CCP Maths 2 MP 2012 — Corrigé

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CCP Maths 2 MP 2012 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Christophe Fiszka (ENS Cachan) ; il a été relu par Jean Louet (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

L’énoncé se compose d’un court exercice et d’un problème à quatre parties.

• L’exercice propose d’étudier un problème de congruence modulo 11.

Le problème étudie l’endomorphisme : ϕA:

(M_n(R)−→ M_n(R) M 7−→AM−MA

et en particulier son noyau, qui est le commutant de la matrice A. Notons que ϕA(M) = [A,M], où[·,·]est le crochet de Lie. Les quatre parties peuvent être traitées séparément mais il est préférable de les aborder dans l’ordre.

• Les deux premières parties proposent de montrer qu’une matrice réelle est diagonalisable si et seulement siϕA l’est. La première étudie le cas oùAest une matrice de taille2, la seconde traite le cas général.

• La troisième partie est consacrée à l’étude du noyau deϕA: les polynômes enA forment un sous-espace vectoriel de ce noyau ; siA est une matrice nilpotente d’indice maximal, le commutant est exactement l’ensemble des polynômes enA.

• Dans la dernière partie, on montre qu’une matrice propre deϕApour une valeur propre non nulle est forcément nilpotente.

Ce sujet est plutôt facile et très classique, ce qui en fait un bon problème de révision sur la réduction des endomorphismes et les matrices. Il requiert néanmoins une cer- taine dextérité dans les calculs : il convenait donc d’être particulièrement soigneux et précis lors de la rédaction.

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Indications

Exercice

1 Calculer tout simplement les premiers termes. Au moins jusqu’à 5...

Problème

Partie I

I.4 Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéris- tique est scindé et si, pour chaque valeur propre, la dimension de l’espace propre associé est égale à la multiplicité de la valeur propre en tant que racine du polynôme caractéristique.

Partie II

II.7.a.iii La relation ^tA Y =zY implique par transposition ^tY A =z^tY.

II.7.b Les valeurs propres deϕAsont réelles, et pourtant2iImz=z−zappartient au spectre...

II.7.c Remarquer queAPi,j=ϕA(Pi,j) + Pi,jA.

II.7.d À partir de(Pi,jX)16i,j6n, extraire une base de vecteurs propres deA.

Partie III

III.8 (In,A, . . . ,A^m⁻¹)est une base si et seulement si elle est libre et génératrice.

Si la famille n’est pas libre, on peut exhiber un polynôme annulateur de degré inférieur à celui du polynôme minimal. La famille est génératrice grâce à une division euclidienne par le polynôme minimal.

III.10.a Montrer que la famille est libre par récurrence.

III.10.b Il y a égalité entre deux endomorphismes s’ils prennent les mêmes valeurs sur une base, par exemple la base(e1, e2, . . . , en).

III.11.a Utiliser le lemme suivant pour deux endomorphismesf et gdeRⁿ: Si f◦g=g◦f alorsg(Kerf)⊂Kerf.

III.11.c On trouve P^p

i=1

mi2 en analysant chaque bloc.

III.11.d Pour chaque valeur dep allant de 1 à 7, il faut dénombrer l’ensemble des p-uplets(m1, . . . , mp)tels que

m16. . .6mp et m1+· · ·+mp=n= 7 Partie IV

IV.12 Procéder par récurrence avecϕA(B^k+1) = (AB^k)B−B^k(BA). Puis utiliser l’hypothèse de récurrenceϕA(B^k) =αkB^k etAB−BA =αB.

IV.13 La question précédente donne le résultat pour les monômesX^k.

IV.14 Montrer queXπ_B^′ −dπBest un polynôme annulateur. Que dire de son degré ? IV.15 En utilisant la question précédente, montrer que πB= X^d.

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Exercice

1 Calculons 3^p pourpvariant de1 à5 en utilisant les propriétés des congruences : 3 ≡3 [11]

3² ≡9≡ −2 [11]

3³ ≡27≡5 [11]

3⁴ ≡(3²)²≡(−2)²≡4 [11]

3⁵ ≡3×3⁴≡3×4≡12≡1 [11]

donc 5est le plus petit entier naturelpnon nul tel que3^p≡1 [11].

2 Pour toutn∈N, on a la suite de congruences :

3ⁿ⁺²⁰¹²−9×5²ⁿ ≡3ⁿ3²⁰¹²−3²(5²)ⁿ

≡3²(3ⁿ3⁵^×⁴⁰²−25ⁿ) 2012 = 5×402 + 2

≡3²(3ⁿ(3⁵)⁴⁰²−3ⁿ) car25≡3 [11]

≡3²(3ⁿ−3ⁿ) car3⁵≡1 [11]

3ⁿ⁺²⁰¹²−9×5²ⁿ ≡0 [11]

Finalement, 3ⁿ⁺²⁰¹²−9×5²ⁿ est divisible par11.

Comme pour2,5,9et10, il existe un critère simple pour savoir si un nombre est divisible par11. Sin=ap. . . a1a0est l’écriture en base10du nombren,

ap. . . a1a0≡

p

P

i=0

ai10ⁱ≡

p

P

i=0

ai(−1)ⁱ[11]

Ainsi, 11 divisensi et seulement si P^p

i=0

(−1)ⁱai≡0 [11]. Par exemple,

9281708403≡3 + 4−8−7 + 1−8 + 2−9≡ −22≡2−2≡0 [11]

donc9281708403est divisible par 11.

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Problème

I. Étude du cas n = 2

I.1 Pour tout(M,N)∈ M₂(R)² et toutλ∈R,

ϕA(M +λN) = A(M +λN)−(M +λN)A

= AM−MA +λ(AN−NA) ϕA(M +λN) =ϕA(M) +λϕA(N)

donc ϕA est une application linéaire.

De surcroît,ϕA(I2) = A.I2−I2.A = A−A = 0et ϕA(A) = A.A−A.A = 0donc (I2,A)∈(Ker (ϕA))²

En particulier, siA n’est pas une matrice scalaire, le noyau est au moins de dimension 2.

I.2 Pour donner la matrice de ϕA dans la base E = (E1,1,E2,2,E1,2,E2,1), il faut expliciter chaque élémentϕA(Ei,j)dans la baseE:

ϕA(E1,1) = a b

c d

1 0 0 0

− 1 0

0 0

a b c d

= a 0

c 0

− a b

0 0

ϕA(E1,1) =

0 −b

c 0

=cE2,1−bE1,2

ϕA(E2,2) = a b

c d

0 0 0 1

− 0 0

0 1

a b c d

= 0 b

0 d

− 0 0

c d

ϕA(E2,2) =

0 b

−c 0

=bE1,2−cE2,1

ϕA(E1,2) = a b

c d

0 1 0 0

− 0 1

0 0

a b c d

= 0 a

0 c

− c d

0 0

ϕA(E1,2) =

−c a−d

0 c

= (a−d)E1,2+cE2,2−cE1,1