PROBLÈME 1 — SUJET CLASSIQUE Notations

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 8

du jeudi 21 février Durée : 4 heures

Toute calculatrice interdite

Instructions générales : Les candidats sont priés

• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien huit pages ;

• de ne traiter que le sujet qui leur est destiné :

? classique, composé du problème1et de l’exercice ;

? corsé, composé du problème2 et de l’exercice.

Merci d’indiquer clairement sur la première page de la première copie si vous traitez le sujet classique ou le sujet corsé.

Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies mal rédigées ou mal présentées le sont aux risques et périls du candidat !

Remarque importante :

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Bon courage !

PROBLÈME 1 — SUJET CLASSIQUE Notations

Soitnet pdes entiers supérieurs ou égaux à1. On noteMn,p(R)leR-espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayantnlignes etpcolonnes. Lorsquep=n,Mn,n(R)est noté plus simplementMn(R)et est muni de sa structure d’algèbre,I_n représentant sa matrice identité.

GLn(R) désigne l’ensemble des matrices inversibles deMn(R) et Sn(R) l’ensemble des matrices symétriques de Mn(R).

Tout vecteurx= (x_i)_1≤i≤n deRⁿ est identifié à un élémentX deMn,1(R)tel que l’élément de lai-ième ligne de X soitxi. Dans toute la suite, nous noterons indifféremmentX = (xi)_1≤i≤n un élément deMn,1(R)aussi bien que le vecteur deRⁿ qui lui est associé.

PourA= (ai,j)1≤i≤n

1≤j≤p dansMn,p(R)etX = (xi)1≤i≤p dansR^p, on note(AX)i le coefficient de lai-ième ligne de AX.

Selon le contexte,0désigne soit le réel nul, soit la matrice nulle deMn(R), soit encore la matrice nulle deMn,1(R).

Rⁿ est muni de son produit scalaire canonique notéh · | · iet de la norme associée notéek · k.

Une matrice symétriqueS deSn(R)est dite positive lorsque :

∀X∈ Mn,1(R), ^tXSX ≥ 0 et définie positive lorsque :

∀X ∈ Mn,1(R)\ {0}, ^tXSX > 0.

On note S_n⁺(R)l’ensemble des matrices symétriques réelles positives etS_n⁺⁺(R)l’ensemble des matrices symétriques réelles définies positives.

Partie 1

I.1 Soit(X, Y)∈(Mn,1(R))² etS∈ Sn(R). Établir les égalités : I.1a) ^tXY =^tY X.

I.1b) (^tXY)²=^tX(Y^tY)X=^tY(X^tX)Y. I.1c) ^tXSY =hX|SYi=hSX|Yi.

I.2 Démontrer les propriétés suivantes :

I.2a) ∀(S1, S2)∈(S_n⁺(R))²,S1+S2∈ S_n⁺(R).

I.2b) ∀(S1, S2)∈ S_n⁺(R)× S_n⁺⁺(R),S1+S2∈ S_n⁺⁺(R).

I.2c) ∀A∈ Mn(R),^tAA∈ S_n⁺(R).

I.3

I.3a) SoitS ∈ Sn(R)vérifiant : ∀X ∈ Mn,1(R),^tXSX = 0. Montrer que toute valeur propre deS est nulle et en déduireS = 0.

I.3b) Donner un exemple de matrice carrée M d’ordre3, non nulle et vérifiant :

∀X ∈ M3,1(R), ^tXM X = 0.

I.4

I.4a) Soit S ∈ Sn(R). Montrer que S appartient à S_n⁺(R) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives.

I.4b) Que peut-on dire d’une matrice symétrique réelle semblable à une matrice symétrique réelle positive ?

I.5 On munitSn(R)des relations notées≥et >définies respectivement par

∀(S1, S₂)∈(Sn(R))², S₁≥S₂ ⇐⇒ S₁−S₂∈ S_n⁺(R) et

∀(S1, S2)∈(Sn(R))², S1> S2 ⇐⇒ S1−S2∈ S_n⁺⁺(R).

I.5a) Montrer que la relation ≥est une relation d’ordre surSn(R).

I.5b) Montrer que pour n≥2, cet ordre n’est pas total surSn(R).

I.5c) La relation>est-elle une relation d’ordre surS_n(R)?

I.5d) Trouver un exemple dans S2(R)montrant queS1≥S2 etS16=S2 n’implique pas nécessairementS1> S2. I.6 Soituetv deux endomorphismes deRⁿ diagonalisables et vérifiantu◦v=v◦u.

I.6a) Démontrer que tout sous-espace propre deuest stable par v.

I.6b) Soitλ1, . . . , λp les valeurs propres distinctes de uetEλ₁, . . . , Eλ_p les sous-espaces propres deurespecti- vement associés. Pour tout i∈ {1,2, . . . , p}, on notev_i l’endomorphisme deE_λi induit parv. Montrer que pour tout i∈ {1,2, . . . , p}, il existe une base B_i deE_λi formée de vecteurs propres de v. En déduire qu’il existe une baseBdeRⁿ telle que les matrices deuet vdans cette base soient toutes les deux diagonales.

I.7

I.7a) Soit A et B deux matrices diagonalisables deMn(R). Montrer que les matricesA et B commutent si et seulement si elles sont diagonalisables au moyen d’une même matrice de passage.

I.7b) On donne les matrices AetB suivantes :

A =





1 1 −1

1 1 −1

−1 −1 1



 et B =





2 1 −1

−2 5 −1

−4 2 2



.

Montrer que Aet B sont diagonalisables au moyen d’une même matrice de passage et déterminer explici- tement une telle matrice de passage.

I.8) Soit(S1, S2)∈(S_n⁺(R))²tel que S1S2=S2S1. Montrer que S1S2∈ S_n⁺(R).

I.9

I.9a) Soit(S1, S2)∈(Sn(R))²tel que S1S2=S2S1. Montrer que :

S₂ ≥ S₁ ≥ 0 ⇒ S₂² ≥S₁².

I.9b) Montrer que les matricesS1=

1 1 1 1

et S2= 3

2 0 0 3

vérifientS2≥S1≥0.

Vérifient-ellesS₂²≥S₁²?

Partie 2

On se propose dans cette partie de caractériser de diverses manières la définie positivité d’une matrice symétrique réelle.

II.1) SoitS∈ S_n(R). Montrer que les quatre propositions suivantes sont équivalentes : a) S est définie positive.

b) Toutes les valeurs propres deS sont strictement positives.

c) Il existeM ∈GLn(R)telle queS=^tM M. d) S est positive et inversible.

II.2 SoitAn et Bn les matrices de Sn(R)données par :

B_n =



























0 1 0 · · · 0 1 0 1 . .. ... 0 1 . .. . .. . .. ... ... . .. . .. . .. 1 0

... . .. 1 0 1

0 · · · 0 1 0



























et A_n = 2I_n−B_n.

II.2a) Montrer que pour tout vecteurX = (xi)1≤i≤n deRⁿ :

tXA_nX = x²₁+

n−1

X

i=1

(x_i−x_i+1)²+x²_n.

II.2b) En déduire que An est définie positive.

II.2c) En cherchant une matrice Mn de la forme :

Mn =





















u1 v1 0· · · 0 0 u₂ v₂ . .. ...

... . .. . .. . .. 0 ... . .. u_n−1 v_n−1 0 · · · 0 un





















, ui∈R, vi∈R,

déterminer explicitement une matriceMn inversible telle que A_n=^tMnMn.

II.3 SoitS∈ S_n⁺⁺(R)etM ∈GL_n(R)telles queS=^tM M. On noteU = (U₁, . . . , U_n)la famille des vecteurs colonnes deM. Pouri∈ {1,2, . . . , n}et x∈Rⁿ, on notepi(x)la projection orthogonale dexsurVect (U1, . . . , Ui).

II.3a) Justifier que U est une base deRⁿ.

II.3b) On définit la famille de vecteursV = (V1, . . . , Vn)par les relations :

V₁ = U₁ et ∀i∈ {2, . . . , n}, Vi = U_i−p_i−1(U_i).

Montrer que la familleV est orthogonale et que c’est une base deRⁿ. II.3c) SoitW= (W1, . . . , Wn)la famille de vecteurs définie parWi= Vi

kV_ik pour touti∈ {1, . . . , n}.W est alors une base orthonormale deRⁿ. Montrer que la matrice de passage de la baseW à la baseU est triangulaire supérieure.

II.3d) SoitP la matrice de passage de la base canonique deRⁿ à la baseW. Montrer queM peut s’écrire sous la formeM =P T oùT est une matrice triangulaire supérieure inversible et qu’alorsS=^tT T.

II.3e) Montrer que la matrice S =





4 −2 −2

−2 2 0

−2 0 3



admet une décomposition de la forme S =^tT T oùT est une matrice triangulaire supérieure inversible et en déduire que S est symétrique définie positive.

PROBLÈME 2 — SUJET CORSÉ

Notations

Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul. On note :

— Mn(R)l’espace vectoriel des matrices carrées de taillenà coefficients réels ;

— GL_n(R)le groupe des matrices inversibles deM_n(R);

— O(n)le groupe orthogonal d’ordren;

— S_n⁺(R), respectivement S_n⁺⁺(R), l’ensemble des matrices symétriques de Mn(R)dont les valeurs propres sont positives ou nulles, respectivement strictement positives ;

— I_n la matrice identité deM_n(R);

— 0n la matrice nulle deMn(R).

Pour toute matriceM deMn(R), on note^tM sa matrice transposée, tr (M)sa trace, et, pour(i, j)∈ {1, . . . , n}², m_ij le coefficient qui se trouve à l’intersection de lai-ème ligne et de laj-ème colonne. On munit Mn(R)de la norme définie, pour toutM ∈ Mn(R), parkMk= sup(|mij|,(i, j)∈ {1, . . . , n}²).

Rⁿ est muni de sa structure euclidienne usuelle, le produit scalaire de deux vecteursxety étant notéhx|yi.

Un endomorphisme auto-adjointudeRⁿ est dit positif (respectivement défini positif) lorsque hu(x)|xiest positif (respectivement strictement positif) pour tout vecteurxnon nul deRⁿ.

I – Décomposition polaire d’un endomorphisme de R

I.A – On munitRⁿ de sa structure euclidienne canonique.

I.A.1) Soit uun endomorphisme de Rⁿ. Montrer que uest autoadjoint défini positif si et seulement si sa matrice dans n’importe quelle base orthonormée appartient àS_n⁺⁺(R).

I.A.2) Montrer que siS ∈ S_n⁺⁺(R), alorsS est inversible etS⁻¹∈ S_n⁺⁺(R).

I.B – Dans cette question,udésigne un endomorphisme deRⁿautoadjoint défini positif. On se propose de démontrer qu’il existe un unique endomorphismev deRⁿ autoadjoint, défini positif, tel quev²=u.

I.B.1) Soitv un endomorphisme deRⁿ, autoadjoint défini positif et vérifiantv²=u, et soitλune valeur propre de u. Montrer quev induit un endomorphisme deKer (u−λId)que l’on déterminera.

I.B.2) En déduirev, puis conclure.

I.B.3) Montrer qu’il existe un polynômeQà coefficients réels tel quev=Q(u).

I.C – SoitA∈GLn(R).

I.C.1) Montrer que^tAA∈ S_n⁺⁺(R).

I.C.2) En déduire qu’il existe un unique couple(O, S)∈O(n)× S_n⁺⁺(R)tel que A=OS.

I.D –

I.D.1) Montrer queO(n)est une partie compacte deMn(R), c’est-à-dire une partie fermée et bornée.

I.D.2) Montrer queS_n⁺(R)est un fermé deMn(R).

I.D.3) Montrer queGLn(R)est une partie dense deMn(R).

I.D.4) SoitA∈ Mn(R). Montrer qu’il existe un couple(O, S)∈O(n)× S_n⁺(R)tel queA=OS. Un tel couple est-il unique ?M. Cochet : on admet que de toute suite d’un compactK, on peut extraire une sous-suite qui converge et qui le fait dans l’ensembleK.

I.E – M. Cochet : question longue et difficile.

Soit ϕl’application de O(n)× S_n⁺⁺(R) dans GLn(R) définie par ϕ(O, S) =OS pour tout couple (O, S) de O(n)× S_n⁺⁺(R).

Montrer que ϕ est bijective, continue et que sa réciproque est continue. M. Cochet : dans un espace vectoriel de dimension finie, le théorème de Bolzano-Weierstrass stipule que de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente.

III – Valeurs propres d’une matrice

Pourp∈N^∗, on pose

A_p=





















2 −1 0 . . . 0

−1 2 −1 . .. ... 0 −1 2 . .. 0 ... . .. . .. . .. −1 0 . . . 0 −1 2





















∈ M_p(R)

On notePp le polynôme tel que, pour tout réelx,Pp(x) = det(xIp−Ap).

III.A – Montrer qu’àx∈Rfixé, la suite(Pp(x))p∈N^∗ vérifie une relation linéaire d’ordre2, que l’on précisera.

III.B – Soitx∈Rtel que|2−x|<2. Après avoir justifié l’existence d’un uniqueθ ∈]0, π[tel que 2−x= 2 cosθ, déterminerPp(x)en fonction desin((p+ 1)θ)et desin(θ).

III.C – Déterminer les valeurs propres deAp.

III.D – Montrer queA_p est diagonalisable, et en déterminer une base de vecteurs propres, en précisant pour chacun la valeur propre associée.

IV –

Soitf une forme linéaire surMn(R).

IV.A – Montrer qu’il existe une unique matriceA∈ Mn(R)telle que∀M ∈ Mn(R),f(M) = tr (AM).

Dans la suite,A désigne la matrice définie dans cette question IV.A.

IV.B –

IV.B.1) Justifier l’existence deMn= sup({f(O), O∈O(n)}).M. Cochet : on pourra utiliser le fait qu’une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

IV.B.2) Justifier que^tAAadmetnvaleurs propres positivesµ1, . . . ,µn, comptées avec multiplicités.

IV.B.3) Montrer queMn= sup({tr (DΩ),Ω∈O(n)}), où Dest la matrice diagonale, dont les éléments diagonaux sont√

µ₁, . . . ,√ µ_n.

IV.B.4) En déduire queMn=

n

X

k=1

õ_k.

IV.C – Dans cette question,f désigne la forme linéaire définie par ∀M ∈ Mn(R), f(M) =

n

X

j=1 n

X

i=j

mi,j. IV.C.1) Déterminer la matriceAtelle que ∀M ∈ Mn(R), f(M) = tr (AM).

IV.C.2) Montrer que

A⁻¹=





















1 −1 0 · · · 0 0 1 −1 . .. ... ... . .. 1 . .. 0 ... . .. . .. −1 0 · · · 0 1





















IV.C.3) Déterminer les valeurs propres deA^{−1 t}A⁻¹. IV.C.4) Montrer queMn=

n

X

k=1

1 2 cos_2n+1^kπ .

IV.C.5) Donner un équivalent deMn lorsquentend vers+∞.

EXERCICE — SUJETS CLASSIQUE ET CORSÉ

Génération de matrices de 0/1 par remplissage aléatoire

Soitp∈]0,1[. On part de la matrice nulle deMn(R), notéeM0. Pour toutk∈N, on construit la matriceMk+1 à partir deM_k de la manière suivante :

— on parcourt en une vague la matrice et chaque coefficient nul est changé en1avec la probabilitép;

— chaque action sur un coefficient est indépendante de ce qui se passe sur les autres et des vagues précédentes.

Les Mk sont donc des variables aléatoires à valeurs dans l’ensemble Xn des matrices réelles d’ordre nà coefficients dans {0,1}. On considère que ces variables aléatoires M_k sont définies sur un espace probabilisé commun (Ω,A, P).

Voici un exemple de réalisation de cette évolution pourn= 2: M0=

0 0 0 0

→M1=

1 0 1 0

→M2=

1 0 1 0

→M3=

1 1 1 0

→M4=

1 1 1 1

→M5=

1 1 1 1

Pourk≥1, le nombre de modifications réalisées lors de lak-ième vague est notéN_k. Dans l’exemple ci-dessus :N₁= 2, N2= 0,N3= 1, N4= 1,N5= 0.

On s’intéresse au plus petit indicek pour lequel la matrice Mk ne comporte que des 1; on dit alors qu’elle est totalement remplie. Dans l’exemple précédent, ce premier indice vaut4.

On noteq= 1−petm=n².

1. Dans toute cette question on utilise le langage Python. La lettreMdésigne une matrice carrée d’ordren. Ses lignes et colonnes sont numérotées de0àn−1. L’expressionM[i,j]permet d’accéder à l’élément situé à l’intersection de la ligne iet de la colonnej etlen(M)donne l’ordre de la matriceM.

(a) Écrire une fonctionSomme(M)qui renvoie la somme des coefficients de la matriceM.

(b) Écrire une fonction Bernoulli(p) qui renvoie1 avec la probabilité pet 0 avec la probabilité 1−p. On pourra utiliser l’expressionrandom()qui renvoie un réel de l’intervalle[0,1[selon la loi uniforme.

(c) À l’aide de la fonction précédente, écrire une fonctionModifie(M,p)qui modifie aléatoirement la matrice Mselon le principe décrit plus haut.

(d) Écrire une fonctionSimulation(n,p)qui renvoie le plus petit entierktel queMk est totalement remplie à partir d’un remplissage aléatoire de la matrice nulle d’ordre n(qui peut être obtenue parzeros((n,n))).

Il n’est pas demandé de mémoriser lesMk.

2. Donner la loi de N1, puis la loi conditionnelle de N2 sachant [N1 =i] pour idans un ensemble à préciser. Les variables aléatoiresN₁ etN₂ sont-elles indépendantes ?

3. Soient ietj dans{1, . . . , n}. Le plus petit entierk≥1 tel que le coefficient lignei, colonnej deMk vaut1est noté Ti,j (dans l’exemple ci-dessus,T1,1= 1et T1,2= 3). Donner la loi deTi,j.

4. Pour un entierk≥1, donner la valeur deP([Ti,j ≥k]).

5. Soient r≥1un entier et S_r=N₁+· · ·+N_r. Que représenteS_r? Donner sa loi (on pourra utiliser la question précédente).

6. On note N le plus petit indicekpour lequel la matriceMk est totalement remplie.

(a) Proposer une démarche pour approcher l’espérance de N à l’aide d’une simulation informatique utilisant les fonctions précédentes.

(b) Donner une expression de la valeur exacte de cette espérance faisant intervenirqetm.

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 8 — éléments de correction

PROBLÈME 1 — SUJET CLASSIQUE

d’après CCP 2003 PC Maths 1

Partie 1

I.1a) Si X = (xi)_i∈[[1,n]] etY = (yi)_i∈[[1,n]]sont des éléments deMn,1(R), alors :

tXY = ^tY X =

n

X

i=1

xiyi .

I.1b) Développement sans problème :

(^tXY)² = (^tXY)(^tXY) = (^tXY)(^tY X) (calcul précédent)

= (^tX) Y^tY

(X) (associativité)

= (^tY X)(^tXY) = ^tY(X^tX)Y symétrie puis associativité.

I.1c) D’après le cours ^tXY = hx, yi lorsque X et Y sont les coordonnées de x et y dans une base orthonormée.

Néanmoins nous allons le redémontrer :

tX(SY) =

n

X

i,j=1

xisi,jyj = hX, SYi.

Puis comme S est symétrique^tX(SY) =^tX^tSY =^t(SX)Y =hSX, Yi. Ainsi ^tXSY =hX|SYi=hSX|Yi. I.2a) Fixons S1 et S2 dans S_n⁺(R). Il est déjà clair que S1+S2 est dans Sn(R). Ensuite, soit X ∈ Rⁿ. Par hypo-

thèse ^tXS₁X ≥ 0 et ^tXS₂X ≥ 0 et donc en additionnant ^tX(S₁+S₂)X ≥ 0. Finalement comme attendu : siS1et S2 sont dansS_n⁺(R)alorsS1+S2 aussi .

I.2b) La somme d’un réel positif et d’un réel strictement positif est un réel strictement positif.

Ainsi, comme à la question précédente : siS1∈S_n⁺⁺(R)etS2∈S_n⁺(R)alorsS1+S2∈S_n⁺⁺(R).

I.2c) Fixons A∈Sn(R), alors déjà ^t(^tA·A) =^tA·^t(^tA) =^tA·Adonc^tA·Aest symétrique. Ensuite, pourX ∈Rⁿ, il vient^tX(^tAA)X =^t(AX)(AX) =kAXk²≥0.

Il s’ensuit que siA∈ Mn(R)alors^tA·A∈S_n⁺(R).

I.3a) Soit S symétrique telle que^tXSX = 0 pour tout X ∈ Rⁿ. Considérons un vecteur X propre pour une valeur propre λ. AlorsSX =λX puis^tXSX=λ^tXX=λkXk². OrX 6= 0doncλ= 0.

Par ailleurs S est diagonalisable (car symétrique réelle). Elle est de fait semblable à diag(0, . . . ,0), donc nulle (S=P·0_n·P⁻¹= 0_n).

Finalement si S est symétrique et vérifie^tXSX = 0pour toutX alorsS= 0n .

I.3b) On veut que M Xsoit orthogonal àX pour toutX. C’est une propriété classique du produit vectoriel ! Il suffit de prendre pour M la matrice de l’applicationx7→i∧x:

M =





0 0 0

0 0 −1

0 1 0



.

Cette matrice vérifie alors bien ^tXM X= 0pour toutX ∈Rⁿ .

I.4a) La matriceSétant symétrique réelle, elle est diagonalisable dans une base orthonormée(Ei)_1≤i≤ndeRⁿ. Notons Sp(S) = (λ₁, . . . , λ_n). AlorsSE_k =λ_kE_k pour toutk.

• Supposons que toutes les valeurs propres sont positives. Soit alors X =

n

X

k=1

ykEk un vecteur quelconque. Il vient, par un calcul classique :

tXSX = hX, SXi =

* _n X

i=1

yiEi,

n

X

j=1

λkykEj

+

=

n

X

i=1 n

X

j=1

yiyjhEi|Eji =

n

X

i=1

λiy_i²≥0.

• Réciproquement, soit λ une valeur propre de S et X un vecteur propre asocié. Le calcul de I.3a) donne

tXSX=λkXk². Comme on suppose^tXSX ≥0 et queX 6= 0_n on a bienλ≥0.

Finalement siS est symétrique alors : Sp(S)⊂R+ si et seulement si pour toutX ∈Rⁿ,^tXSX≥0 .

I.4b) Deux matrices semblables ont même spectre. Par conséquent, siS⁰est symétrique réelle semblable àSsymétrique positive alors les valeurs propres de S (donc deS⁰ ) sont toutes positives et finalement S⁰ est positive . I.5a) Sur Sn(R)la relation ≥est bien :

• Binaire.

• Réflexive : siS est symétrique alorsS−S= 0n est bien positive doncS ≥S.

• Antisymétrique : siS1 et S2 sont symétriques avecS1≥S2 et S2 ≥S1, alors les valeurs propres de S2−S1

sont toutes à la fois positives et négatives donc nulle. Or S₂−S₁ est diagonalisable (car symétrique réelle) donc nulle d’après les questions I.3a)etI.4a). FinalementS2=S1.

• Transitive : soitS1,S2etS3symétriques avecS1≥S2etS2≥S3. AlorsS1−S2∈ S_n⁺(R)etS2−S3∈ S_n⁺(R), donc d’après I.2a)la sommeS₁−S₃∈ S_n⁺(R)et finalementS₁≥S₃.

Finalement la relation≥est bien une relation d’ordre surSn(R).

I.5b) Pour démontrer que l’ordre n’est pas total, il suffit de prendre S₁= 0et pourS₂ une matrice symétrique ayant une valeur propre positive et une négative. Ainsi





0 0 0

0 1 0

0 0 −1



 convient.

I.5c) La relation >n’est pas réflexive car0_n 6≥0_n puisque0_n−0_n= 0_n∈ S/ _n⁺⁺(R).

I.5d) On peut se douter (ou montrer) qu’une matrice deS_n⁺⁺(R)a des valeurs propres strictement positives.

On prend doncS2= 0etS1symétrique ayant des valeurs propres positives dont la valeur propre0. Par exemple S1=

0 0 0 1

. On a alorsS16= 0 et ^tXS1X =y² ≥0 pour tout X = x//y

. Par ailleurs si X = x

0

avecx6= 0alors il vient ^tXS1X = 0. Par conséquent S1≥S2,S16=S2et S16> S2 . I.6a) Question de cours !

I.6b) L’endomorphisme induit parv diagonalisable sur un sous-espace stable est lui même diagonalisable. Ainsi l’en- domorphisme vi est diagonalisable et il existe une base deEλ_i(u)qui est une base de vecteurs propres devi. L’endomorphismeuétant diagonalisable, l’espaceEest somme directe des sous-espaces propres. La concaténation des bases précédentes est donc une base de E. Par construction, ces vecteurs sont des vecteurs propres dev et deu(car éléments des sous-espaces propres).

Dans cette base, les endomorphismes uetv sont simultanément diagonalisables . Nous venons donc de démontrer que :

deux endomorphismes (d’un EVE) diagonalisables qui commutent sont co-diagonalisables .

La réciproque est trivialement vraie, cf. question suivante.

I.7a) • SoitAetB diagonalisables qui commutent. D’après la question précédente, les matricesAetB sont diagona- lisables au moyen d’une même matrice de passage.

• Réciproquement, siAetB commutent et sont diagonalisables au moyen d’une même matrice de passage alors A=P DP⁻¹ etB=P∆P⁻¹. Or deux matrices diagonales commutent, d’oùAB=BA=P(D∆)P⁻¹.

Ceci permet d’affirmer que :

siA etB sont diagonalisables, alors elles commutent si et seulement si elles sont co-diagonalisables . I.7b) •La matriceAest symétrique donc diagonalisable. Elle est de rang1etE0(A)est le plan d’équationx+y−z= 0.

Par la trace on en déduit que la troisième valeur propre est3, puis on trouveE3(A) = Vect



 1 1

−1



.

• Pour B on trouveSp(B) = (1,4,4). Le calcul des sous-espaces propres donne : E₄(B)est le plan d’équation

−2x+y−z = 0 et E1(B) = Vect



 1 1 2



. On vérifie alors que E1(B) ⊂ E0(A), E3(A) ⊂ E4(B). Les trois droites E₁(B), E₃(A),E₀(A)∩E₄(B) sont trois droites de vecteurs propres communs qui engendrent l’espace.

Une matrice de passage est :

P =





1 1 0

1 1 1

−1 2 1



.

I.8) SoitS1 etS2 symétriques réelles et qui commutent. Elles sont donc diagonalisables et commutent, donc d’après la question I.7a) elles sont diagonalisables avec une même matrice de passage :S1 =P DP⁻¹, S2 =P∆P⁻¹. Cette matrice de passage diagonalise aussi S1S2 = S2S1 = P D∆P⁻¹, la matrice diagonale semblable à S1S2

étant le produit des deux matrices semblables àS₁ etS₂.

Les matrices S1 et S2 étant positives, elles ont toutes les deux leurs valeurs propres positives (question I.4a)).

Les valeurs propres de S₁S₂ sont donc aussi toutes positives, d’où S₁S₂est symétrique et positive (toujours question I.4a).

I.9a) Conservons les notations précédentes :S1=P DP⁻¹,S2=P∆P⁻¹. Par hypothèseS2≥S1, d’où∆−Dpositive.

Pour les termes diagonaux on obtientδi−di≥0, ainsi quedi≥0puisque S2≥0.

Or la fonction carrée est croissante surR+, donc δ²_i ≥d²_i pour tout i. La matrice∆²−D² est par conséquent positive. FinalementS₂²−S₁²est une matrice symétrique semblable à une matrice symétrique positive, donc est aussi positive d’aprèsI.4.b).

Il s’ensuit que siS₁ etS₂ sont symétriques avecS₁S₂=S₂S₁ etS₂≥S₁≥0_n, alorsS₂²≥S₁² . I.9b) • Les matrices S₁ et S₂ sont bien symétriques. En outreS₂−S₁=

1/2 −1

−1 2

, de valeurs propres0 et 5/2 qui sont des réels positifs. La matriceS2−S1est de fait symétrique positive. Il s’ensuit que S2≥S1 .

• Par ailleursS1a pour valeurs propres 0et 1, donc S1≥0.

•EnfinS₂²−S₁²=

1/4 −2

−2 7

a pour déterminant−9/4, donc le produit des valeurs est négatif. On en déduit qu’une des valeurs propres est strictement négative, et S₂²−S₁² n’est pas positive .

Partie 2

II.1) a)⇒b) SoitS symétrique réelle telle que^tXSX >0 siX 6= 0. Soit λune valeur propre de S et X un vecteur propre associé. Par hypothèse ^tXSX=λkXk². Or^tXSX >0 etX 6= 0doncλ >0.

a)⇐b) SoitS symétrique réelle telle queSp(S)⊂R^∗+.

La matrice S étant symétrique réelle, elle est diagonalisable dans une base orthonormée (V_i)_1≤i≤n. Il existe D= diag (λk)telle que∀k,SVk=λkVk.

Si toutes les valeurs propres sont strictement positives, alors pour toute matrice colonne non nulleX =

n

X

k=1

ykVk

il vient par un calcul classique :

tXSX = hX, SXi =

* _n X

i=1

y_iV_i,

n

X

j=1

λ_jy_jV_j +

=

n

X

k=1

λ_ky_k² > 0.

Cette dernière quantité est strictement positive, comme somme de termes positifs dont un au moins est stricte- ment positif.

b)⇒c) Soit S symétrique réelle de spectre contenu dans R^∗+. La matrice S est diagonalisable dans une base orthonormée donc S =P D^tP avec D = diag (d_i/1 ≤ i ≤ n). Par hypothèse les d_i sont strictement positifs.

On peut donc définir ∆ = diag (√

di/1≤i≤n), qui est inversible car les termes diagonaux sont non nuls. La matriceM =P∆^tP est alors une solution du problème puisque : ^tM M=P∆∆^tP=P D^tP =S.

c)⇒d) Supposons que S =^t M M avecM inversible. La matriceS est inversible (comme produit de matrices inversibles), symétrique et positive d’aprèsI.2c).

d)⇒b) Soit S symétrique positive inversible. La matrice S est positive donc toutes ses valeurs propres sont positives. OrS est inversible donc0n’est pas valeur propre. Ainsi les valeurs propres deSsont donc strictement positives.

On a a)⇔b)⇒c)⇒d)⇒b), d’où l’équivalence des quatre propositions .

II.2a) La matrice A_n est bien symétrique . ConsidéronsX = (x_i)_1≤i≤n etY =AX= (y_j)_1≤j≤n. Alors :







y₁ = 2x₁−x₂

∀i∈[[2, n−1]], yi = −x_i−1+ 2xi−xi+1

yn = −x_n−1+ 2xn

Ainsi :

tXAX =

n

X

i=1

x_iy_i = 2

n

X

i=1

x²_i −

n

X

i=2

x_i−1x_i−

n−1

X

i=1

x_ix_i+1

=

n

X

i=2

x²_i +x²₁

! +

n−1

X

i=1

x²_i +x²_n

!

−

n−1

X

i=1

x_ix_i+1−

n−1

X

i=1

x_ix_i+1

=





n−1

X

j=1

x²_j+1+x²₁



+

n−1

X

i=1

x²_i +x²_n

!

−2

n−1

X

i=1

x_ix_i+1 = x²₁+x²_n+

n−1

X

i=1

x²_i+1−2x_ix_i+1+x²_i

d’où comme attendu ^tXAX = x²₁+x²_n+

n−1

X

i=1

(xi−xi+1)².

II.2b) D’après la questionII.2a), pour toutX ∈Rⁿle réel^tXAXest une somme de carrés de réels donc est positif. De plus la somme est nulle si et seulement si chaque terme est nul, c’est-à-dire





 x1= 0

∀i∈[[1, n−1]], xi+1−xi= 0 x_n= 0

soit encorex_i= 0pour touti. On en déduit que^tXSX >0siX 6= 0,i.e. S est définie positive .

II.2c) Avec la matriceM du sujet notonsS =^tM M= (si,j)i,j. Par produit :











s1=u²₁ i >1 ⇒ si=u²_i +v_i−1² 1≤i≤n−1 ⇒ s_i,i+1=s_i+1,i=u_iv_i

|j−i|>1 ⇒ si,j= 0 On doit donc résoudre le système non linéaire







u²₁= 2 i >1 ⇒ u²_i +v²_i−1= 2 1≤i≤n−1 ⇒ uivi=−1 On a doncv_i=−_u¹

i et en reportantu²_i = 2−_u2¹ i−1

. Posonsa_i=u²_i, alors on a une suite homographique : ( a1= 2

ai= 2−_a¹

i−1

L’équation ` = 2−1/` donne un point fixe double ` = 1. On constate alors (calcul !) que la suite _a¹

i−1 est arithmétique. Or

1

a_i−1 = 1 1−_a¹

i−1

= a_i−1

a_i−1−1 = 1 + 1 a_i−1−1, d’où _a¹

i−1 =iet

ui =

ri+ 1

i , vi = − r i

i+ 1 .

II.3a) La famille U est une base deRⁿ carS est une matrice inversible d’après la question II.1c).

II.3b) C’est la méthode d’orthogonalisation de Gram-Schmidt ! Cf. le cours pour la démonstration.

II.3c) La base est orthonormale car on norme une base orthogonale.

Par construction de V, il vientV_k ∈ Vect (U_i/1 ≤i ≤k). Ainsi les coordonnées de V_k sur U_k+1, . . . , U_n sont nulles et la matrice de passage de U àV est triangulaire supérieure. Enfin diviser chaque colonne par sa norme ne change pas les coefficients nuls, d’où la matrice de passage de U àW est triangulaire supérieure .

II.3d) Notons Bla base canonique deRⁿ. On a

M = M at_B(U) = M at_B(W)M at_W(U) = P T,

oùT est l’inverse de la matrice triangulaire supérieure construite à la question précédente.

On a alors S = ^tM M = ^tT^tP P T. Mais P est la matrice de passage de la base orthonormée B à la base orthonormée W, doncP est orthogonale et^tP P =I_n. Il s’ensuit que S=^tTT .

II.3e) Si on pose

T =





a b c 0 d e 0 0 f



, alors ^tT T =





a² ab ac

ab b²+d² bc+de ac bc+de c²+e²+f²



 =





4 −2 −2

0 2 0

−2 0 3



.

En résolvant ce système non-linéaire et en choisissant pour a,d,f les racines carrées positives on obtient :

T =





2 −1 −1

0 1 −1

0 0 1



.

La matriceT est inversible donc d’aprèsII.1la matrice S est définie positive .

PROBLÈME 2 — SUJET CORSÉ

d’après Centrale 2013 MP maths 2

I - Décomposition polaire d’un endomorphisme de R

I.A – On munitRⁿ de sa structure euclidienne canonique.

I.A.1) Soituun endomorphisme de Rⁿ, B une base orthonormale deRⁿ et M la matrice deudans cette base. On sait déjà que uest autoadjoint si et seulement si M est symétrique (cours). De plus uet M ont le même spectre : Sp(u) = Sp(M).

• Supposonsupositif, prouvons queSp(u)⊂R+.

Soit λ une valeur propre de uet x6= 0 un vecteur propre associé. Il vient alors hu(x)|xi = (λx|xi =λkxk². Or hu(x)|xi ≥0et kxk²>0puisque x6= 0, d’oùλ∈R+.

• Supposonsudéfini positif, prouvons que Sp(u)⊂R^∗+.

Soit λ une valeur propre de uet x6= 0 un vecteur propre associé. Il vient alors hu(x)|xi = (λx|xi =λkxk². Or hu(x)|xi>0et kxk²>0puisque x6= 0, d’oùλ∈R^∗+.

• SupposonsSp(u)⊂R+, prouvons queuest positif.

D’après le théorème spectral, il existeB= (e1, . . . , en)une base orthonormée de vecteurs propres deu, associée aux valeurs propres(λ1, . . . , λn).

SoitxdansRⁿ. Notonsx=

n

X

i=1

xiei sa décomposition dansB. Un calcul classique mène à

hu(x)|xi=

n

X

i=1

λ_ix²_i.

Orλi≥0 pour toutidonchu(x)|xi ≥0. Ainsiuest bien positif.

• SupposonsSp(u)⊂R^∗+, prouvons queuest défini positif.

Avec les mêmes notations, puisquexest non nul il existe un itel quex_i 6= 0. Il s’ensuit quehu(x)|xi ≥ λ_ix²_i >0.

Par conséquentuest bien défini positif.

Ceci achève de démontrer que uest positif (resp. défini positif) si et seulement siSp(u)⊂R+ (resp.Sp(u)⊂R^∗+) . I.A.2) SupposonsS ∈S_n⁺⁺(R), alorsS est symétrique et Sp(S)⊂R^∗+ donc0∈/ Sp(S)puisS est inversible. De plus

t(S⁻¹) = (^tS)⁻¹= (S)⁻¹d’oùS⁻¹est symétrique. Enfin la matriceSétant diagonalisable, il vientSp(S⁻¹) ={_λ¹/ λ∈ Sp(S)} ⊂R^∗+. D’où S⁻¹∈S_n⁺⁺(R).

I.B – Soituun endomorphisme deRⁿ autoadjoint défini positif.

I.B.1) Soitv un endomorphisme deRⁿ autoadjoint défini positif tel quev²=u. Soitλ∈Sp(u). Déjàuv=v³=vu, donc Ker (u−λId) est stable par v. Notons vλ la restriction de v à Ker (u−λId). Puisque v est diagonalisable, la restriction vλ est aussi diagonalisable. Si µ est une valeur propre de vλ alors il existe un vecteur non nul x de Ker (u−λId)tel quev(x) =µx. Bien entenduu(x) =µ²x=λx. Maisµ >0, alorsµ=√

λet vλ=√

λIdKer (u−λId). I.B.2) Puisqueuest diagonalisable : Rⁿ= M

λ∈Sp(u)

Ker (u−λId). Alorsv= M

λ∈Sp(u)

vλ. En d’autres termes, pour tout λ∈Sp(u), pour toutx∈Ker (u−λId),v(x) =√

λx. Ceci prouve l’unicité dev .

Réciproquement, pour cev ainsi défini on av∈ L(Rⁿ)etv²=u. L’endomorphismeuest autoadjoint, donc diagonali- sable et ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. Il existe alors une base orthonormale deRⁿ adaptée

à la somme directeRⁿ= M

λ∈Sp(u)

Ker (u−λId)dans laquelle la matrice dev est diagonale à éléments diagonaux dans R^∗+. L’endomorphismevest alors bien autoadjoint défini positif et vérifiantv²=u. D’où l’existence dev .

I.B.3)Soientλ1, . . . ,λples valeurs propres distinctes deu, etm1, . . . ,mpleurs multiplicités respectives. Il existe une base orthonormaleBdeRⁿdans laquelle la matrice deuest diagonale (par blocs) : [u]_B= diag (λ₁I_m1, λ₂I_m2, . . . , λ_pI_mp).

Par unicité dev : [v]_B= diag (√

λ₁I_m1,√

λ₂I_m2, . . . ,p λ_pI_mp).

SoientL₁, . . . , L_p les polynômes de Lagrange associés aux réelsλ₁, . . . , λ_p. En clair : L_i(X) =

p

Y

j=1 j6=i

X−λ_j λi−λj

pour

tout i∈[[1, p]]. Sans détour : L_i(λ_j) =δ_i,j=

1sii=j

0si non . Posons Q(X) =

p

X

i=1

pλ_iL_i(X). Le polynômeQvérifie Q(λ_i) =√

λ_i pour touti. Par conséquentQ([u]_B) = [v]_B puis Q(u) =v . I.C –SoitA∈GLn(R).

I.C.1)La matrice^tAAest symétrique. Pour toutX∈Mn,1(R), remarquons que^tX(^tAA)X =^t(AX)(AX) =kAXk²≥ 0. SiX 6= 0, alors par inversibilité deAil vientAX6= 0. Par conséquent ^tAA∈S⁺⁺_n (R).

I.C.2)D’après I.B)il existe une unique matrice S ∈S_n⁺⁺(R)telle que^tAA =S². Posons O =AS⁻¹, alors ^tOO =

t(S⁻¹)^tAAS⁻¹=S⁻¹(^tAA)S⁻¹=S⁻¹(S²)S⁻¹=I_n d’oùO∈O(n). Ceci prouve l’ existence de (O, S).

Supposons qu’il existe(O, S)∈O(n)×S_n⁺⁺(R)tel queA=OS. D’une part^tAA=S²doncS est unique d’aprèsI.B, d’autre partO=AS⁻¹ est également unique. Ceci prouve l’ unicité de(O, S)∈O(n)×S_n⁺⁺(R)tel que A=OS . I.D.1) SoitM ∈O(n).

• Les colonnes de M forment une base orthonormée de Rⁿ donc |m_i,j| ≤ 1 pour tous i, j, d’où kMk ≤ 1. Ainsi O(n)est borné .

• L’applicationf :X 7→^tXX est continue surMn(R), car les coefficients de^tXX sont polynomiaux en ceux deM. Le singleton{In} est fermé dansMn(R).

Par conséquent O(n) =f⁻¹({In})est fermé comme image réciproque par une application continue d’un fermé.

L’espace vectoriel normé Mn(R) est de dimension finie, donc ses compacts sont ses parties fermées et bornées. Il s’ensuit que O(n)est un compact deMn(R).

I.D.2) L’ensembleS_n(R)est un fermé deM_n(R), puisque c’est un sous-espace vectoriel de dimension finie. Il suffit alors de prouver queS_n⁺(R)est un fermé deSn(R).

Soit (Aq)q∈N une suite de S_n⁺(R) convergente vers A ∈ Sn(R). Montrons que A ∈ S_n⁺(R). Soit X ∈ Mn,1(R) fixé.

L’applicationM 7→^tXM X est (une forme) linéaire sur S_n(R)qui est de dimension finie, donc elle est continue. Or pour tout q, ^tXAqX ≥ 0. D’où en passant à la limite ^tXAX ≥0 pour tout X. D’où A ∈ S_n⁺(R). Par conséquent

S_n⁺(R)est bien fermé .

I.D.3) SoitA∈M_n(R). Le nombre des valeurs propres deA est fini. On en déduit qu’il existe un entier non nulN tel que pour tout q≥N, 1

q ∈/ Sp(A). Ainsi

A− 1 N+pI_n

p∈N

est une suite deGL_n(R)qui converge vers A. Par conséquent GLn(R)est dense dansMn(R).

I.D.4) SoitA∈M_n(R). D’après la question précédente, il existe une suite(A_q)_q∈NdeGL_n(R)qui converge versA.

D’aprèsI.C.2), il existe deux suites(O_q)_q∈N deO(n)et(S_q)_q∈NdeS_n⁺⁺(R)telles queA_q=O_qS_q pour toutq.

D’aprèsI.D.1), l’ensembleO(n)est compact. Il existe une sous-suite(O_ϕ(q))_q∈Nqui converge vers un certainO∈O(n).

MaisS_ϕ(q)=^tO_ϕ(q)A_ϕ(q)^q→∞−→ ^tOA=S. Par ailleurs(S_ϕ(q))_q∈Nest une suite deS⁺⁺_n (R)⊂S_n⁺(R)qui est fermé d’après I.D.2), d’oùS∈S_n⁺(R). On a bien trouvé un couple(O, S)deO(n)×S_n⁺(R)tel que A=OS .

Hélas l’unicité n’est plus garantie siS n’est pas inversible : par exemple la matrice nulle 0 est dans S_n⁺(R) et se décompose sous la forme0 =OS pourS= 0(matrice nulle) etO∈O(n)quelconque.

I.E – Soitϕl’application de O(n)×S_n⁺⁺(R)dansGLn(R)définie parϕ(O, S) =OS.

• D’aprèsI.C.2)tout élémentAdeGL_n(R)admet un et un seul antécédent parϕ: l’application ϕest bijective .

• De plusϕest la restriction d’une application bilinéaire de source de dimension finie, donc ϕest continue .

• Prouvons la continuité deϕ⁻¹, par caractérisation séquentielle. Soit(Aq)_q∈Nune suite deGLn(R)qui converge vers A∈GLn(R).

On pose(O, S) =ϕ⁻¹(A)et (Oq, Sq) =ϕ⁻¹(Aq)pour toutq.

Remarquons que ^tA_qA_q = S_q^{2 q→+∞}−→ ^tAA = S². La suite (S_q)_q est convergente, donc bornée. Or Mn(R) est de dimension finie donc d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, la suite (Sq)q admet une sous-suite (S_α(q))_q∈N convergente vers une certaine matriceS⁰∈S⁺_n(R).

Mais la suite(S²_α(q))q converge versS²= (S⁰)² qui est inversible, doncS⁰ ∈S_n⁺⁺(R).

D’où d’aprèsI.B(unicité de la décomposition polaire)S =S⁰.

On vient de montrer que S est la seule valeur d’adhérence de(Sq)q . Montrons que (Sq)q converge versS.

Par l’absurde, supposons que(S_q)_q ne converge pas versS. (Converge versS:∀ε >0,∃n₀/∀q≥n₀,kS−S_qk ≤ε).

Il existeε >0 tel que pour toutn₀, il existeq≥n₀ tel quekS−S_qk> ε. On peut donc construire une sous-suite (S_β(q))_q∈Ntelle que : ∀q∈N,

S−S_β(q) > ε.

D’après ce qui précède (S_β(q))_q est une suite bornée, donc admet une valeur d’adhérence, qui est aussi valeur d’adhérence de la suite(S_q)_q∈N, donc qui ne peut être queS. Ceci est absurde car

S−S_β(q)

> εpour toutq.

Finalement la suite(Sq)q∈Nconverge versS. OrSest inversible et la fonction inverse est continue surGLn(R), d’où (S_q⁻¹)_q∈Nconverge versS⁻¹.

La suite(Oq)q = (AqS⁻¹_q )q converge alors versAS⁻¹=O.

On en déduit que lim

q→+∞ϕ⁻¹(Aq) = ϕ⁻¹(A). L’application ϕ⁻¹est continue sur GLn(R) par caractérisation sé- quentielle de la continuité.

III – Valeurs propres d’une matrice

Pour toutp∈N^∗, on pose :A_p=



















2 −1 0 . . . 0

−1 2 −1 . .. ^... 0 −1 2 ^... 0 ... . .. . .. . .. −1 0 . . . 0 −1 2



















∈M_p(R).

Soit le polynôme réel :Pp(x) = det(xIp−Ap).

III.A – Soitp≥3.P_p(x) =

x−2 1 0 . . . 0 1 x−2 1 . .. .^.. 0 1 x−2 ^... 0 ... . .. . .. . .. 1 0 . . . 0 1 x−2

On développe suivant la première ligne :

Pp(x) = (x−2)P_p−1(x)−

1 1 . .. ^... 0 x−2 ^.._. 0 ... . .. . .. 1

0 0 1 x−2

.

Enfin en développant suivant la première colonne : Pp(x) = (x−2)P_p−1(x)−P_p−2(x). III.B – Soitx∈Rtel que|2−x|<2, ou encore 2−x

2 ∈]−1,1[. L’applicationθ7→cos(θ)est une bijection de]0, π[

vers ]−1,1[, donc il existe un uniqueθ∈]0, π[tel que2−x= 2 cos(θ). Remarquons ensuite que P1(x) = x−2 =

−2 cos(θ) =−sin(2θ)

sin(θ) etP₂(x) = (x−2)²−1 = 4 cos²(θ) sin(θ)−sin(θ)

sin(θ) =2 sin(2θ) cos(θ)−sin(θ)

sin(θ) = sin(3θ) sin(θ) . N.B. : on a utilisé la formule trigonométrique2 sin(a) cos(b) = sin(a+b) + sin(a−b).

Par récurrence double surp∈N^∗, montrons quePp(x) = (−1)^psin((p+ 1)θ)

sin(θ) . Ceci est vrai pourp∈ {1,2}. Supposons que c’est vrai pourq−1 etq−2 et prouvons-le pourq :

Pq(x) = (x−2)P_q−1(x)−P_q−2(x) = −2 cos(θ)(−1)^q−1sin(qθ)

sin(θ) −(−1)^qsin((q−1)θ) sin(θ)

= (−1)^q

2 cos(θ)sin(qθ)

sin(θ) −sin((q−1)θ) sin(θ)

= (−1)^qsin((q+ 1)θ) sin(θ) .

III.C – Remarquons que Pp(x) = sin((p+ 1)θ)

sin(θ) = 0 si et seulement si θ = kπ

p+ 1 avec k ∈ [[1, p]], ou encore x= 2

1−cos

kπ p+ 1

= 4 sin² kπ

2(p+ 1)

aveck∈[[1, p]]. Ce sont bienpvaleurs distinctes, grâce à la bijectivité decos :]0, π[→]−1,1[.

Ainsi lespvaleurs propres deAp sont les λk,p= 4 sin²

kπ 2(p+ 1)

aveck∈[[1, p]].

III.D – La matriceA_p est dans M_p(R)et admet pvaleurs propres réelles distinctes, donc A_p est diagonalisable . Déterminons les éléments propres deAp. Pour ce faire, fixonsk∈[[1, p]]et posonsXk =





 x1,k

... xp,k





∈Mp,1(R). Alors :

A_pX_k = λ_k,pX_k ⇐⇒



















2x_1,k−x_2,k = 4 sin²(_2(p+1)^kπ )x_1,k

−x1,k+ 2x2,k−x3,k = 4 sin²(_2(p+1)^kπ )x2,k

...

−x_p−2,k+ 2x_p−1,k−xp,k = 4 sin²(_2(p+1)^kπ )x_p−1,k

−xp−1,k+ 2x_p,k = 4 sin²(_2(p+1)^kπ )x_p,k

⇐⇒















x2,k = 2 cos(_p+1^kπ)x1,k

x1,k+x3,k = 2 cos(_p+1^kπ)x2,k

...

x_p−2,k+x_p,k = 2 cos(_p+1^kπ)x_p−1,k .

Chaque espace propre est une droite vectorielle. On prendx1,k= 1, ce qui fournitx2,k= 2 cos(_p+1^kπ)et pour3≤q≤p