Centrale Maths 1 MP 2005 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/23

Centrale Maths 1 MP 2005 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Thomas Vidick (ENS Ulm) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE).

Le problème est consacré à l’étude de certains sous-ensembles de l’espace vectoriel des fonctions continues par morceaux sur R et à valeurs dans C, ainsi qu’à une généralisation du processus de construction des séries de Fourier à des fonctions non nécessairement périodiques. Il est composé de trois parties.

• Dans la première partie, on étudie d’abord deux formes linéaires sur l’espace vectorielBdes fonctions continues par morceaux et bornées surR. Ces formes linéaires servent à définir les espacesM₁ des fonctionsmoyennables etM₂des fonctions decarré moyennable dont on étudie certaines propriétés ; on montre en particulier queM₁est un espace vectoriel mais pasM₂. On introduit ensuite un pseudo-produit scalaire surM₂et on montre finalement queM₁etM₂sont fermés dans(B,k · k∞).

• La deuxième partie est consacrée à l’étude de l’espace vectoriel

O

Q des limites uniformes de polynômes trigonométriques. On montre en particulier que, sous certaines conditions,

O

Qest stable par produit, composition et passage à la limite uniforme. On définit ensuite lescoefficients de Fourier-Bohr dex∈

O

Q à l’aide du produit scalaire défini dans la première partie, et on prouve une formule de Parseval.

• Dans la dernière partie, on étudie la fonction de corrélation dex ∈ B et on montre en particulier certaines propriétés sur ses coefficients de Fourier-Bohr.

On termine par l’étude d’une fonction1-périodique et le calcul de ses coefficients de Fourier, donnant lieu à l’évaluation de la somme d’une série alternée.

Les notions du programme abordées concernent essentiellement les chapitres sur l’intégration et les séries de Fourier. Ses principales difficultés sont sa longueur et l’exotisme des espaces et objets étudiés, peu familiers aux élèves des classes prépa- ratoires, comme les coefficients de Fourier-Bohr. Des difficultés peuvent également être rencontrées lors de l’utilisation de théorèmes d’approximation et pour l’étude de la convergence de certaines suites de fonctions. Les questions font souvent appel, de manière indirecte, à des résultats démontrés dans d’autres questions, et il est par- fois difficile de bien saisir toute l’utilité des résultats algébriques que l’on démontre dans les premières questions de chaque partie. Nous vous conseillons, à chaque question, de replacer mentalement le résultat démontré dans la perspective de l’énoncé, surtout si la preuve se faisait de manière presque automatique (par exemple certaines preuves de structure), de manière à penser à l’utiliser le moment venu.

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Indications

Partie I.

I.A.2 Majorer|MT(x)−MT(y)|en utilisant l’inégalité de la moyenne.

I.B Utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître l’intégrale sur une période et majorer les autres termes.

I.C.1 Découper [ 0 ; T ] en intervalles de longeur P plus un reste, et faire tendre T vers l’infini.

I.C.3 Utiliser le théorème de convergence dominée.

I.C.4 Montrer queMT(x0) ∼

T→∞e^{i ln(1+T)}/(1 + i).

I.D.1 Utiliser la question I.C.3.

I.D.2 Factoriserx²−y² selon l’identité remarquablex²−y²= (x+y)(x−y).

I.D.3 Considérer la fonctionx0+ U.

I.F Utiliser la question I.C.1.

I.G Montrer queP ⊂M₂ puis utiliser la question I.E.1.

I.H.1 La suite(xⁿ)^n∈Nest de Cauchy.

I.I.1 La suite(kxⁿ−xk∞)n∈Nest convergente donc bornée.

I.I.2 Utiliser la question I.D.2.

Partie II.

II.A.1 Utiliser les questions I.H et I.I pour montrer que

O

Q est inclus dansM₁∩M₂. II.A.2 Utiliser la question I.E.1.

II.A.3 SiPest un polynôme trigonométrique, alorsP^τ est aussi un polynôme trigo- nométrique.

II.A.6 Utiliser le théorème d’approximation de Weierstrass.

II.B Considérer|c(ω)− hPⁿ, e^ωi|et utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

II.D.1 Montrerhx,SNi= M|SN|²en utilisant les polynômes Pⁿ. Partie III.

III.A Choisirτ= 0.

III.B Utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz et la question I.B.

III.D.1 Utiliser la question II.A.2

III.D.3 Écrire|hx, xτi − hSn,(Sn)τi| =|hx−Sn, xτi+hSn, xτ−(Sn)τi| et majorer en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

III.E.2 Montrer queγx(τ) = Z 1

0

x(t)x(t−τ) dt.

III.F.2 Découper l’intégrale entre0etτ, puis entreτet1, pour pouvoir explicitement évaluerF(t−τ).

III.F.3 Utiliser la convergence simple de la série de Fourier deγ^x₁ ent= 1/2.

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Partie I.

I.A.1 SoitTun réel fixé.MTest une application bien définie de l’espace vectorielB dansC. Pour conclure que c’est une forme linéaire, il reste à vérifier la linéarité, c’est- à-dire que pour tousx, y∈Bet tousλ, µ∈C,

MT(λx+µy) = 1 T

Z T

0

λx(t) +µy(t) dt

= 1 T

Z T

0

λx(t) dt+ 1 T

Z T

0

µy(t) dt

MT(λx+µy) =λMT(x) +µMT(y) par linéarité de l’intégrale.

MT est donc une forme linéaire deBdansC.

Montrons queM₁ est un sous-espace vectoriel de B. Il est non vide (il contient la fonction nulle). Soientx, y ∈M₁ etλ, µ∈C. Alors, par linéarité du passage à la limite, la limite de

MT(λx+µy) =λMT(x) +µMT(y)

lorsque Ttend vers l’infini est finie et vaut λM(x) +µM(y). Donc λx+µy ∈M₁, et M₁ est stable par combinaisons linéaires. On a également montré que M était linéaire ; comme elle est bien définie deM₁dans Cc’est une forme linéaire.

M₁est un sous-espace vectoriel deBet Mest une forme linéaire surM₁. I.A.2 Soient Tun réel fixé etx, y∈B.

|MT(x)−MT(y)|= 1 T

Z T

0

x(t)−y(t) dt

6 1 T

Z T

0

|x(t)−y(t)| dt

6 1

Tkx−yk∞

Z T

0

1 dt

|MT(x)−MT(y)|6kx−yk∞

MTest donc lipschitzienne de rapport1 deBmuni de la normek · k∞dansCmuni de la norme canonique.

Fixonsx, y ∈M₁. Alors, en passant à la limite lorsqueTtend vers l’infini dans l’inégalité précédente, on obtient

|M(x)−M(y)|6kx−yk∞

Mest donc lipschitzienne de rapport1 deM₁muni de la normek · k∞dansCmuni de la norme canonique.

I.B Soient x ∈ M₁ et τ ∈ R un réel fixé. Effectuons le changement de variable u=t−τ dans l’intégrale définissantMT(xτ):

MT(x^τ) = 1 T

Z T

0

x(t−τ) dt= 1 T

Z T−τ

−τ

x(u) du

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Découpons cette intégrale à l’aide de Chasles pour faire apparaîtreMT(x): 1

T Z T−τ

−τ

x(u) du= 1 T

Z 0

−τ

x(u) du+ 1 T

Z T

0

x(u) du+ 1 T

Z T−τ

T

x(u) du

L’astuce consiste à faire apparaître la quantité souhaitée grâce à la relation de Chasles. Il ne faut pas hésiter à l’utiliser même lorsque, comme ici, les points en lesquels on coupe l’intégrale (0 et T) ne sont pas entre les bornes d’inté- gration (−τ etT−τ). On effectuera la même manipulation dans la question suivante.

L’inégalité de la moyenne permet de majorer la première et la dernière de ces inté- grales en valeur absolue :

1 T

Z 0

−τ

x(u) du

6 |τ|

Tkxk∞

et de même,

1 T

Z T−τ

T

x(u) du

6 |τ|

Tkxk∞

Ainsi ces deux intégrales tendent vers0 lorsqueTtend vers l’infini, à τ fixé. x^τ est donc moyennable, et en passant à la limite dans l’égalité ci-dessus, on a montré :

∀x∈M₁ ∀τ∈R Mx= Mx^τ

I.C.1 Soita∈R. D’après la relation de Chasles, Z ^a+P

a

x(t) dt= Z 0

a

x(t) dt+ Z P

0

x(t) dt+ Z ^a+P

P

x(t) dt

Or, en effectuant le changement de variableu =t−P dans la troisième intégrale, on obtient :

Z ^a+P

P

x(t) dt= Z ^a

0

x(t−P) dt= Z ^a

0

x(t) dt=− Z 0

a

x(t) dt carxestP-périodique. D’où

∀a∈R

Z ^a+P

a

x(t) dt= Z P

0

x(t) dt

Soit maintenant Tun réel plus grand que P, notons nT=⌊T/P⌋. L’idée est de découper l’intervalle[ 0 ; T ] en nT intervalles de longueur P sur lesquels l’intégrale sera la même, plus un reste qui sera négligeable en moyenne lorsqueTsera très grand devantP. Appliquons la relation de Chasles pour obtenir

Z T

0

x(t) dt= n_T−1

P

k=0

Z (k+1)P

kP

x(t) dt

+ Z T

n_TP

x(t) dt

= n

T−1

P

k=0

Z P

0

x(t) dt

+ Z T

nTP

x(t) dt

Z T

0

x(t) dt=nT

Z P

0

x(t) dt+ Z T

nTP

x(t) dt