CCP Maths 2 PC 2004 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/16

CCP Maths 2 PC 2004 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Julien Lévy (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Ce sujet est un grand classique, qui tourne autour de la fonction ζ:s7→

∞

P

n=1

1 n^s

de Riemann. Les principaux outils mis en œuvre sont les séries entières et les intégrales à paramètres.

• La première partie propose d’étudier une version généralisée de la fonctionζ, sous la forme de la série entière

∞

P

n=1

zⁿ n^s

Après avoir soigneusement examiné ses domaines d’existence selon z et s, on montre un lien avec la fonctionΓd’Euler.

• La deuxième partie se consacre à la fonction ζ, dont on étudie la régula- rité, la monotonie, les limites (en 1 et en ⁺∞) et un équivalent classique lorsques→1⁺.

• La troisième partie vise à calculer quelques intégrales en s’appuyant d’abord sur un calcul usuel de ζ(2) et ζ(4) au moyen des séries de Fourier, puis en utilisant la relation vue à la première partie avec la fonctionΓ.

Ce problème est de difficulté modérée, en dépit de la richesse des résultats obtenus, parce que l’énoncé est nettement directif ; en outre, vous êtes supposé être déjà familier avec plusieurs des questions posées, qui sont très classiques. Tout ceci en fait un excellent sujet de révision.

Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/16

Indications

Partie I

I.1 Appliquer le critère de d’Alembert pour les séries entières.

I.2.1 Utiliser les résultats sur les séries de Riemann.

I.2.3 Pour démontrer la convergence de la série, majorer le module de son terme général en utilisant le début de la question et la monotonie det7−→t^−s. I.3.1 Intervertir la somme et l’intégrale.

I.4.1 Effectuer le changement de variableu=nt.

I.4.2 Intégrer terme à terme et utiliser la question I.4.1.

Partie II

II.1 Montrer que la série des dérivées converge uniformément sur tout compact de l’intervalle] 1 ;⁺∞[.

II.3 Utiliser les comparaisons série–intégrale.

Partie III

III.1.1 Pour montrer la parité deg, se ramener àx∈[ 0 ; 2π[.

III.1.2 Appliquerg en une valeur particulière puis utiliser la formule de Parseval.

III.2.2 Utiliser la question I.4.2.

III.2.3 Appliquer le résultat de la question précédente àθ= 0et θ= π 2 .

III.3.1 Considérer les parties réelles et imaginaires dans la formule(1) de la question I.4.2.

III.3.2 Appliquer le résultat de la question précédente àθ= 0, π 2 etπ.

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/16 Ce sujet fait un usage intensif des séries, en utilisant une notation qui peut prêter à confusion. Afin d’écarter tout doute, voici les conventions usuelles :

• pour désigner une série, on utilise le symbole sigma sans indice :P uⁿ ;

• lasomme de la série (lorsque cette dernière converge) est normalement notée P^∞

n=0

uⁿ.

Le défaut de la notation P

uⁿ est de ne pas préciser l’indice à partir duquel on effectue la sommation, disonsn0 pour fixer les idées, par exemple dans une série tronquée. Lorsque le contexte ne permet pas de lever facilement toute ambiguïté, certains enseignants recourent à la notation P

n>n₀

uⁿ pour désigner la série, alors que syntaxiquement cette écriture devrait désigner la somme. D’autres enseignants utilisent au contraire cette notation comme abréviation de la somme. Le statut de cette notation est donc ambigu et, finalement, seul le contexte permet de comprendre ce que l’on a voulu dire.

L’auteur de l’énoncé a fait le choix d’utiliser la notation

∞

P

n=n₀

uⁿ pour désigner une série, et non sa somme. Afin de faciliter votre lecture, nous suivons au plus près les notations de l’énoncé et nous adoptons par conséquent la même convention dans ce corrigé.

Gardez toutefois à l’esprit que cette convention n’est pas usuelle et que vous pouvez sans crainte adopter la forme classiqueP

uⁿ si elle vous semble plus naturelle : lorsque les notations sont aussi proches, c’est la justesse, la précision et la clarté de vos réponses qui seront évaluées, pas vos notations.

Partie I

I.1 Soitsun nombre réel etn>1. On a (n+ 1)^−s

n^−s = e^−sln ¹⁺ⁿ¹

−−−−→

n→∞ 1 Le critère de d’Alembert pour les séries entières montre alors que

Le rayon de convergence de la série entière

+∞

P

n=1

1

n^szⁿ est1.

I.2.1 Soitz= eⁱ^θ un nombre complexe de module1 etsun réel. On a

zⁿ n^s

= 1 n^s

C’est une série de Riemann qui converge si et seulement sis >1. De plus, sis60, la suite (1/n^s)^n∈N^∗ ne tend pas vers 0 donc la série associée ne peut converger.

En résumé,

La série converge absolument si s >1et diverge grossièrement sis60.

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/16 Pour redémontrer ce résultat sur les séries de Riemann, on utilise les comparaisons série-intégrale.

Si s 6 0, la suite (1/n^s)ⁿ∈N∗ ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.

Si s > 0, la fonction t 7−→ 1

t^s est positive et décroissante sur [ 1 ;⁺∞[.

À l’aide du schéma suivant, on voit qu’on peut encadrer 1

n^s (qui est à la fois l’aire du rectangle R et celle du rectangle R^′) par les deux intégrales, calculées entre netn+ 1 d’une part, etn−1et nd’autre part.

✻

✲

0 n−1 n n+ 1

1 n^s

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R R^′

Z ⁿ⁺¹

n

1

t^s dt6 1 n^s 6

Z ⁿ

n−1

1 t^s Pour s6= 1, cela donne

Z ^N+1

2

1 t^s dt6

N

P

n=2

1 n^s 6

Z ^N

1

1 t^s dt=

Z ^N

2

1

t^s dt+ C^te

Les deux intégrales se comportent de la même manière lorsque N tend vers l’infini : étudions celle de droite.

Z N

2

1 t^sdt=

1 1−s

1 t^s−1

^N

2

= 1

s−1 1

2^s−1 − 1 N^s−1

Regardons ensuite sa limite lorsque N tend vers l’infini, pour pouvoir en déduire le comportement de la série.

• Sis >1, 1 s−1

1

2^s⁻¹− 1 N^s⁻¹

−−−−−→

N→+∞

1 s−1

1 2^s⁻¹

donc la série converge.

• Sis <1, 1

s−1 1

2^s−1 − 1 N^s−1

−−−−−→

N→+∞

+∞ donc la série diverge.