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Centrale Maths 1 PC 2004 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Olivier Dudas (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE).
Ce sujet traite exclusivement de séries entières. Il s’intéresse plus spécifique- ment au comportement au bord du disque de convergence, sans requérir de dextérité particulière.
• La première partie introduit une opération sur les séries appelée transforma- tion d’Abel. On montre la formule générale de la transformée, puis on l’applique pour prouver la convergence des sériesP
sin(kx)/ket P
cos(kx)/k. Il est très vivement conseillé d’avoir vu au moins une fois ces exemples avant de se pré- senter aux concours.
• La deuxième partie est dans une large mesure indépendante de la première.
Elle demande de proposer ou d’évaluer des exemples de séries vérifiant certaines propriétés sur le bord du disque de convergence.
• Les deux dernières parties présentent des exemples pour lesquels on doit mon- trer que la série est semi-convergente en tout point du disque. Elles utilisent essentiellement les résultats de la première partie, que l’on peut au besoin se contenter d’admettre pour répondre aux questions.
La dernière partie peut paraître difficile, notamment à cause de notations et de définitions obscures. Elle n’en est cependant pas moins abordable, même si l’on se demande où l’énoncé veut nous emmener.
Globalement, cette épreuve constitue une bonne manière d’approfondir ou de réviser les questions de convergence des séries (entières, numériques, de fonctions).
Elle offre en outre un bon panorama des problèmes qui se posent sur le disque de convergence, et des manières usuelles de les étudier.
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Indications
Première partie
I.A Utiliser la concavité de la fonction sinus sur l’intervalle[ 0 ;π].
I.B Remarquer que la somme est une somme géométrique.
I.C.1 Remarquer que pour tout entierksupérieur à2,vk = Vk−Vk−1. I.C.2 Ajouter l’hypothèse un −−−−→
n→∞ 0, sans laquelle on ne peut conclure. Majorer grossièrement l’égalité de la question précédente.
I.C.3 Remarquer que si la suite(un)n∈Nest réelle et décroissante alors
|un−un+1|=un−un+1
I.D Appliquer les résultats précédents avecun= 1/netvn =einx.
Deuxième partie
II.B.2 Prouver la convergence normale de la série de fonctionsP fn. II.C Penser à une série P
anzn dont le terme général ne tend pas vers 0 sur le cercle unité.
II.D.1 Montrer que la suite(an)n∈N est bornée. En déduire la convergence absolue de la sérieP
anzn pour toutzde module inférieur à1.
II.D.2 Poserξ=eix et utiliser le résultat de la questionI.C.3.
II.D.3 Utiliser le résultat de la question précédente.
II.D.4 Remarquer quecosn= 1 2
ein
n + e−in
n
! .
Troisième partie
III.A Déduire de l’inégalité entrepet nun encadrement depentre deux fonctions den.
III.B.1 Remarquer queN6(P + 1)2−1.
III.B.2 Utiliser le critère de convergence des séries alternées.
III.C.1 Montrer que|an+1−an|est nul, sauf quand n+ 1est le carré d’un entier.
Quatrième partie
IV.A.1 Remarquer que pour toutkcompris entre1etn,kxest compris entre0etπ et utiliser le résultat de la questionI.A.
IV.A.2 Utiliser le résultat des questionsI.C.1, I.B puis la deuxième inégalité de la questionI.A.
IV.B.1 Effectuer le changement de variableℓ= N−k.
IV.B.2 Utiliser le résultat de la questionIV.A.3.
IV.D Montrer la convergence normale de la suite P
fj, en utilisant les résultats de la questionIV.B.2.
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IV.E Remarquer que Pj(x) = P
k∈Ijr{Nj}
akeikx.
IV.F.1 Remarquer que la suite (αk)k∈N est monotone sur les deux intervalles [[ Nj−nj; Nj−1 ]]et[[ Nj+ 1 ; Nj+nj]]. Raisonner alors comme à la question I.C.3.
IV.F.2 Utiliser les résultats des questionsI.Bet I.C.1. puis appliquer la majoration de la questionI.A.
IV.F.3 Séparer les casninférieur àNj+nj= 3·2j3etnsupérieur àNj+nj. Appliquer alors les résultats des questionsIV.EetIV.F.2en remarquant enfin que sik est compris entreNj+nj et2(j+1)3 = Nj+1−nj+1, il est nécessairement nul.
IV.G.1 Revenir à la définition deαk et de An.
IV.G.2 Montrer à l’aide d’une comparaison série/intégrale que
n
P
k=1
1
k ∼lnn.
IV.H Montrer que Ra est supérieur à 1 en majorant grossièrement αk. Montrer ensuite que si Ra est strictement supérieur à 1, cela contredit le résultat de la questionIV.G.
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I. Calculs préliminaires
I.A La fonction sinus est positive sur l’intervalle[ 0 ;π]. Les deux inégalités restantes se montrent en utilisant la concavité de la fonction sinus, que l’on peut constater sur son graphe.
0 1
π/2 1
✲
✻
En effet, on vérifie que sur cet intervalle, on a (sin)′′(x) =−sinx60
Par conséquent, la fonction est au-dessous de sa tangente en0 sur cet intervalle, si bien que
∀x∈[ 0 ;π] sinx6sin′(0)x+ sin(0) =x
Par ailleurs, en appliquant la propriété de concavité entre0et π/2, il vient
∀θ∈[ 0 ; 1 ] sin θπ
2 + (1−θ) 0
>θsinπ 2
+ (1−θ) sin 0
On obtient alors l’inégalité souhaitée en posantθ= 2x/π, qui est bien compris entre 0et 1sixest dans l’intervalle[ 0 ;π/2 ]. Finalement,
∀x∈[ 0 ;π] 06sinx6x et ∀x∈h 0 ;π
2
i sinx> 2 πx I.B Soient p6qdeux entiers etx /∈R r2πZ. Alorseixest différent de1et ainsi, on peut factoriser la somme de la suite géométrique sous la forme
q
P
k=p
eikx=eipx
q−p
P
k=0
eixk
=eipxei(q−p+1)x−1 eix−1 Pour tout entierN, on a
eiNx−1 = ei2Nx
ei2Nx−e−i2Nx
= −2i×ei2Nx×sinNx 2 ce qui permet de récrire l’expression sous la forme
eipxei(q−p+1)x−1
eix−1 =eipxeiq−p2 x
−2isin
q−p+ 1
2 x
−2isinx 2
=eiq+p2 x sin
q−p+ 1
2 x
sinx 2
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