Centrale Maths 1 PC 2012 — Corrigé

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Centrale Maths 1 PC 2012 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Ce sujet d’analyse se compose de deux parties traitant de sujets différents et globalement indépendants. Une seule question de la première partie est réutilisée dans la seconde.

• La première partie, très classique, traite de l’approximation uniforme des fonctions continues et de classeC¹par morceaux par les polynômes de Bernstein.

• La seconde partie, plus originale, aborde un théorème d’Hardy-Littlewood.

On considère une suite réelle (an)n>0 dont la série entière associée Panxⁿ admet 1 comme rayon de convergence et dont la sommef, définie sur]−1 ; 1 [, admet au voisinage de1 l’équivalent

f(x) ∼

x→1 x<1

1 1−x

◦ On démontre dans un premier temps que cette propriété n’entraîne pas la convergence de la suite(an)n>0 vers 1 en explicitant un contre-exemple.

On peut en effet se poser la question car la fonction x 7→1/(1−x) est développable en série entière sur]−1 ; 1 [et la suite réelle(bn)n>0associée à ce développement en série entière est constante égale à 1.

◦ On montre ensuite de la même manière que cette propriété n’entraîne pas non plus la convergence vers 1 de la suite des moyennes de Cesàro de la suite(an)n>0, c’est-à-dire

1 n+ 1

n

P

k=0

ak

n>0

. Ce critère est plus faible que celui de la convergence de la suite(an)n>0. En effet si la suite(an)tend vers une limite réelle ℓ, alors la suite des moyennes de Cesàro de la suite converge également versℓ.

◦ Puis on ajoute une hypothèse supplémentaire sur la suite (an)n>0: tous ses termes sont positifs. On démontre que la suite des moyennes de Cesàro est alors majorée, puis qu’elle est minorée par un réel strictement positif.

◦ Enfin, on montre que la suite des moyennes de Cesàro de la suite(an)n>0

converge vers 1 à l’aide de fonctions auxiliaires que l’on encadre par des polynômes.

Il s’agit donc d’un sujet très riche qui aborde plusieurs thèmes d’analyse, des questions de majoration et de minoration de sommes, d’approximation, de calculs autour des séries entières, des équivalents de fonctions. Il constitue un bon entraînement sur ces sujets dans la perspective des concours.

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Indications

I.A.2 Penser à la relationk n

k

=n n−1

k−1

pourketndeux entiers aveck6n.

I.A.3 Utiliser l’égaliték(k−1) n

k

=n(n−1) n−2

k−2

pour deux entiersk6n.

I.A.4 Remarquer que k² =k(k−1) +k pour pouvoir appliquer les résultats des questions précédentes.

I.B.1.b Utiliser l’inégalitét6t²pour les réelst>1en l’appliquant àt=√ n

x−k n pour l’entierk dansW.

I.B.1.c Appliquer les deux questions précédentes et étudier le maximum de la fonc- tionw:x7→1 +x(1−x)définie sur [ 0 ; 1 ].

I.B.2.b Appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs

x−k

n

s n k

x^k(1−x)ⁿ⁻^k

!

06k6n

et

s n k

x^k(1−x)ⁿ⁻^k

!

06k6n

puis utiliser les résultats des sections I.A.1 et I.A.4.

I.C.1 S’inspirer de la question I.A.4 pour les calculs.

I.C.2 Penser à la question I.A.1 en écrivantf(x) =f(x)×1.

I.C.3.a Après avoir utilisé la propriété de la fonctionδ-lipschitzienne, retrouver l’expression étudiée à la question I.B et le résultat de cette question pour obtenir le résultat voulu.

I.C.3.b Montrer que la fonction f est δ-lipschitzienne oùδ= Sup

[ 0 ;1 ]|f^′|puis utiliser la question précédente.

I.C.3.c Montrer, en revenant à la définition et en utilisant la question précédente, qu’une fonction continue, de classe C¹ par morceaux est nécessairement lipschitzienne. Utiliser ensuite la question I.C.3.a.

I.C.4 Utiliser la question précédente en choisissantnsuffisamment grand.

II.A.1 Se servir du développement en série entière de la fonction x7→ 1/(1−x) en l’appliquant àx².

II.A.2 Utiliser la factorisation(1−x²) = (1−x)(1+x)pour construire à partir de la fonctionx7→1/(1−x²)une fonction équivalente à la fonctionx7→1/(1−x) lorsquextend vers1par valeurs inférieures.

II.B.1 Déduire le développement en série entière de la fonction t 7→ 1/(1−t)² de celui de la fonctiont7→1/(1−t).

II.B.2 Exprimer les fonctions ϕ et ψ à l’aide de la fonction utilisée à la question II.B.1 et utiliser le produit de Cauchy de deux fonctions développables en série entière.

II.B.4 Construire, à partir de la fonctionψ, une fonction équivalente à la fonction x7→1/(1−x)lorsquextend vers1 par valeurs inférieures.

II.C.1 Remarquer que

∀x∈[ 0 ; 1 [ ∀06k6n 06xⁿ6x^k et utiliser la propriété II.4.

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II.C.2 Appliquer la propriété II.1 à la suite (e⁻^1/n)n>1 qui tend vers 1 en étant inférieure à1lorsquentend vers⁺∞.

II.C.3 Appliquer le résultat de la question II.C.1 aux réelse⁻^1/nlorsquenest un entier naturel non nul. Puis, utiliser la question II.C.2 en divisant parn+ 1 et utiliser l’équivalent de1−e⁻^x lorsquextend vers0 pour conclure.

II.D.1.b Utiliser le résultat de la question II.D.1.a et décomposer la somme suivant que l’entierkest inférieur à N−1ou supérieur àN.

II.D.1.c Employer l’inégalité obtenue à la question II.D.1.b et la multiplier par(1−x).

Majorer ensuite1−x^N par1 et calculer(1−x)

+∞

P

k=N

(k+ 1)x^k.

II.D.2.a Utiliser la définition de la limite de (1−x)f(x) quand xtend vers 1 par valeurs inférieures en l’ayant composée avec la suite (e⁻^λ/N)N>1. Utiliser également la convexité de la fonction exponentielle et donc la position de la courbe au-dessus de sa tangente au point d’abscisse0.

II.D.2.b Appliquer l’inégalité obtenue à la question II.D.1.c à l’entierNdeN^∗ et au réele⁻^λ/N, puis utiliser la question II.D.1.a.

II.D.2.d Trouver une inégalité, équivalente à la stricte positivité de la limite, dans laquelle le réelµest d’un côté de l’inégalité et les λde l’autre puis étudier une fonction pour en déduire le signe et conclure.

II.D.3 Utiliser les résultats des questions II.D.2.c et II.D.2.d en revenant à la défi- nition de la limite.

II.E.1 Déterminer explicitement g⁺et g⁻ avant de calculer les intégrales.

II.E.2 Suivre l’indication de l’énoncé, exprimer la somme en fonction defet utiliser l’équivalent de la fonction au voisinage de1par valeurs négatives. Conclure en revenant à l’écriture d’un polynôme comme combinaison linéaire de puis- sances dex.

II.E.3 Appliquer le résultat de la question I.C.4 aux fonctionsg⁻−ε/2etg⁺+ε/2 avec le réelr=ε/2.

II.E.4 Revenir aux définitions des limites en appliquant la question II.E.2 à la suite(xN)N>1.

II.E.5 Utiliser la question II.E.3 pour encadrer l’expression (1−xN)

+∞

P

n=0

anxNng(xNn)

par les sommes correspondant aux polynômes P et Q. Utiliser la question II.E.4 pour minorer la somme relative à P et majorer celle relative à Q. Mettre à profit les questions II.E.3 et II.E.1 pour minorer l’intégrale de P sur[ 0 ; 1 ] en fonction de celle deg⁻. Minorer ensuite cette intégrale en fonction deε en utilisant l’inégalité

∀x >−1 ln(1 +x)6x

Procéder de même pour majorer l’intégrale deQsur[ 0 ; 1 ]en fonction deε.

Enfin calculer (1−xN)

+∞

P

n=0

anxNng(xNn) en revenant à la définition de la fonctiong.

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I. Approximation

I.A.1 Soientxun nombre réel etnun entier naturel. D’après la formule du binôme de Newton,

n

P

k=0

n k

x^k(1−x)ⁿ⁻^k = (x+ (1−x))ⁿ= 1

I.A.2 Soientn∈N^∗etk∈[[ 1 ; n]]. Montrons tout d’abord quek n

k

=n n−1

k−1

. En effet,

k n

k

=k n!

k!(n−k) ! = n!

(k−1) ! (n−1−(k−1)) ! =n n−1

k−1

Ensuite,

n

P

k=0

k n

k

x^k(1−x)ⁿ⁻^k=

n

P

k=1

k n

k

x^k(1−x)ⁿ⁻^k En appliquant le résultat précédent, il vient

n

P

k=0

k n

k

x^k(1−x)ⁿ⁻^k =nx

n

P

k=1

n−1 k−1

x^k⁻¹(1−x)ⁿ⁻¹⁻^(k⁻¹⁾

=nx

n−1

P

k^′=0

n−1 k^′

x^k^′(1−x)ⁿ⁻¹⁻^k^′

où l’on a fait le changement d’indicek^′ =k−1dans la dernière somme. En utilisant le résultat de la question I.A.1, on obtient finalement

n

P

k=0

k n

k

x^k(1−x)ⁿ⁻^k=nx

Il est également possible de raisonner à l’aide de la fonctionfdéfinie surRpar

∀x∈R f(x) =

n

P

k=0

n k

x^k(1−x)ⁿ⁻^k

Cette fonction est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables.

On calcule alors sa dérivée par

∀x∈R f^′(x) =

n

P

k=0

k n

k

x^k⁻¹(1−x)ⁿ⁻^k−

n

P

k=0

(n−k) n

k

x^k(1−x)ⁿ⁻^k⁻¹

En posant pour tout réelx,g(x) = Pⁿ

k=0

k n

k

x^k(1−x)ⁿ⁻^k, on obtient, en se servant du résultat de la question I.A.1 : pour tout réelxdifférent de1

xf^′(x) =g(x)−nx

n

P

k=0

n k

x^k(1−x)ⁿ⁻^k⁻¹+x

n

P

k=0

k n

k

x^k(1−x)ⁿ⁻^k⁻¹

=g(x)− nx

1−x+ x 1−xg(x) xf^′(x) = 1

1−x(g(x)−nx)