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CCP Maths PSI 2018 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Thierry Limoges (professeur en CPGE) ; il a été relu par Corentin Fierobe (ENS Lyon) et Florian Metzger (docteur en mathématiques).

Ce sujet est composé de deux problèmes indépendants cumulant 44 questions.

Le premier s’intéresse à l’équation différentielle x ² y ^′′ + a x y ^′ + b y = 0

• La première partie traite des solutions polynomiales lorsque a et b sont des constantes réelles, en utilisant des outils d’algèbre linéaire en dimension finie.

• Ensuite, on détermine l’ensemble des solutions lorsque a et b sont des constantes réelles, en se ramenant à une équation différentielle linéaire à coefficients cons- tants par un changement de fonction.

• La dernière partie est consacrée à l’étude des solutions de l’équation x ² y ^′′ + x y ^′ + x ² y = 0

On commence par chercher les solutions développables en série entière au voi- sinage de zéro. C’est un cas particulier d’équation de Bessel. Les fonctions so- lutions de cette famille d’équations interviennent dans de nombreux problèmes physiques circulaires, comme la propagation d’ondes dans un tuyau dont la sec- tion est circulaire. C’est en coordonnées cylindriques que ces problèmes s’ex- priment le plus simplement.

Le second problème aborde un cas particulier de la loi forte des grands nombres : pour (X i ) i∈N

une suite de variables aléatoires centrées de même loi, la suite de variables aléatoires (S n ) n∈N

définie par

S n = X 1 + · · · + X n

n

converge presque sûrement vers 0, c’est-à-dire que l’ensemble n ω ∈ Ω | lim

n→

∞ S n (ω) = 0 o

a pour probabilité 1. On y utilise des propriétés sur les événements, union, intersection et complémentaire, ainsi que sur la continuité croissante et décroissante d’une suite d’événements.

Ce sujet est composé de nombreuses questions assez courtes, mais pas toujours évidentes, ce qui en fait un ensemble relativement long. Il permet de balayer de nombreuses parties du programme, y compris de première année : algèbre linéaire en dimension finie, équations différentielles linéaires, séries entières et probabilités.

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Indications

Problème 1

7 Déterminer la matrice de ϕ n dans la base canonique.

10 Déterminer le rang de ϕ n à l’aide de sa matrice, en déduire la dimension du noyau et en trouver une base.

11 Même indication que pour la question 10.

12 Remarquer que deg(ϕ(P)) = deg(P) lorsque deg(P) n’est pas solution de (1).

Considérer les éventuelles solutions entières de (1), et raisonner dans R n [X] avec n suffisamment grand.

14 Calculer g ^′ et g ^′′ , puis les injecter dans l’équation (3).

15 Calculer (g ◦ ln) ^′ et (g ◦ ln) ^′′ , puis les injecter dans l’équation (2).

16 Appliquer le cours de première année sur les équations différentielles linéaires à coefficients constants.

17 Calculer h ^′ et h ^′′ , puis les injecter dans l’équation (3).

18 Adapter la question 15 pour obtenir les solutions de (2) sur J. Étudier le recolle- ment de classe C ² en 0 de solutions sur I et sur J.

20 Calculer J 0 ′ et J 0 ′′ , puis les injecter dans (4) et montrer la formule par récurrence.

21 Appliquer le critère de d’Alembert pour les séries numériques.

22 Écrire une relation de colinéarité entre J 0 et f . Utiliser qu’une fonction continue en 0 est bornée au voisinage de 0.

23 Écrire la formule du produit de Cauchy de deux séries entières.

24 Revenir à la définition du rayon de convergence d’une série entière.

26 Pour ρ = r

M + 1 , montrer que la suite (β n ρ ⁿ ) est bornée.

27 Calculer d’une part la dérivée de xJ 0 λ ^′ , d’autre part y ^′ et y ^′′ , puis les injecter dans (4).

28 Faire le produit de Cauchy de la série entière qui définit J 0 avec elle-même.

29 Chercher η sous la forme η = J 0 + µ et utiliser la question 27.

30 Montrer que (J 0 , f ) avec f = η + J 0 ln est une base des solutions de (4).

Problème 2

31 Majorer en valeur absolue les termes de la série qui définit l’espérance.

34 Montrer que les événements {S n > ε} et

e ^tnS

> e ^tnε sont égaux. Utiliser l’in- égalité de Markov, puis que l’espérance d’un produit de variables aléatoires mu- tuellement indépendantes est le produit de leurs espérances.

35 Dériver deux fois g a , puis appliquer le théorème des accroissements finis sur les intervalles [ −1 ; x ] et sur [ x ; 1 ] pour x ∈ ] −1 ; 1 [.

37 Majorer le terme général de la série qui définit l’espérance de e ^tX , et utiliser que la variable aléatoire X est centrée.

38 Développer en série entière les fonctions ch et t 7−→ e

. 39 Étudier la fonction f sur R.

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40 Montrer que {|S n | > ε} = {S n > ε} ∪ {−S n > ε}. Prendre t > 0 et utiliser les questions 34 et 39, puis considérer −S n .

41 Majorer le terme général de la série par celui d’une série géométrique convergente.

42 Une image réciproque d’un intervalle par une variable aléatoire est un événement et une union ou intersection dénombrable d’événements est aussi un événement.

Majorer P(B n ) par le reste d’une série convergente et utiliser la continuité dé- croissante d’une probabilité.

43 Écrire Ω k comme union d’intersections d’événements, puis A comme intersection.

44 Utiliser la continuité décroissante d’une probabilité et la question 42.

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Problème 1

1 Soit k ∈ [[ 1 ; n ]]. On a ∆(X ^k ) = XkX ^k−1 = kX ^k et ∆(1) = X × (1) ^′ = 0.

Finalement,

∀k ∈ [[ 0 ; n ]] ∆(X ^k ) = kX ^k 2 Soit P ∈ R[X]. Calculons, par linéarité de la dérivation,

∆ ◦ (∆ − Id )(P) = ∆(XP ^′ − P) = X(XP ^′ − P) ^′ = X(P ^′ + XP ^′′ − P ^′ ) = X ² P ^′′

On obtient ∀ P ∈ R[X] X ² P ^′′ = ∆ ◦ (∆ − Id )(P)

3 Soit P ∈ R n [X]. Si P est constant, alors XP ^′ = 0 ∈ R n [X]. Sinon, P est non constant, et deg(P ^′ ) = deg(P) − 1. Comme deg(AB) = deg(A) + deg(B) pour tout (A, B) ∈ R[X] ² , on obtient

deg(XP ^′ ) = deg(X) + deg(P ^′ ) = 1 + deg(P) − 1 = deg(P) 6 n donc ∀ P ∈ R n [X] ∆(P) ∈ R n [X]

4 D’après la question 1, on a ∆ n (X ^k ) = kX ^k pour 0 6 k 6 n. La matrice de ∆ n

dans la base canonique (1, X, . . . , X ⁿ ) est donc la matrice diagonale

Mat (1,X,...,X

) (∆ n ) = diag(0, 1, . . . , n) =













0 0 · · · 0 0 1 ... ...

.. . ... ... 0 0 · · · 0 n













∈ M _n+1 (R)

5 D’après la question 2 et par linéarité de ∆, on a

Φ = ∆ ◦ (∆ − Id ) + a∆ = ∆ ² − ∆ + a∆ = ∆ ² + (a − 1)∆

Ainsi, Φ est une combinaison linéaire d’endomorphismes de R[X], d’où L’application Φ = ∆ ² + (a − 1)∆ est un endomorphisme de R[X].

6 D’après la question 5, on a Φ = ∆ ² + (a − 1)∆. Or R n [X] est stable par ∆, donc par ∆ ² et par (a − 1)∆ soit finalement par Φ.

L’application Φ induit un endomorphisme Φ n sur R n [X].

7 D’après les questions 5 et 6, Φ n = ∆ n 2

+(a−1)∆ n . Soit M la matrice de ∆ n définie dans la question 4. Ainsi, la matrice de Φ n dans la base canonique (1, X, . . . , X ⁿ ) de R n [X] est

M ² + (a − 1)M = diag(0, 1, . . . , n) ² + (a − 1)diag(0, 1, . . . , n)

= diag(0, 1 ² , . . . , n ² ) + diag((a − 1) × 0, (a − 1) × 1, . . . , (a − 1) × n)

= diag(0, 1 + a − 1, . . . , n ² + (a − 1)n) M ² + (a − 1)M = diag k ² + (a − 1)k

06k6n

Cette matrice M ² + (a − 1)M est diagonale, d’où

L’endomorphisme Φ n est diagonalisable dans la base canonique.

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