© Éditions H & K Publié dans les Annales des Concours 1/16

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CCP Maths 2 PC 2011 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Julien Reygner (École Polytechnique) ; il a été relu par Kévin Destagnol (ENS Cachan) et Laetitia Borel-Mathurin (Professeur en CPGE).

Ce problème d’analyse est consacré à l’étude des séries de fonctions U(x) =

+

∞

P

n=1

2x

x ² + n ² π ² et V(x) =

+

∞

P

n=1

ln

1 + x ² n ² π ²

Il est composé de trois parties, dont les deux dernières sont indépendantes entre elles mais qui utilisent les résultats de la première.

• Dans la première partie, on étudie la convergence de ces séries ainsi que la régularité des fonctions U et V. On montre en particulier que U est la dérivée de V.

• La deuxième partie permet d’écrire des expressions des fonctions U et V à partir des fonctions usuelles, en particulier des fonctions trigonométriques hyperboliques. On utilise pour cela le développement en série de Fourier d’une fonction 2π-périodique construite à partir du cosinus hyperbolique. On arrive finalement au développement en produit infini du sinus hyperbolique :

∀x ∈ R sh (x) = x

+

∞ k=1 Π

1 + x ²

k ² π ²

• La troisième partie est consacrée au calcul de l’intégrale f (x) =

Z

^∞

0

sin(tx) e ^πt − 1 dt

que l’on exprime en fonction de U après s’être intéressé à sa bonne définition et à sa régularité. La fin du problème comporte quelques subtilités.

Ce problème, assez court et peu difficile, permet une bonne révision des théorèmes d’analyse du programme de seconde année, en particulier sur les séries de fonctions et les intégrales dépendant d’un paramètre. Exception faite d’une ou deux questions, il n’est pas spécialement calculatoire, et aucune question ne nécessite d’astuce parti- culière, seulement de la vigilance dans le raisonnement. Il est tout à fait adapté pour se mettre en confiance en analyse avant d’attaquer des sujets d’un niveau plus élevé.

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Indications

Partie I I.1.1 Utiliser la convergence de la série P 1/n ² .

I.1.2 Dans l’étude de la convergence normale sur R , vérifier si P u n (n) converge.

I.2.1 Remarquer que u n est de la forme ψ ^′ /ψ pour une fonction ψ bien choisie.

I.2.2 Utiliser l’encadrement 0 6 ln(1 + y) 6 y pour tout y > 0.

I.3 Étudier d’abord la suite de terme général ln n

k=1 Π

1 + x ² k ² π ²

. Partie II

II.1.1 Montrer que g x est continue et de classe C ¹ par morceaux sur R . II.1.2 Penser à étudier la parité de g x avant de se lancer dans les calculs.

II.1.3 Utiliser les écritures ch (y) = (e ^y + e ^−y )/2 et cos(y) = (e ^iy + e ^−iy )/2 puis la définition des coefficients de Fourier d’une fonction 2π-périodique.

II.2.1 Évaluer g x en π.

II.2.2 Ne surtout pas couper l’intégrale en deux intégrales qui divergent. Essayer plutôt de calculer une primitive de l’intégrande entre ε > 0 et x > ε puis de prendre la limite de l’expression trouvée quand ε → 0 ⁺ (en justifiant ce raisonnement, bien sûr).

Partie III

III.1.1 Utiliser les développements limités en 0 du sinus et de l’exponentielle.

III.1.2 Utiliser l’équivalence 1/(e ^πt − 1) ∼ e ^−πt au voisinage de

∞.

III.3 Raisonner par récurrence. Attention, vérifier que f est continue sur R nécessite de montrer que f est continue sur tout intervalle borné. Utiliser ensuite le théorème de dérivation sous le signe intégrale.

III.4.1 Se ramener à la série géométrique P z ⁿ . III.4.2 Utiliser l’écriture sin(y) = (e ^iy − e ^−iy )/2i.

III.4.3 Utiliser la valeur de la somme des premiers termes d’une suite géométrique.

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Partie I

I.1.1 Soit x ∈ R . Pour tout n ∈ N ^∗ , x ² + n ² π ² > n ² π ² > 0 donc la fonction u n est bien définie et

|u n (x)| 6 2 |x|

n ² π ² Comme la série P

2 |x| /(n ² π ² ) est une série de Riemann convergente, par comparai- son la série P

u n (x) est absolument convergente donc convergente.

La série P u n converge simplement sur R .

Soit α > 0. Il est indispensable de connaître la nature de la série P 1/n ^α , celle-ci converge si et seulement si α > 1. En particulier, P 1/n diverge et P 1/n ² converge. Ces deux séries, très classiques, sont très largement uti- lisées dans les exercices et les problèmes sur la convergence des séries numé- riques, et doivent donc être connues par cœur.

I.1.2 Soient a > 0 et n ∈ N ^∗ . D’après la question précédente, pour tout x ∈ [ −a ; a ],

|u n (x)| 6 2 |x|

n ² π ² 6 2a n ² π ² Ainsi, Sup

x∈[ −a ;a ]

|u n (x)| existe et est majoré par 2a/(n ² π ² ) . Comme P 2a/(n ² π ² ) converge, par comparaison la série P Sup

x∈[ −a ;a ]

|u n (x)| converge.

Pour tout a > 0, P

u n converge normalement sur [ −a ; a ].

Cette série converge normalement sur R si et seulement si :

• pour tout n ∈ N ^∗ , u n est bornée sur R ;

• la série P

ku n k ∞ converge.

Pour tout n ∈ N ^∗ , u n est une fonction continue sur R , qui tend vers 0 en

∞ et

∞, elle est donc bornée sur R . Alors

∀n ∈ N ^∗ ku n k ∞ > u n (n) = 2 n(1 + π ² ) et la série P

2/ n(1 + π ² )

diverge. Par comparaison, P

ku n k ∞ diverge.

La série P u n ne converge pas normalement sur R .

I.1.3 D’après le théorème de continuité d’une série de fonctions, si P u n converge normalement sur tout segment de R et si pour tout n ∈ N ^∗ , u n est continue sur R , alors U est continue sur R .

• Soit I un segment de R , alors I est borné donc il existe a > 0 tel que I ⊂ [ −a ; a ].

D’après la question I.1.2, la série P

u n converge normalement sur [ −a ; a ].

Comme Sup

x∈I

|u n (x)| 6 Sup

x∈[ −a ;a ]

|u n (x)|, P

u n converge normalement sur I.

• Soit n ∈ N ^∗ . Les fonctions φ : x ∈ R 7→ 2x et ψ : x ∈ R 7→ x ² + n ² π ² sont continues sur R , et ψ ne s’annule pas, donc u n = φ/ψ est continue sur R .

La fonction U est continue sur R .

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© Éditions H ^& K Publié dans les Annales des Concours 4/16 I.2.1 Remarquons que pour tout n ∈ N ^∗ , u n est de la forme ψ ^′ /ψ avec ψ définie à la question I.1.3, strictement positive. La fonction v n : R → R est donc une primitive de u n sur R si et seulement s’il existe C ∈ R tel que

∀x ∈ R v n (x) = ln |ψ(x)|

+ C = ln ψ(x) + C

Rappelons que si ψ est une fonction de classe C ¹ qui ne s’annule pas sur un intervalle I, l’ensemble des primitives de la fonction ψ ^′ /ψ sur I est l’ensemble des fonctions de la forme x 7→ ln |ψ(x)|

+ C, avec C ∈ R . Soit C ∈ R , alors ln ψ(0)

+ C = 0 si et seulement si C = − ln(n ² π ² ). Dans ce cas, la fonction v n correspondante s’écrit

∀x ∈ R v n (x) = ln(x ² + n ² π ² ) − ln(n ² π ² ) = ln

1 + x ² n ² π ²

La primitive de la fonction u n qui s’annule en 0 est la fonction v n :



 

 

R −→ R x 7−→ ln

1 + x ²

n ² π ²

I.2.2 Soit x ∈ R . Par concavité du logarithme,

∀y > 0 0 6 ln(1 + y) 6 y Par suite, pour tout n ∈ N ^∗ , |v n (x)| 6 x ² /(n ² π ² ). Comme P

x ² /(n ² π ² ) converge, par comparaison P

v n (x) converge absolument et donc converge.

La série P v n converge simplement sur R .

Il est également possible de résoudre cette question en utilisant le critère de comparaison suivant : si (x n ) et (y n ) sont des suites de nombres réels po- sitifs telles qu’au voisinage de

∞, x n ∼ y n , c’est-à-dire x n /y n → 1, alors les séries P

x n et P

y n sont de même nature. En particulier, si elles convergent, alors

+

∞

P

n=N+1

x n ∼

+

∞

P

n=N+1

y n

et si elles divergent, alors lorsque N est au voisinage de

∞

N

P

n=1

x n ∼

N

P

n=1

y n

Dans le cas de cette question, on peut utiliser l’équivalence ln(1 + y) ∼ y au voisinage de 0, puis, par composition,

v n (x) = ln

1 + x ² n ² π ²

∼ x ² n ² π ²

lorsque n → ∞. Comme les séries P v n (x) et P x ² /(n ² π ² ) sont à termes positifs et que la série P

x ² /(n ² π ² ) converge, on déduit du critère énoncé ci-dessus que la série P

v n (x) converge.

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