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Centrale Maths 2 MP 2005 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Nesme (ENS Lyon) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet porte sur la localisation du spectre de matrices carrées à coefficients complexes. Une matriceAétant donnée, il s’agit de déterminer un sous-ensemble deC dans lequel on est sûr de trouver une valeur propre deA. Cette détermination peut ensuite servir à initialiser un algorithme de calcul approché des racines du polynôme caractéristique deA. C’est pourquoi il est souhaitable de trouver un ensemble le plus petit possible, et même un ensemble ne contenant qu’une seule valeur propre deA.
• Dans la partie I, on montre que la suite de matrices Ak
k∈N tend vers 0 si et seulement si le rayon spectral deAest strictement inférieur à 1, en utilisant la norme infinie surMn(C).
• Dans la partie II, σA est localisé dans une union de disques dont les centres et les rayons se déterminent facilement à partir des coefficients deA.
• La partie III est une étude plus fine de l’ensemble déterminé dans la partie II, dans le but d’isoler certaines valeurs propres deA.
• La partie IV porte sur un encadrement du spectre de la matrice A×HB, obtenue en multipliantA et B coefficient par coefficient, à l’aide des spectres deAet deB.
La difficulté de ce sujet est très hétérogène. Si le début de la partie I est tout à fait classique, la question I.C exige une bonne connaissance du cours et une certaine autonomie. Il en est de même dans les parties II et III : au milieu de questions où le candidat est bien guidé, mais les questions II.A.5, II.B, III.A.2 et III.B.2.b nécessitent une bonne habileté technique. Enfin, de l’aisance avec le calcul matri- ciel est nécessaire pour venir à bout de la partie IV.
Bref, il faut faire preuve de pugnacité pour profiter de ce sujet, au demeurant très intéressant.
Hélas, les concepteurs du sujet n’ont pas fait preuve de beaucoup de rigueur dans le choix et dans l’usage des notations. En utilisant des notations inhabituelles ou à contre-emploi, les auteurs de l’énoncé rendent obscures des notions qui n’ont d’habitude rien de mystérieux. Ceci ajoute beaucoup à la difficulté des questions.
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Indications
Partie I I.A.2.b Sikest le numéro de la ligne telle que Pn
j=1
|akj|= N∞(A), étudier l’image parAdu vecteurwdéfini par
∀j∈ {1, . . . , n} wj= 0 si akj = 0 et wj= |akj|
akj
sinon I.A.3 Utiliser la question I.A.2.b.
I.B Remarquer queσT={tii;i∈ {1, . . . , n}}et introduiret∞= max
16i6j6n|tij|.
Puis démontrer et utiliser le fait queAest trigonalisable.
I.C Justifier d’abord que ρ Ak
=ρ(A)k; pour cela prouver que le spectre deAk est
λk |λ∈σA . Ensuite la question I.A.2.c permet de prouver une implication. Pour l’autre, fixerε > 0 et à l’aide des questions I.B et I.A.4.b majorerN∞(A)parC(ρ(A)k+ε)(Cétant une constante réelle).
Partie II II.A.2.c Utiliser tA.
II.A.3.a À l’aide de la question II.A.2.a, prouver queµ∈Dk(A).
II.A.5.b.i Remarquer que pour trois réelsa,bet c, 3 max{a, b, c}>a+b+c.
II.B.2 Si B = P−1DP, démontrer le résultat avec D et E′ = PEP−1. Utiliser ensuite la question I.A.4.b.
Partie III
III.A.1 Siz est une racine dePt, montrer que|z|6maxn n P
j=1
kcjk,1o .
III.A.2 Après avoir écrit (non(P)), poserη= 1/m. En associant un réeltmàη, minorer|Ptm(X0)|et étudier sa limite quandmtend vers l’infini.
III.B.2.b.ii Introduire les polynômes caractéristiques des matrices A(t) et justifier qu’ils vérifient les hypothèses du préliminaire. Fixer t dans E, λ dans σA(t) ∩D1(A) et prendre ε < mini∈{2,...,n}d(λ,Di(A)). Justifier que le réelη fourni par la question III.A.2 satisfait à la condition demandée.
III.B.2.b.iii Associer à la suite (tk)k∈N∗ une suite (λk)k∈N∗ de valeurs propres de A(tk). Justifier que cette suite est bornée et lui appliquer le théo- rème de Bolzano-Weierstrass.
Partie IV
IV.B.1 Speut s’écrireP−1DPavecPune matrice orthogonale (tP = P−1) etD une matrice diagonale à coefficients positifs.
IV.B.1 ÉcrireA = tT TetB = tU U, et prouver ensuite que
tx(A×HB)x= N2(TDx tU)2
IV.B.3.b Évaluer plutôt tx(A×H(B −λmin(B)I))x en introduisant la matrice A′= diag(a11, a22, . . . , ann).
IV.B.3.c Pour prouver queaii>λmin(A), étudier la matriceIn×H(A−λmin(A)I).
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Partie I
I.A.1 Vérifions queN∞satisfait aux trois propriétés d’une norme. SoitA∈Mn(C).
D’abord, siN∞(A) = 0, alors
i=1,...,nmax
n
P
j=1
|aij|= 0 donc ∀i∈ {1, . . . , n}
n
P
j=1
|aij|= 0 donc ∀(i, j)∈ {1, . . . , n}2 |aij|= 0 Ainsi, siN∞(A) = 0 alorsA = 0. Ensuite, soitλ∈C
N∞(λA) = max
i=1,...,n n
P
j=1
|λ aij|= max
i=1,...,n|λ|
n
P
j=1
|aij|=|λ| max
i=1,...,n n
P
j=1
|aij|
donc N∞(λA) =|λ|N∞(A)
Enfin, soitB∈Mn(C). Comme
∀i∈ {1, . . . , n}
n
P
j=1
|aij+bij|6
n
P
j=1
|aij|+
n
P
j=1
|bij|
on peut affirmer queN∞(A + B)6N∞(A) + N∞(B). Finalement N∞ est une norme surMn(C).
I.A.2.a Soient A ∈Mn(C) et z ∈Cn. D’après la définition du produit matriciel, pouri∈ {1, . . . , n}, laie coordonnée deA(z)s’écrit Pn
j=1
aijzj. Or
n
P
j=1
aijzj
6
n
P
j=1
|aij| |zj|6kzk∞ n
P
j=1
|aij|6N∞(A)kzk∞
On a utilisé le fait que|zj|6kzk∞(par définition dekzk∞) et que Pn
j=1
|aij|6N∞(A)
(par définition deN∞(A)). On peut maintenant affirmer que
i=1,...,nmax
n
P
j=1
aijzj
6N∞(A)kzk∞
soit kA(z)k∞6N∞(A)kzk∞
I.A.2.b Si la matriceAest nulle, l’égalité que l’on cherche à démontrer est évidente.
Supposons doncAnon nulle. D’après la question précédente,
∀z∈Cnr{0} kA(z)k∞
kzk∞
6N∞(A)
DoncN∞(A)est un majorant de l’ensemble
kA(z)k∞
kzk∞ , z∈Cnr{0}
. Pour montrer que N∞(A) est le maximum de cet ensemble, il suffit de trouver un élément w deCnr{0}tel que kA(w)k∞
kwk∞
= N∞(A).
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Le réelN∞(A)est le maximum de l’ensemble finin n P
j=1
|aij|, i∈ {1, . . . , n}o
. Il existe donck∈ {1, . . . , n}tel que Pn
j=1
|akj|= N∞(A). Introduisons maintenant le vecteurw deCn défini par
∀j∈ {1, . . . , n} wj= 0 si akj = 0 et wj= |akj|
akj
sinon
Comme la matriceAest non nulle, alorswest non nul. Chacune de ses coordonnées est soit nulle, soit de module 1. Donckwk∞= 1. Or, lake coordonnée deA(w)est
n
P
j=1 akj6=0
akj
|akj| akj
=
n
P
j=1
|akj|= N∞(A)
Cette coordonnée doit être inférieure à kA(w)k∞. On vient donc de prouver que N∞(A) 6 kA(w)k∞, mais d’après la question I.A.2.a, N∞(A) > kA(w)k∞. Ainsi kA(w)k∞= N∞(A), ou encore kA(w)k∞
kwk∞ = N∞(A).
Finalement N∞(A) = max
z∈Cnr{0}
kA(z)k∞
kzk∞
I.A.2.c Soientλ∈σA etzun vecteur propre associé àλ. Commezest un vecteur propre, il est non nul par hypothèse. De plusA(z) =λz: avec la question I.A.2.a, on a
|λ|= kA(z)k∞
kzk∞
6N∞(A) Ainsi, max
λ∈σA|λ|6N∞(A)et donc
ρ(A)6N∞(A)
I.A.3 Soient A et B deux matrices dans Mn(C). D’après la question I.A.2.b, on peut trouver un vecteurz non nul qui réalise le maximum de kAB(z)k∞/kzk∞, c’est-à-dire tel que
N∞(AB) = kAB(z)k∞
kzk∞
En appliquant la question I.A.2.a d’abord àAetB(z), et ensuite àBetz, on trouve kAB(z)k∞6N∞(A)kB(z)k∞6N∞(A)N∞(B)kzk∞
ainsi kAB(z)k∞
kzk∞
6N∞(A)N∞(B)
Finalement N (AB)∞6N∞(A)N∞(B)
I.A.4.a Vérifions d’abord queNQ est une norme. Soit A∈Mn(C).
• SiNQ(A) = 0alorsQ−1AQ = 0et doncA = 0.
• Pourλ∈C,NQ(λA) = N∞ λQ−1AQ
=|λ|N∞ Q−1AQ
=|λ|NQ(A).
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