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CCP Maths 1 MP 2008 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA) ; il a été relu par Hervé Diet (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).
Cette épreuve propose une étude croisée des fonctions zêta et zêta alternée de Riemann, définies respectivement par
ζ(x) =
+∞
P
n=1
1
nx et F(x) =
+∞
P
n=1
(−1)n−1 nx Elle se compose de quatre parties largement indépendantes.
• La première est consacrée à quelques généralités. On s’intéresse notamment à la définition et à la régularité des fonctions Fet ζ, et on établit une relation entreFetζ sur] 1 ;+∞[.
• La deuxième partie est consacrée à l’étude du produit de Cauchy de la série définissantFpar elle-même. On illustre ainsi le fait que le produit de Cauchy de deux séries convergentes n’est pas en général convergent.
• La troisième partie propose le calcul de la somme de la série
+∞
P
n=1
(−1)n−1lnn à l’aide d’une étude de la fonctionζau voisinage de1. n
• Enfin, la quatrième partie est consacrée au calcul des F(2k) pour k ∈ N∗. Pour cela, on se ramène au calcul des (ζ(2k))k∈N∗, que l’on effectue à l’aide des nombres de Bernoulli. Le problème se conclut par un algorithme effectif de calcul des nombres de Bernoulli.
D’une longueur raisonnable pour une épreuve de quatre heures, ce problème d’ana- lyse permet de tester ses connaissances sur les séries de fonctions, notamment les différents types de convergence (simple, uniforme, normale), le théorème des séries alternées, le théorème de convergence dominée et le théorème sur les limites d’une série de fonctions. Ce sujet permet également de manipuler des fonctions périodiques, des séries de Fourier et des polynômes.
Par ses objectifs raisonnables et la diversité des résultats et notions d’analyse qu’elle utilise, cette épreuve constitue un excellent sujet d’entraînement aux concours.
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Indications
I. Généralités
1 Remarquer que pour toutx∈R, la série définissantF(x)est alternée.
2 On pourra prolonger les fonctionsgn etgpar continuité en1 avant d’appliquer le théorème de convergence dominée à ces prolongements.
3 Pour établir la convergence normale, calculer Sup
x>2
|1/nx|pour n ∈N∗. Enfin, observer que pour toutn>2,|1/nx| −−−−→
x→+∞ 0.
4.b Utiliser le théorème des séries alternées et la question précédente.
II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même 6.a Observer que, pour x >1, la série P
n>2
cn(x) est le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
7.b Déterminer, pourn>2, le signe de Hn
n+ 1−Hn−1
n . 7.c Démontrer queHn est négligeable devantn.
III. Calcul de la somme d’une série à l’aide d’une étude de zeta au voisinage de 1
8.a Utiliser les résultats des questions 2 et 4.
8.b Utiliser également l’égalité démontrée à la question 5.
9.c Raisonner sur les sommes partielles de la série
+∞
P
n=1
vn(x).
9.d Montrer que le reste de la série converge uniformément vers0 sur[ 1 ; 2 ].
9.e Utiliser également l’égalité démontrée à la question 9.c.
10 Observer que la somme demandée est−F′(1).
IV. Calcul des F(2k) à l’aide des nombres de Bernoulli 12 Utiliser le fait queBn(1)−Bn(0) =
Z 1 0
B′n(t) dt.
13 Montrer que ((−1)nBn(1−X))n∈Nest une suite de polynômes de Bernoulli.
14 Erreur d’énoncé : admettre l’unicité et montrer l’existence de la suite. Pour cela, justifier quegkest 2π-périodique, paire, continue et de classeC1par morceaux surR.
15.a Effectuer des intégrations par parties sur l’écriture intégrale des coefficients an(k)et utiliser une propriété des polynômes de Bernoulli.
15.c Raisonner par récurrence surk∈N∗ à l’aide de la relation démontrée en 15.a.
16 Exprimer gk(0) à l’aide du résultat de la question 14 et utiliser la question précédente.
17.a On pourra montrer préalablement que pour toutk∈ {0, . . . , n}, on a B(nk)= n!
(n−k)!Bn−k
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I. Généralités
1 Pour tout x ∈ R, la série de terme général
(−1)n−1 nx
n∈N∗
qui définit F(x) est alternée. Pourx60, son terme général ne tend pas vers0, donc cette série ne converge pas. Pourx >0, le module de son terme général tend vers0en décroissant, donc elle converge par application du théorème des séries alternées. En résumé,
La fonctionFest définie surR∗+.
2 Pour n∈N∗ ett∈[ 0 ; 1 [, on a
gn(t) =1−(−t)n+1 1 +t
On en déduit que la limite simple de(gn)n>1est la fonctiong définie sur[ 0 ; 1 [par g(t) = 1
1 +t
Avant d’appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (gn)n∈N∗, prolongeons par continuité les fonctions gn et g à l’intervalle[ 0 ; 1 ] tout entier. La fonction g se prolonge en une fonction continue sur [ 0 ; 1 ] en posant g(1) = 1/2, et pour tout n ∈ N∗ la fonction gn est prolongeable par continuité à[ 0 ; 1 ]en posant
gn(1) =
n
P
k=0
(−1)k
Ainsi, pour toutn∈N∗,gn est continue sur[ 0 ; 1 ]et il en est de même de la fonction g. Enfin, pourn∈N∗ ett∈[ 0 ; 1 ], on a
|gn(t)|= 1−(−t)n+1
1 +t 6 2
1 +t
Puisque la fonctiont7→2/(1 +t) est intégrable sur[ 0 ; 1 ]et indépendante de n, le théorème de convergence dominée assure que la suite de fonctions (Gn)n>0 définie sur[ 0 ; 1 ]par
Gn(t) = Z t
0
gn(u) du=
n
P
k=0
(−1)k k+ 1tk+1=
n+1
P
k=1
(−1)k−1 k tk converge sur[ 0 ; 1 ]et que sa limiteGvérifie
G(t) =
+∞
P
k=1
(−1)k−1 k tk =
Z t
0
g(u) du= ln(1 +t)
Ent= 1, ceci s’écrit F(1) = Z 1
0
g(t) dt= ln(2)
3 Constatons que, pour n∈N∗ etx>2, on a
(−1)n−1 nx
= 1 nx 6 1
n2 La série de terme général 1
n2 étant convergente et indépendante dex, il vient que La série de fonctions P
n>1
(−1)n−1
nx converge normalement sur[ 2 ;+∞[.
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Par conséquent, la série P
n>1
(−1)n−1
nx converge uniformément versFsur[ 2 ;+∞[.
En outre, pourn>2, (−1)n−1
nx −−−−→
x→+∞ 0
De plus, le premier terme de la série de fonctions est constant, égal à1. On en déduit que la fonctionFadmet une limite en +∞et que
x→lim+∞F(x) = 1
4.a Soitx >0. Notons
ϕx:
] 0 ;+∞[−→R t 7−→ ln(t)
tx
La fonctionϕxest de classeC∞surR∗+ et l’on a pour toutt >0, ϕx′(t) = 1−xlnt
tx+1
Ainsi,ϕx′(t)>0si et seulement sit6ex1. On en déduit le tableau de variations
t 0 e1x +∞
ϕx′ + 0 −
1
ϕx ր ex ց
−∞ 0
Pourx∈R, notons⌊x⌋sa partie entière. Puisque pour toutn∈N∗,ϕx(n) = lnn nx , La suite
lnn nx
n>1
est décroissante à partir du rang⌊e1x⌋+ 1.
Le rapport du jury incite les candidats à « ne pas oublier que le rang, ou indice, d’une suite est un entier. » Ainsi, « on ne dit pas que la suite est décroissante à partir du range1x. En revanche, elle sera décroissante à partir d’un entier supérieur, par exemple⌊e1x⌋+ 1 (le+1a souvent été oublié). »
4.b Observons que pour toutn∈N∗, et toutx >0, fn(x) = (−1)n−1e−xln(n)
Par conséquent, la fonctionfnest indéfiniment dérivable surR∗+et, pourx >0, on a fn′(x) =−(−1)n−1ln(n)e−xln(n)= (−1)nlnn
nx
Ainsi, |fn′(x)|= lnn
nx
Soienta∈R∗+etx∈[a;+∞[. La série de terme généralfn′(x)est alternée et, d’après la question précédente,|fn′(x)|tend vers0 en décroissant à partir d’un certain rang.
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