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CCP Maths 2 MP 2006 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Frédéric Mazoit (Enseignant-chercheur à l’université) ; il a été relu par Denis Ravaille (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet de géométrie est de difficulté moyenne et peut être traité entièrement dans le temps imparti. Le thème central, les matrices de Gram, est très souvent abordé dans les sujets de géométrie ou d’algèbre, ce qui fait de cet énoncé un très bon entraînement aux écrits des concours. Il comprend quatre parties largement indépendantes et les résultats nécessaires à la suite du sujet sont fournis dans l’énoncé lorsqu’il y en a besoin.
• La première partie sert à établir des propriétés utilisées dans les parties sui- vantes. Elle donne notamment une interprétation géométrique des matrices de Gram.
• Dans la deuxième partie, on étudie à quelles conditions une sphère de dimen- sionnadmet des familles deppoints tous à égale distance les uns des autres, puis on applique les résultats trouvés au cas de la dimension 3.
• La troisième partie porte sur les ellipses et plus précisément sur les théorèmes d’Apollonius :
Étant donné une ellipseCde centreOet un pointM0deC, la parallèle à la tangente àC enM0passant parOcoupe l’ellipse en deux points M1 et M2. On dit que −−−→
OM0 et −−−→
OM1 (ou −−−→
OM0 et −−−→
OM2) sont des diamètres conjugués.
M0
M2
M1
C
O
– OM02+ OM12 est constant quandM0 décritC.
– L’aire du parallélogramme qui s’appuie sur OM0 et OM1 est constante.
• Enfin, dans la quatrième partie, on montre, à l’aide des matrices de Gram, qu’une isométrie entre deux ensembles finis de points de Rn peut toujours se prolonger en une isométrie deRn.
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Indications
Première partie
1.b Faire apparaître un produit de la forme tB B. Utiliser le théorème du rang.
3.b Utiliser une propriété du déterminant des matrices symétriques.
4 CalculerΓ −→
OA,−→
OB,−→
OC .
5.b Commencer par calculer(x−z|y),(x|z)et (z|z)en utilisant la propriété du cours suivante : le projeté dexsurVect(y)est (x|y)
(y|y)y.
5.c Distinguer le cas où−→
ABet−→
ACsont orthogonaux du cas général.
6.a Utiliser la question 2. Le volume du parallélépipède « formé parA,B,CetD» estdet −→
AB,−→
AC,−→
AD .
Deuxième partie 7.b Trouver une base de vecteurs propres.
7.c Faire apparaître une application du résultat de la question 7.b.
8.a Appliquer le résultat de la question 3.a.
8.b Appliquer le résultat de la question 3.b. Pour montrer quem6n+ 1, utiliser le premier critère de la question pour montrer que les familles(x1, x2, . . . , xm) et(x1, x2, . . . , xm−1)ne peuvent pas être simultanément liées.
9 À l’aide des hypothèses sur la famille(A1,A2, . . . ,Am), déterminerm puist.
Interpréter géométriquement.
10.b Calculer les produits scalaires(xi |xj)pour(i, j)∈[[ 1 ; 3 ]].
10.c Utiliser les résultats des questions 10.a et 10.b.
Troisième partie
11 ExprimerBen fonction deAet P. Calculer la trace des deux matrices.
12.a Faire intervenir la matriceD =
1/a2 0 0 1/b2
.
12.c Une équation de la tangente à une courbeC au pointM0 est (−−→
OM−−−−→
OM0
∇C(M0)
= 0
12.d.i Appliquer le résultat de la question 11 aux vecteurs définis à la question 12.b.
Quatrième partie 13.a Montrer la propriété pour les vecteurs de base.
13.b Pour montrer queyi−u(xi)∈W⊥, en utilisant le résultat de la question 13.a, calculer les produits scalaires yi−u(xi)
yj
.
14.b Une application affineϕ: E7→Eest une isométrie si et seulement si
∀(A,B)∈E2 d(A,B) =d ϕ(A), ϕ(B)
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I. Généralités
1.a SoitY∈ Mn,1telle que tY Y = 0. En notant(yi,1)i∈[[ 1 ;n]]les coefficients deY et(z1,i)i∈[[ 1 ;n]] ceux de sa transposée, on obtient
tY Y =
n
P
k=1
z1,kyk,1=
n
P
k=1
(yk,1)2 On en déduit que chaque termeyk,1 est nul et donc
La matriceY est nulle.
On peut aussi aborder la question en disant qu’une matriceYdeMn,1 peut être considérée comme un vecteur de Rn et que tY Y est alors le produit scalaire canonique de Y avec Y. Donc si tY Y est nul, par définition du produit scalaire,Y = 0.
1.b SoitXun vecteur deKer (tA A). Comme(tA A)X = 0, on a
tX(tA A)X = t(AX)(AX) = 0
Le résultat de la question 1.a permet alors de conclure queAX = 0 et donc que X appartient àKer (A). Finalement,
Ker (tA A)⊆Ker (A)
Comme par ailleurs, tout vecteurXdeKer (A)vérifieAX = 0et donc (tA A)X = tA(AX) = tA 0 = 0
les noyaux deAet de tA Asont égaux.
D’après le théorème du rang, siϕ: E7→Fest une application linéaire, dim Ker (ϕ)
+ rg (ϕ) = dim(E)
Or, les applications linéaires associées aux matricesAet tA Aont toutes les deux le même ensemble de définition (Rn) et nous venons de montrer qu’elles ont le même noyau. Par conséquent,
∀A∈ Mn,p(R) rg (A) = rg (tA A)
2 Pouri∈[[ 1 ;p]], les coordonnées du vecteurxidans la baseBsont, par définition, les coefficients(ak,i)k∈[[ 1 ;n]]. On en déduit que
(xi |xj) = n P
k=1
ak,iek|
n
P
l=1
al,jel
=
n
P
k=1 n
P
l=1
(ak,iek|al,jel)
=
n
P
k=1 n
P
l=1
ak,ial,j(ek |el) (xi |xj) =
n
P
k=1
ak,iak,j
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carBest orthonormale. Par ailleurs,(tA A)i,j =
n
P
k=1
ak,iak,j donc G(x1, x2, . . . , xn) = tA A
De plus, d’après le résultat de la question 1.b,rg (A) = rg (tA A). Par conséquent, rg G(x1, x2, . . . , xp)
= rg (x1, x2, . . . , xp) 3.a Commen=p, la matriceA définie à la question 2 est telle que
A est inversible⇐⇒rg (A) =p=n
⇐⇒la famille (x1, x2, . . . , xn)est libre D’après le résultat de la question 2,
rg (A) = rg G(x1, x2, . . . , xn) On en déduit que
Aest inversible⇐⇒G(x1, x2, . . . , xn)est inversible
⇐⇒Γ(x1, x2, . . . , xn)6= 0 Et au final,
La famille(x1, x2, . . . , xn)est liée si et seulement siΓ(x1, x2, . . . , xn) = 0.
3.b On a démontré à la question 2 queG(x1, x2, . . . , xn) = tA A. Par conséquent, Γ(x1, x2, . . . , xn) = det(tA A)
= det(tA) det(A)
= det(A)2 Et donc Γ(x1, x2, . . . , xn)>0
Or on vient de montrer que la famille (x1, x2, . . . , xn) est liée si et seulement si Γ(x1, x2, . . . , xn) = 0. On en déduit donc que
La famille(x1, x2, . . . , xn)est libre si et seulement siΓ(x1, x2, . . . , xn)>0.
4 Les pointsA,Bet Cétant sur la sphère unité, on a k−→
OAk=k−→
OBk=k−→
OCk= 1 Les produits scalaires(−→
OA|−→
OB),(−→
OB|−→
OC)et(−→
OC|−→
OA)sont donc respectivement égaux aux cosinus des anglesα,β etγ. Par conséquent,
G(−→
OA,−→
OB,−→
OC) =
1 cosα cosγ cosα 1 cosβ cosγ cosβ 1
En développant le déterminantΓ(−→
OA,−→
OB,−→
OC)selon la première colonne, on obtient Γ(−→
OA,−→
OB,−→
OC) =
1 cosβ cosβ 1
−cosα
cosα cosγ cosβ 1
+ cosγ
cosα cosγ 1 cosβ
= 1 + 2 cosαcosβcosγ−cos2α−cos2β−cos2γ Téléchargé gratuitement surDoc-Solus.fr
