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Centrale Maths 1 MP 2001 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Gadat (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Perrier (ENS Lyon) et Vincent Puyhaubert (ENS Cachan).
Le but de ce problème est de déterminer le comportement des racines du polynôme tronquéPndéfinissant l’exponentielle complexe lorsque le degréndu polynôme tend vers+∞.
• La première partie étudie une courbe polaire définie implicitement comme étant la fonction réciproque d’une fonction étudiée préalablement (I.C).
On constate alors que cette fonction vérifie une équation différentielle, que l’on établit à la question I.E ; la fin de la partie propose un tracé approché de la courbe polaire obtenue.
• La partie II utilise des outils classiques d’analyse (suites doubles sommables, formules de Taylor) pour démontrer des propriétés asymptotiques sur le module desξn,k définis à partir des racines du polynômePn.
• Parallèlement, pour achever l’étude du comportement asymptotique des ξn,k
on montre dans la troisième partie que les arguments des ξn,k se répartissent uniformément sur[ 0 ; 2π]. On dira alors que les arguments sont équirépartis.
• Enfin, la dernière partie, plus originale, propose de trouver un équivalent du nombre de racines dePn dont la partie réelle est positive. Elle utilise astucieu- sement les résultats démontrés dans la partie précédente.
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Indications
Partie I
I.C Utiliser la fonctionuet remarquer que r=u−1(cos).
I.D Justifier que l’on peut procéder par dichotomie.
I.E Utiliser astucieusement la formule de la question I.C ou appliquer le théorème de dérivation d’une composée de fonctions.
I.G Montrer que l’image deΓest le cercleC
0,1 e
.
Partie II
II.A Revenir à la définition desλn,k et étudier le polynôme dérivéP′n.
II.C.1 Appliquer le théorème de convergence dominée pour les séries rappelé dans l’énoncé.
II.D.2 Pour la limite deαp, appliquer le théorème de convergence dominée pour les intégrales. Pour celle deβp, encadrerlnβp par des intégrales.
II.E.1 Appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à la fonctionz7→eztentre 0et p.
II.E.2 Utiliser la formule de la question II.E.1 avec leszn,k.
II.E.3 Raisonner par l’absurde et extraire de la sous-suite construite une sous-suite convergente ; aboutir ainsi à une contradiction avec la question II.E.2.
Partie III
III.A Utiliser le développement de Qn en produit de monômes du premier degré ainsi que le développement en série entière de 1
1−z .
III.B.1 Transformer l’égalité précédente et utiliser l’unicité du développement en série entière.
III.B.2 Pour la majoration desSn,p, utiliser le développement en série dee−pzn,k. III.C.1 Revenir à la définition de la limite et utiliser la majoration obtenue à la
question III.B.2 .
III.C.2 Utiliser le développement en série de Fourier de f et la relation entre la régularité def et la vitesse de décroissance de ses coefficients de Fourier.
Partie IV
IV.A Raisonner de nouveau par l’absurde et procéder à une extraction. Utiliser alors la définition derdonnée à la question I.C pour obtenir une contradic- tion.
IV.B Appliquer le résultat de la question III.C.3 et remarquer quef est uniformé- ment continue surR.
IV.C Utiliser la limite précédente avec une fonction « plateau » modifiée qui possède les propriétés de régularité voulues. Passer ensuite à la limite pour obtenir la fonction créneau et la formule finale.
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I. Étude d’une courbe plane
I.A En écrivant z =ρeiθ on obtient directement l’expression trigonométrique de ξ=ze−z:
ξ=ρe−ρcosθei(θ−ρsinθ)
I.B La fonctionuest continue sur] 0 ; 1 ]et dérivable sur] 0 ; 1 [, de dérivéeu′(t) =
−lnt
t2 strictement positive sur] 0 ; 1 [. Voici le tableau de ses variations :
0 1
u′ +
1
u ր
−∞
u est une bijection continue et strictement croissante de ] 0 ; 1 ] sur ]−∞; 1 ]; par suite, u−1 est aussi continue et strictement croissante. On en déduit que u est un homéomorphisme croissant de] 0 ; 1 ]sur]−∞; 1 ].
Puisqueu′ ne s’annule pas sur] 0 ; 1 [,u−1 est de classeC1sur]−∞; 1 [.
I.C La bijectivité deuentraîne :
∀y∈]−∞; 1 ] ∃!ty∈] 0 ; 1 ] y=u(ty)
De plus, par définition deu,tyvérifietye−yty = 1/e. En considérant le cas particulier y= cosθ, on conclut que :
∀θ∈R∃!r(θ)∈] 0 ; 1 ] r(θ)e−r(θ) cosθ=1 e
I.D On vérifie que r(0) = 1 et que r(π/2) = 1/e. En effet, ces deux valeurs satisfont l’égalité de la question I.C et ce sont les seules d’après l’unicité démontrée précédemment.
Pour calculer une valeur approchée de r(π), il suffit de remarquer que r(π) = u−1(−1). On peut alors utiliser un algorithme de recherche dichotomique pour trouver une valeur approchée deu−1(−1)à 10−6 près en vertu de la croissance deu−1:
r(π) = 0,278464
I.E La fonctionr peut aussi s’écrire :r=u−1◦cosd’après la question I.C. On en déduit querest continue,2π-périodique et paire.
Sur ] 0 ; 2π[,cos est de classeC1, à valeurs dans[−1 ; 1 [; par composition,r est aussi de classeC1sur] 0 ; 2π[.
Dérivons la formuler(θ) =u−1(cosθ)par rapport à θ:r′(θ) =−(sinθ)w′(cosθ) avecw=u−1. Par conséquent,
∀θ∈] 0 ; 2π[ r′(θ) = sinθr(θ)2
ln(r(θ)) = r2sinθ
rcosθ−1 (1)
I.F Pour touth >0, un calcul immédiat donne :
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v(h) =−h−ln(1−h) 1−h Commeln(1−h) =−h−h2
2 +o h2
, on en déduit que
v(h) = h2
2 +o h2
On remarque ensuite que u(r(θ)) = cosθ. En posanth(θ) = 1−r(θ), la formule précédente se réécrit
1−cosθ=v(h(θ)) D’après l’étude effectuée aux questions I.C et I.D, lim
θ→0h(θ) = 0. De plus,
1−cosθ=θ2
2 +o θ2
et v(h(θ)) = h(θ)2
2 +o h(θ)2 h(θ)étant toujours positif,h(θ) =θ+o(θ), d’où le résultat annoncé :
r(θ) = 1−θ+o(θ)
r est de classe C1 sur ] 0 ; 2π[ et lim
θ→0+r′(θ) = −1 d’après l’équivalent démontré précédemment ;rest donc prolongeable en une fonction de classeC1sur[ 0 ; 2π[. Or la parité derdonne lim
θ→0−r′(θ) = 1 et d’après sa2π-périodicité, lim
θ→2π−r′(θ) = 1: en conséquence,rest de classeC1 par morceaux surR.
Cette question peut paraître déstabilisante dans la mesure où la fonction r est déjà C1 sur les intervalles ] 2kπ; 2(k+ 1)π[. Ici, il semble qu’il faille dé- montrer, en plus, que radmet des dérivées premières à gauche et à droite en chaque point 2kπ. Ainsi, au sens de l’énoncé, la fonction p
| · |n’est pas C1 par morceaux sur R.
I.G SoitΓ la courbe d’équation polaireρ=r(θ), c’est-à-dire
Γ =
r(θ)eiθ|θ∈[ 0 ; 2π] Notonsφla fonctionz7→ze−z et cherchonsφ(Γ):
φ(Γ) =n
r(θ)eiθe−r(θ)eiθ|θ∈[ 0 ; 2π]o
=
r(θ)e−r(θ) cosθei(θ−sinθr(θ))|θ∈[ 0 ; 2π]
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