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CCP Maths 2 PC 2001 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Xavier Goaoc (ENS Cachan) ; il a été relu par David Lecomte (ENS Cachan) et Vincent Beck (ENS Cachan).
Ce sujet étudie l’équation différentiellede Bessel: x2y′′+xy′+ (x2−λ2)y= 0 oùλ∈R
• La première partie introduit une famille de fonctions (connues sous le nom de coefficients de Bessel) définies par des intégrales dépendant d’un paramètre.
Après avoir étudié leur parité et leur régularité, on montre qu’elles sont solutions de l’équation de Bessel pour des valeurs entières deλ.
• La deuxième partie, plus calculatoire, décompose en séries entières les fonctions introduites en première partie. On en déduit des formules sommatoires sur les coefficients de Bessel.
• La troisième partie traite le cas général de l’équation de Bessel. On la réduit à une autre équation différentielle, dont on cherche les solutions sous forme de série entière.
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Indications
Première partie
I.1 Penser à faire un changement de variableu=π−t dansJn(x).
I.2 ExprimerJ−n(x)en fonction de Jn(−x)et utiliser la question précédente.
I.3 Appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme.
I.4 IntégrerJ′n(x)par parties (en intégrant lesin(nt−xsint)).
Deuxième partie
II.1 Développercos(nt−xsint)et scinder les intégrales obtenues en π 2.
II.2 Utiliser la question II.1 et le théorème d’interversion entre série et intégrale (penser à la convergence normale pour montrer la convergence uniforme).
II.3.1 Pour linéarisersin2kxdévelopper
eit−e−it 2i
2k
et regrouper les termes d’ex- posants opposés. Cette question est assez calculatoire.
II.3.2 Procéder comme à la question II.3.1 ou se servir du résultat obtenu à la question II.3.1 et utiliser l’identité remarquable
cosasinb=1
2(sin(a+b)−sin(a−b))
II.4.1 Scinder l’intégrale définissant les coefficients de Fourier en π et opérer un changement de variable u=t−πdans la deuxième partie.
II.4.2 Particulariser les relations obtenues à la question II.4.1 ; utiliser l’égalité de Parseval.
Troisième partie
III.1.2 Utiliser la question III.1.1 pour trouver la solution de(Bλ).
III.1.3 Remarquer que(Bλ) = (B−λ).
III.3.1 Observer les limites dejλ(x)etj−λ(x)quandxtend vers0par valeurs posi- tives.
III.3.2 Pour comparerjn et Jn utiliser leurs développements respectifs en série en- tière. Pour montrer quez−nest solution de(B−n′), penser à utiliser la question III.1.1.
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Première partie
I.1 Pour tout réelxla fonctiont7→cos(nt−xsint)est continue sur[0, π]. Elle est donc intégrable sur[0, π]et Jn(x)est bien définie.
Étudions maintenant la parité deJn. Fixonsx∈Ret opérons le changement de variableu=π−tpour obtenir :
Jn(−x) = 1 π
Z π
0
cos(nt+xsint)dt
= 1 π
Z π
0
cos(nπ−nu+xsin(π−u))du Jn(−x) = 1
π Z π
0
cos(nπ−(nu−xsinu))du
On distingue alors deux cas :
• nest pair et Jn(−x) = 1 π
Z π
0
cos(−(nu−xsinu))du= Jn(x)
• nest impair etJn(−x) = 1 π
Z π
0
cos(π−nu−xsinu)du=−Jn(x)
Donc Jn est paire sinest pair et impaire sinest impair.
I.2 Commençons par exprimerJ−n en fonction deJn. Pour tout réelxon a J−n(x) = 1
π Z π
0
cos(−nt−xsint)dt= 1 π
Z π
0
cos(nt−(−x) sint)dt
soit J−n(x) = Jn(−x)
En utilisant la questionI.1on a donc : J−n(x) =
( Jn(x) sinest pair
−Jn(x) sinest impair ce que l’on résume par
∀x∈R J−n(x) = (−1)nJn(x)
I.3 Pour tout entier net quel que soit k, la fonction(x, t)7→cos(nt−xsint) est de classe Ck sur R×[ 0 ;π]. Puisque [ 0 ;π] est un segment, on peut appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme et on obtient queJn est de classeCk.
Pour toutn∈Z, Jn est donc de classeC∞surR.
Alors, ∀n∈Z ∀x∈R Jn(k)(x) = 1 π
Z π
0
∂k
∂xk(cos(nt−xsint))dt
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I.4 Fixonsx∈Ret commençons par calculerJn′(x)en utilisant la formule obtenue à la question I.3 :
Jn′(x) = 1 π
Z π
0
sintsin(nt−xsint)dt (1) Puis intégrons par parties pour faire apparaître le terme cos(nt−xsint) (on intègresintet on dérive sin(nt−xsint)) :
Jn′(x) =−1
π[costsin(nt−xsint)]π0+ 1 π
Z π
0
cost(n−xcost) cos(nt−xsint)dt et comme [costsin(nt−xsint)]π0 = 0
on a bien Jn′(x) = 1 π
Z π
0
(cost)(n−xcost) cos(nt−xsint)dt (2) La fonction(x, t)7→sintsin(nt−xsint)est elle aussi de classeC1surR×[ 0 ;π] et [ 0 ;π]est un segment fermé. On peut donc calculer Jn′′(x)en dérivant (1) sous l’intégrale :
Jn′′(x) = 1 π
Z π
0
−sin2tcos(nt−xsint)dt Et vérifions maintenant queJn vérifie l’équation(Bn): x2Jn′′(x) +xJn′(x) + (x2−n2)Jn(x)
= 1 π
Z π
0
(−x2sin2t+xcost(n−xcost) +x2−n2) cos(nt−xsint)dt
= 1 π
Z π
0
(x2(1−cos2t−sin2t)−n(n−xcost) cos(nt−xsint))dt
=−n π
Z π
0
(n−xcost) cos(nt−xsint)dt
=−n
π[sin(nt−xsint)]πo
= 0
Donc ∀x∈R x2Jn′′(x) +xJn′(x) + (x2−n2)Jn(x) = 0 et finalement Jn vérifie l’équation différentielle(Bn)surR.
La première partie de la question a pour but d’exprimerJn′(x)comme une intégrale dans laquelle apparaît le termecos(nt−xsint). CalculerJn′′(x)en partant de (2), plutôt que de (1)comme nous l’avons fait, serait maladroit ; cela conduirait en effet à une nouvelle intégration par parties pour montrer que
x2Jn′′(x) +xJn′(x) + (x2−n2)Jn(x) = 0
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