, Karl Weierstrass utilisa des majorations uniformes pour obtenir des conditions d’inté- gration et de dérivation terme à terme des séries de fonctions, mais il ne publia ses résultats qu’en 1894. L’on peut donc à bon droit attribuer à Abel puis Weierstrass la paternité de la notion de convergence uniforme, même si elle ne fut formellement dégagée que plus tard, et indépendamment, vers 1847-48, par l’allemand Philip von Seidel (1821-1896) et l’anglais George Stokes (1819-1903).

4.2. Limites uniformes de fonctions continues.

Théorème : Soient (X, d) un espace métrique, (f_n) une suite d’applications : X → F continues en a.

Si (f_n) converge uniformément vers f, alors f est continue en a.

Démonstration : Ecrivons d(f(x), f(a)) ≤ d(f(x), fn(x)) + d(f_n(x), f_n(a)) + d(f_n(a), f(a)).

Soit ε > 0. En vertu de la convergence uniforme, choisissons n tel que, pour tout y ∈ X on ait : d(f_n(y), f(y)) ≤ε. Alors, pour tout x, d(f(x) , f(a)) ≤ε + d(f_n(x), f_n(a)) + ε.

3 Au début de ses Recherches sur la série du binôme, publiées au Journal de Crelle en 1826. En fait, il se contente d’établir la continuité à gauche de la somme.

f_n étant continue en a, ∃α > 0 d(x, a) ≤ α ⇒ d(f_n(x), f_n(a)) ≤ ε. Dès lors d(f(x) , f(a)) ≤ 3ε. Cqfd.

Corollaire 1 : Une limite uniforme d’applications continues sur X est continue.

Corollaire 2 : Une série uniformément convergente

∑

_un(x) de fonctions continues en a (resp.

continues) a pour somme une fonction continue en a (resp. continue).

Corollaire 3 : C(X, F) est un sous-espace fermé de l’espace métrique FFFF(X, F) pour la métrique de la convergence uniforme.

Corollaire 4 : L’espace vectoriel C_b(X, F) des fonctions continues bornées de X dans F est un sous- espace vectoriel fermé de BBBB(X, F) pour la norme uniforme ; c’est donc un espace de Banach.

Corollaire 5 : Si X possède une sec (cf.2.3), l’espace C(X, F) est un sous-espace fermé de BBBB_{k(X, F)} pour la topologie de la convergence compacte.

4.3. Limites simples de fonctions continues.

En hommage à Gustave Choquet Les fonctions qui sont limites simples d’une suite de fonctions continues ne sont pas toujours continues, mais elles possèdent des propriétés topologiques qui ont été étudiées par René Baire (1874-1932). Les problèmes suivants explorent ces propriétés.

Problème 1 : fonctions semi-continues.

Soit (E, d) un espace métrique. Une fonction f : E → R est dite semi-continue inférieurement (sci) si son épigraphe Epi(f) = { (x, λ) ∈ E×R ; λ≥ f(x) } est une partie fermée de E×R.

Elle est dite semi-continue supérieurement (scs) si − f est sci.

1) Montrer que f est sci ssi pour tout λ∈ R, E_λ(f) = { x ∈ E ; λ≥ f(x) } est un fermé de E.

2) Exemples :

i) Montrer que f est continue ⇔ f est sci et scs ;

ii) Soit A ⊂ E, 1_A sa fonction caractéristique ; montrer que A est ouvert ⇔ 1_A est sci.

3) Soient f et g deux fonctions sci ; montrer que sup(f, g), inf(f, g) et f + g sont sci , et que si f et g sont à valeurs > 0, f.g est sci.

4) Soit (f_i)_i∈I une famille de fonctions continues inférieures à une fonction g : E → R. Montrer que la fonction f = sup_i∈I f_i est définie et sci. Montrer à l’aide d’un contre-exemple que la borne inférieure d’une famille (f_i)_i∈I de fonctions continues minorées par une fonction h n’est pas toujours sci.

5) Soit f : E → R. Montrer que, pour que f soit sci, il faut et il suffit qu’il existe une suite croissante f₁≤ f₂ ≤ ... ≤ f_n≤... de fonctions continues, tendant simplement vers f.

[ Ind. : pour la condition nécessaire, se ramener au cas où f(E) ⊂ [0, 1], noter A_nk = f−1(

]

n

k _{, +∞}

[

) pour 1 ≤ k ≤ n − 1 et g_n =

n 1

∑

⁻

= 1

1

1

n

k A_nk ]

6) Si E est compact, montrer que toute fonction sci f : E → R est minorée et atteint sa borne inférieure.

7) On suppose E complet ; soit f une fonction sci : E → R. montrer que l’ensemble des points au voisinage desquels f est majorée est un ouvert dense de E. [ Ind. : utiliser le théorème de Baire.]

Exercice 2 : domaine de convergence simple.

Si AAAA est un ensemble de parties de E, on note AAAA_{σ, resp.} AAAA_δ, l’ensemble des parties de E qui s'écrivent comme réunion, resp. intersection, d’une suite de parties de AAAA_.

On note GGGG_{, resp} FFFF, l’ensemble des ouverts, resp. des fermés de l’espace métrique (E, d).

Soit (f_n) une suite de fonctions continues E → R. Montrer que le domaine de convergence simple S de la suite (f_n) est un FFFF_σδ.

[ Indication : Noter que S =

I

≥1 k

U

≥1 n

I

p≥n

I

q≥n

{

x ∈ E ; | f_p(x) − f_q(x) | ≤ k 1

}

.] Exercice 3 : ensembles bivalents.

Soit (E, d) un espace métrique. Un ensemble A ⊂ E est dit bivalent s’il est à la fois un FFFF_{σ et un} G

G G

G_δ (notations de l’exercice précédent).

1) Montrer que les ensembles bivalents forment une algèbre de Boole BBBB de parties de E (i.e. BBBB _est stable par complémentation, unions et intersections finies, et contient ∅ et E), contenant FFFF_et GGGG_. 2) Montrer que tout FFFF_σest réunion disjointe d’une suite d’ensembles bivalents.

3) Propriétés de séparation.

a) Si A et B sont deux GGGG_δ disjoints, il existe un ensemble bivalent C tel que A ⊂ C et B∩C = ∅.

b) Si A et B sont deux GGGG_δ disjoints, il existe deux ensembles bivalents disjoints A’ et B’

contenant resp. A et B.

Problème 4 : fonctions de Baire.

Soit (E, d) un espace métrique. Une fonction f : E → R est dite fonction de Baire si f est limite simple d’une suite (f_n) de fonctions continues sur E. On note BBBB(E, R) l’ensemble de ces fonctions.

1) Montrer que BBBB(E, R) est une algèbre pour les lois usuelles, et que : f , g ∈BBBB(E, R) ⇒ sup(f , g) et inf(f , g) ∈BBBB_{(E, R).}

2) Caractérisation des ensembles bivalents .

Soit A une partie de E. Montrer l’équivalence des propriétés : i) 1_A est une fonction de Baire ;

ii) A est un ensemble bivalent.

[ Indication : Pour i) ⇒ ii) soit (f_n) une suite de fonctions continues tendant simplement vers 1_A ; vérifier que A =

U

n

I

p≥n

f_p⁻¹( [ 2 1_,

2

3_{] ) =}

I

n

U

p≥n

f_p⁻¹( R − [− 2 1_,

2 1_{] ).}

Pour ii) ⇒ i) il existe une suite croissante (F_n) de fermés de E et une suite décroissante (U_n) d'ouverts de E telles que A =

U

^{Fn =}

I

^Un; considérer f_n(x) =

) , ( ) , (

) , (

n n

n

U E x d F x d

U E x d

− + −

.

]

3) Soit f : E → R une fonction de Baire bornée : (∀x) a ≤ f(x) ≤ b. Montrer qu’il existe une suite (f_n) de fonctions continues convergeant simplement vers f sur E et telles que ∀(n, x) a ≤ fn(x) ≤ b.

4) Soit B l’espace de Banach des fonctions bornées de E dans R muni de la convergence uniforme, A un sous-espace vectoriel de B. Montrer l’équivalence des propriétés :

i) A est fermé dans B ;

ii) Si

∑

_un(x) est une série uniformément convergente de fonctions de A, sa somme est dans A ; iii) Si

∑

u_n(x) est une série de fonctions de A telle que ∀(n, x) || u_n(x) || ≤ _n

2

1 , sa somme est élément de A.