c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/20
CCP Maths 1 MP 2000 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guilhem Bichot (Mines de Paris) ; il a été relu par Lionel Eyraud (ENS Lyon) et Brice Goglin (ENS Lyon).
L’épreuve se compose d’un seul problème, en quatre parties, consacré à l’analyse. La première partie montre la complétude deC([ 0 ; 1 ],R)muni de la norme uniforme. La deuxième partie établit le théorème du point fixe de Banach. Dans la troisième partie, on étudie une transformation définie par une intégrale.
Enfin la dernière partie applique les résultats des trois premières à une équation fonctionnelle.
Ce problème est assez difficile et requiert une bonne maîtrise de l’analyse dans les espaces de Banach et des grands théorèmes de l’analyse (convergence monotone et dominée).
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/20 Indications
I.1 Montrer que (fn(x)) est de Cauchy, pour cela, utiliser la propriété kfn+p(x)−fn(x)k6N∞(fn+p−fn).
I.2 Écrire quefn est de Cauchy, puis fixerxetn, et faire tendrepvers l’infini.
I.3 Utiliser la question I.2.
I.4 Pour montrer que(un)n’est pas de Cauchy pourN∞, raisonner par l’absurde et remarquer que la limite simple de(un)n’est pas continue.
I.5 Pour la convergence simple, utiliser le théorème de convergence dominée. Pour la convergence uniforme, étudier la monotonie devn−v.
II.2.1 Pour la première inégalité, raisonner par récurrence surn. Pour la deuxième, écrirean+p−ancomme une somme deptermes et utiliser la première inégalité.
II.2.2 Montrer que(an)est de Cauchy en utilisant la question II.2.1. Pour prouver que la limite est dans A, remarquer que A est fermé.
II.2.3 Pour l’existence, utiliser la question II.2.2 et passer à la limite dansan+1 = T(an). Pour l’unicité, utiliser la question II.1.
II.3.1 Pour la continuité, remarquer queTest lipschitzienne. Pour la bijectivité, se ramener à un problème de point fixe et utiliser la question II.2.3.
II.3.2 Commencer par minorerkU(u)−U(v)k.
II.4.1 Six6=y, considérer x−y kx−yk.
II.4.2 Remarquer que(I + Vn)(xn) = (I + V)(x)et utiliser l’indication fournie par l’énoncé.
III.1 Utiliser l’inégalité des accroissements finis.
III.2.2 Pour montrer queTϕ(u)est continue, utiliser le théorème de continuité des intégrales à paramètre.
III.2.4 Utiliser la question II.3.2.
III.3.1 Pour montrer queϕest de typeU, utiliser queµest bornée sur[ 0 ; 1 ]2. Pour démontrer l’isomorphisme, utiliser la question III.2.4.
IV.1 Faire apparaîtreS(ϕ,−1) pourϕbien choisie et utiliser la question III.3.1.
IV.2.1 Écrire (E1) et remarquer que w1 est nécessairement de la forme a x. Puis réinjecter.
IV.2.2 Écrire (En) et remarquer que wn est nécessairement de la forme
n
P
i=1
a2i−1x2i−1. Réinjecter pour trouver le système satisfait par les a2i−1. IV.2.3 Pour montrer que N∞(vn) < 1, écrirevn(x, y)−sinxy comme reste d’une
série alternée. Ensuite, utiliser la question III.3.1.
IV.2.4 Utiliser la question II.4.2 (en vérifiant ses hypothèses grâce aux questions III.2.3, III.3.1, III.3.2).
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/20 I. Convergence uniforme dansC([ 0 ; 1 ],R)
I.1
L’énoncé munit implicitementC([ 0 ; 1 ],R)de la normeN∞, ce qui est pos- sible car toute fonction continue sur un compact est bornée, et [ 0 ; 1 ] est compact.
Soientx∈[ 0 ; 1 ]et ε >0.(fn)est de Cauchy pour N∞:
∃N ∀n>N ∀p N∞(fn+p−fn)6ε SoitN ainsi choisi. On a alors
∀n>N ∀p kfn+p(x)−fn(x)k 6 N∞(fn+p−fn)
6 ε
Nous venons donc de prouver que
∀ε >0 ∃N ∀n>N ∀p kfn+p(x)−fn(x)k6ε c’est-à-dire que(fn(x))est de Cauchy, et donc converge,Rétant complet.
Pour toutx∈[ 0 ; 1 ],(fn(x))converge.
I.2.a Montrons quef est bornée.
(fn)est de Cauchy pourN∞ : en choisissantε= 1, on a
∃N ∀n>N ∀p N∞(fn+p−fn)61 SoientNainsi choisi,n= N, etx∈[ 0 ; 1 ].
Alors ∀p kfN+p(x)−fN(x)k 6 N∞(fN+p−fN)
6 1
En faisant tendrepvers l’infini,
kf(x)−fN(x)k61 d’où, par inégalité triangulaire
kf(x)k6kfN(x)k+ 1 d’où enfin kf(x)k6N∞(fN) + 1 Comme ceci est vrai pour toutx∈[ 0 ; 1 ],
f est bornée sur[ 0 ; 1 ].
Il faut connaître les deux énoncés équivalents de l’inégalité triangulaire : (i) ∀(x, y)∈E2, kx+yk6kxk+kyk
(ii) ∀(x, y)∈E2, kx−yk>| kxk − kyk |
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/20
I.2.b Montrons queN∞(fn−f)−−−−→
n→∞ 0.
Soitε >0.(fn)est de Cauchy pourN∞ :
∃N ∀n>N ∀p N∞(fn+p−fn)6ε
SoientNainsi choisi,n>N, etx∈[ 0 ; 1 ].
Alors ∀p kfn+p(x)−fn(x)k 6 N∞(fn+p−fn)
6 ε
En faisant tendrepvers l’infini,
kf(x)−fn(x)k6ε
Comme ceci est vrai pour toutx∈[ 0 ; 1 ],
N∞(f−fn)6ε
Nous venons donc de prouver que
∀ε >0 ∃N ∀n>N N∞(f−fn)6ε
c’est-à-dire que N∞(f−fn)−−−−→
n→∞ 0
I.3 Un espace de Banach est, par définition, un espace vectoriel normé complet.
Nous devons donc montrer queC([ 0 ; 1 ],R)muni deN∞ est complet. Soit(fn)une suite deC([ 0 ; 1 ],R), de Cauchy pour N∞. On applique le résultat de la question I.2 :(fn)converge uniformément sur[ 0 ; 1 ]vers une fonctionf. Il ne reste plus qu’à montrer quef est continue :f est continue car elle est limite uniforme de la suite desfn qui sont toutes continues.
C([ 0 ; 1 ],R)muni deN∞est un espace de Banach.
I.4.a Montrons que(un(x))converge pour toutx∈[ 0 ; 1 ].
Soitx∈[ 0 ; 1 ].
– Six <1, alorsxn−−−−→
n→∞ 0, donc par continuité de l’exponentielle, un(x)−−−−→
n→∞ e0= 1 – Six= 1, alors pour toutn,1n= 1et un(1) =e1=e.
Ainsi, la suite(un)converge simplement vers la fonction u: [ 0 ; 1 ]→Rdéfinie par
u(x) =
(1 six <1 e six= 1
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