Centrale Maths 2 MP 2001 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/20

Centrale Maths 2 MP 2001 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par Sébastien Gadat (ENS Cachan) et Olivier Schmitt (École Polytechnique).

Ce problème développe certains aspects géométriques de la théorie des formes quadratiques sur R³. C’est un excellent sujet de révision sur les quadriques ; il est assez classique.

• La première partie étudie quelques propriétés de cônes isotropes contenant cinq vecteurs donnés.

• La deuxième partie montre algébriquement qu’une section plane d’un tel cône est une conique.

• La troisième partie donne une condition algébrique, nécessaire et suffisante, pour qu’une telle section soit un cône.

• La quatrième partie montre géométriquement que l’intersection d’un cône de révolution et d’un plan est une conique, celle-ci étant caractérisée par la donnée d’un couple foyer-directrice et d’une excentricité.

• La cinquième partie donne des conditions pour que la conique soit une conique à centre.

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Indications

Partie I

I.B.1 Construire « canoniquement » une application linéaire τ 7→ qτ de R³ vers l’ensemble Qi,j,k des formes quadratiques q telles que Cq contienne i, j, k.

Remarquer alors quel(τ) =qτ(e). . .

I.B.3 Traduire la condition (2) sur les coordonnées de e∧e^′ et remarquer que {e∧e^′}^⊥= Vect (e, e^′). Traduire ensuite le fait qu’une formeqappartient à Qe,e^′ par un système linéaire puis résoudre ce système.

Partie II

II.A Dans toute base (en particulier une base orthonormale) deP⁰, la matrice de q est symétrique, donc diagonalisable en base orthonormale. . .

II.B.1.a On a nécessairement|z⁰|=d(P⁰,P¹).

II.B.1.c Utiliser la forme de la matrice de qτ relativement à B écrite à la question II.B.1.b.

Partie III

III.A Rechercher explicitement le couple(λ, l)qui peut convenir, puis vérifier qu’il convient bien.

III.B Calculer explicitementx^′,y^′etz^′et se servir d’une expression deqτ obtenue avant le calcul de la forme linéaire lde la question III.A.

Partie IV IV.A Utiliser la formuled(Ωa,(OM) ) = k−−→

OΩa∧−−→

OMk k−−→

OMk . IV.C Commencer par chercher un scalaireν tel que

(x+y+z−a)²=ν d(M,Pa)²

Partie V V.B Utiliser le fait queH^⊥= Vect (V).

V.C Commencer par décrire le supplémentaire F potentiel à l’aide de la question V.B. Rechercher ensuite à quelle condition il s’agit effectivement d’un supplémentaire.

V.D Utiliser « la » formule sur la comatrice. . .

V.E Se ramener à un système linéaire à résoudre. Pour la fin de la question, remarquer queS^P₁ est une symétrie centrale et laisseCq stable.

V.F Utiliser (également) la question II.B.1.c.

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Question préliminaire A

Comme le suggère l’énoncé, faisons une disjonction de cas portant sur le signe de det M =rt−s².

Premier cas :rt−s²= 0

La forme quadratiqueqest dégénérée et non nulle (par hypothèse), doncqest de rang1. Le théorème d’inertie de Sylvester dit qu’il existe un réel non nul a et une forme linéaire non nullel surR²tels que

∀x∈E q(x) =a l(x)²

Nécessairement, l’un des deux réelsroutest non nul (sinon,sserait également nul etqserait donc la forme quadratique nulle). De plus,rettsont de même signe : c’est le signe de aétant donné que r =q(i) = a l(i)² et t =q(j) = a l(j)². Il nous faut maintenant discuter selon ce signe, qui est d’après ce qui vient d’être dit, le signe (strict) der+t:

• sir+t >0,q a pour signature(1,0);

• sir+t <0, la signature de qest(0,1).

Dans les deux cas,

Cq ={x∈E|q(x) = 0}={x∈E|l(x) = 0}= Kerl Cq est donc un hyperplan deE, c’est-à-dire une droite.

Second cas :rt−s²6= 0

Dans ce cas,qest non dégénérée et il existe deux réels non nulsa¹, a², ainsi que deux formes linéaires indépendantes surR², l¹ etl²tels que

∀x∈E q(x) =a¹l¹(x)² + a²l²(x)²

Dans la base duale de(l¹, l²)que l’on noteB^′,qa donc pour matrice Mat^B^′(q) = a¹ 0

0 a²

!

Comme le signe du déterminant dans une base de la matrice deqne dépend pas de la base,a¹a² est du signe dert−s².

• Si rt−s² est négatif, a1 et a2 sont de signe opposé. Quitte à intervertir les couples(a1, l1)et(a2, l2), on peut supposera1 strictement positif eta2stricte- ment négatif. On a en notant(x, y)les coordonnées d’un vecteurX∈R² dans la baseB^′,

X∈Cq ⇐⇒ (√a¹x−√

−a²y)(√a¹x+√

−a²y) = 0

⇐⇒ √a1x−√

−a2y= 0 ou √a1x+√

−a2y= 0 Cq est donc réunion de deux droites.

• Sirt−s²est positif,a¹eta²sont de même signe, qui est le signe der=q(i) =a¹l¹(i)²+a²l² Deux sous-cas se présentent :

– sir >0,qest définie positive et est donc un produit scalaire ; alorsCq = {0}et qa pour signature(2,0);

– sir <0,qest définie négative. Dans ce cas,Cq ={0}etqa pour signature (0,2).

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L’énoncé suggère de faire une discussion. Pour répondre précisément à la question, la discussion doit se faire jusqu’au bout sur les données de l’énoncé, c’est-à-dire sur r, s et t (et non pas sur des quantités introduites dans la réponse, comme ici a,a1. . .)

I. Cône contenant cinq vecteurs donnés

I.A NotonsMla matrice deq relativement àBc

M = MatBc(q) =







a¹¹ a¹² a¹³ a¹² a²² a²³ a13 a23 a33







de sorte que

q((x, y, z)) =a11x²+a22y²+a33z²+ 2a12xy+ 2a13xz+ 2a23yz

Ainsi, il vient q(i) = 0⇐⇒a¹¹= 0

Donci∈Cq si et seulement si le premier coefficient de la matrice de qrelativement àBc est nul.

De même,j et ksont dans Cq si et seulement si les coefficients diagonaux deM sont nuls, si bien que, en notanta²³= 2α, a¹³= 2β, a¹²= 2γ, il vient que :

Cq contienti,j et ksi, et seulement si, il existe des réelsα,β et γtels que

∀X = (x, y, z)∈R³ q(X) =α yz+β xz+γ xy

I.B.1 Pour un triplet τ, notons qτ la forme quadratique qui à X = (x, y, z)∈ R³ associeqτ(X) =α yz+β xz+γ xy. Notons égalementQi,j,k l’ensemble des formes quadratiques telles queCq contiennei,j et k. L’application τ7→qτ est visiblement linéaire de R³ dans Q. D’après la question précédente, son image est exactement Qi,j,k. Elle est également injective : siqτ = 0,

Mat^Bc(Qτ) =1 2





0 γ β

γ 0 α

β α 0



= 0

et donc τ= 0

De plus, nous avons, pourτ ∈R³

qτ(e) =l(τ)

qτ(e^′) =l^′(τ)