Centrale Maths 1 MP 2003 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/22

Centrale Maths 1 MP 2003 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Sébastien Gadat (Enseignant-chercheur à l’Univer- sité) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Thomas Chomette (Professeur en CPGE).

Cette épreuve propose d’étudier des solutionsgde l’équation différentielle

g^′−g+f = 0 Ef

où la fonction f est donnée. Les deux premières parties concernent l’étude de cas particuliers lorsque la fonctionf est connue explicitement, et les parties suivantes étudient des solutions lorsquef appartient à des espaces vectoriels particuliers.

• En fin de première partie, on introduit une suite de fonctions, qui sera vue dans la suite de l’énoncé comme un cas particulier.

• La deuxième partie aboutit à la vérification de propriétés géométriques des solutions.

• La troisième partie élargit le sujet : f appartient à l’ensemble des fonctions négligeables devant une fonction puissance lorsquextend vers l’infini.

• Dans les dernières parties, on traite le cas des fonctions bornées, périodiques puis polynomiales.

La difficulté de ce problème est progressive et les questions s’enchaînent assez bien.

Notons tout de même que les questions III.C, IV.D et V.E sont assez délicates. Enfin, une question relativement classique et délicate apparaît en fin d’énoncé sur les suites de fonctions polynomiales de degré constant. Il est donc intéressant de prêter une attention particulière à la résolution de cette question.

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Indications

Partie I

I.B L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 est un espace affine.

I.C.1 Calculer l’image parΦdes fonctionscosetsin.

I.C.2 Déterminer la boule unité deΠ, puis démontrer que la norme de l’application Φvaut

√2

2 . En déduire la limite de la suite de fonctions.

Partie II

II.A S’inspirer de la formule intégrale donnée en I.A.

II.B.1 Remarquer queYmest solution deEf.

II.B.3 Utiliser les propriétés géométriques trouvées dans la question précédente pour tracer convenablement les courbesC^λ.

Partie III

III.B Décrire toutes les solutions de Ef pour conclure.

III.C Commencer par démontrer que la suite(fn)_n∈Nest définie. Expliquer ensuite pourquoi la dérivée de la limite de(fn)_n∈N est nulle.

III.D Faire un raisonnement par récurrence en utilisant l’équation différentielle vérifiée parf1.

III.E Pour montrer la surjectivité deΦ, trouver un antécédent à tout élément deC¹. Partie IV

IV.C Revenir à la définition de la limite pour démontrer queL⁰ est stable parΦ.

IV.D Utiliser le résultat de la question III.D pour démontrer que la suite de fonctions (fn)_n∈Nconverge vers la limite def en⁺∞.

Partie V V.B Exprimer les coefficients de Fourier de f1′

en fonction de ceux de f1 et utiliserEf.

V.C Utiliser l’expression des coefficients de Fourier des fonctions gn =fn−c0(f) et majorer la norme infinie de chaque fonctiongn.

V.E Démontrer que Φ est continue pour N1 et N2. Chercher un contre-exemple pourΦ⁻¹.

Partie VI

VI.B Utiliser les polynômes interpolateurs de Lagrange.

VI.C Faire un raisonnement par récurrence pour démontrer la stabilité de FP^d parΦ.

VI.E Démontrer que la suite des coefficients(ad−1,n)_n∈Ndiverge.

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I. Étude d’un premier exemple

I.A Remarquons tout d’abord que

∀t∈R |e^−tcost|6e^−t et ∀t∈R |e^−tsint|6e^−t

Comme la fonctiont 7→e^−t est intégrable surR+ et que les fonctions t7→e^−tcost ett7→e^−tsintsont continues surR, on peut conclure que

Les deux intégrales convergent sur tout intervalle[x;⁺∞[.

Pour calculer explicitement les deux fonctions

∀x∈R F(x) =e^x Z ⁺^∞

x

e^−tcostdt et G(x) =e^x Z ⁺^∞

x

e^−tsintdt

on calcule la valeur de la fonctionF +iG,

∀x∈R F(x) +iG(x) =e^x Z ⁺^∞

x

e^(i−1)tdt

On trouve alors ∀x∈R F(x) +iG(x) =e^ix 1 +i 2 ce qui permet de conclure que les expressions proposées valent

∀x∈R F(x) = cosx−sinx

2 et G(x) = cosx+ sinx

2 (1)

I.B En dérivant la fonctionFprécédente, on trouve queF^′ =−G. Ainsi,

∀x∈R F(x)−F^′(x) = F(x) + G(x) = cosx

Par conséquent, F est une solution de l’équation différentielle proposée. De plus, on remarque queFest bornée, car

∀x∈R |F(x)|=

cosx−sinx 2

61

On peut donc prendre comme solution de l’équation différentielley^′−y+ cosx= 0 la fonctionY0, bornée, suivante :

∀x∈R Y0(x) =e^x Z ⁺∞

x

e^−tcostdt= cosx−sinx 2

Les solutions de l’équation différentielle homogène associée sont les x7→λe^x, avecλréel. Pour respecter les notations de l’énoncé, il suffit alors de poser

∀x∈R g(x) =e^x

pour conclure que la solution générale surRde cette équation différentielle est de la forme

x7−→λe^x+ Y0(x)

De manière tout à fait similaire, on démontre que les solutions de l’équation différen- tielley^′−y+ sinx= 0sont de la forme

x7−→λe^x+cosx+ sinx 2

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I.C.1 L’applicationΦest bien définie surΠ, plan vectoriel engendré par les fonctions cos et sin, car si f s’écrit comme une combinaison linéaire de ces deux fonctions, f =αcos +βsin, on a

∀x∈R |f(x)|6|αcosx+βsinx|e^−x6(|α|+|β|)e^−x et la fonctionx7→(|α|+|β|)e^−xest bien intégrable surR⁺.

La linéarité de l’applicationΦétant considérée comme évidente, il reste à démon- trer queΠest stable parΦ. Par linéarité deΦ, il suffit de vérifier que l’image d’une base deΠappartient àΠ, ce qui découle en réalité de (1):

Φ(cos) = cos 2 −sin

2 et Φ(sin) = cos 2 +sin

2

L’applicationΦest linéaire deΠdansΠ.

En outre, la matrice deΦdans la base(cos,sin)du planΠest

M(Φ)(cos,sin)= 1 2

1 1

−1 1

Remarquons que la matriceM(Φ)(cos,sin) est inversible, ce qui assure que la restriction de l’applicationΦà Πest elle-même inversible.

I.C.2 L’application Φ est un endomorphisme de l’espace vectoriel Π muni de la normek · k^∞. Donnons-nous une fonction réellef dansΠ, elle s’écrit

∀x∈R f(x) =αcosx+βsinx Si l’on noteφl’angle de[ 0 ; 2π[vérifiant

cosφ= α

pα²+β² et sinφ= β pα²+β²

on a ∀x∈R f(x) =p

α²+β²cos(x−φ) On en conclut que kfk^∞=p

α²+β² En outre, Φ(f) =αΦ(cos) +βΦ(sin) = α+β

2 cos +α−β 2 sin

et par conséquent, kΦ(f)k^∞ = s

α+β 2

2

+

α−β 2

2

soit encore kΦ(f)k^∞ =

rα²+β²

2 =

√2 2 kfk^∞ La norme subordonnée deΦvaut donc

√2

2 et le meilleur choix pourkdemeure

kΦk=k=

√2 2