PROBLÈME 1 — SUJET CLASSIQUE

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 8

du jeudi 28 mars Durée : 4 heures

Toute calculatrice interdite

Instructions générales :

Les candidats sont priés

• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien10pages ;

• de ne traiter que le sujet qui leur est destiné :

? classique, composé du problème1;

? corsé, composé du problème2.

Merci d’indiquer clairement sur la première page de la première copie si vous traitez le sujet classique ou le sujet corsé.

Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies mal rédigées ou mal présentées le sont aux risques et périls du candidat !

Remarque importante :

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Bon courage !

PROBLÈME 1 — SUJET CLASSIQUE

Soitp∈]0,1[. On poseq= 1−p.

On considère un automate qui génère successivement les lettres C ou P jusqu’à obtenir une certaine séquence prédéfinie.

On suppose que pour toutn∈N^∗, l’automate génère lan-ième lettre à l’instantnde façon indépendante de toutes les générations précédentes. On suppose également qu’à chaque génération, les lettres P et C ont des probabilitéspet q (respectivement) d’être générées. Suivant les parties considérées, on définit différents niveaux que l’automate peut atteindre.

On considère dans tous les cas que l’automate est initialement au niveau 0. On se propose alors d’étudier essen- tiellement l’existence de l’espérance et de la variance de la variable aléatoire correspondant au temps d’attente de la séquence prédéfinie à travers sa série génératrice.

Pour cette étude probabiliste, on mobilise diverses propriétés analytiques (surtout sur les séries entières) et quelques propriétés d’algèbre linéaire.

Dans les partiesI,IIetV, on examine le temps d’attente pour les séquences C puis CC, puis CPC et CCPPC. La partieIIest indépendante de la partieIet traite de questions préliminaires sur les séries entières qui seront investies dans les parties IIIet V. La partieIVest indépendante des parties précédentes et traite les questions préliminaires d’algèbre linéaire qui servent exclusivement dans la partieV. La partieIIIne dépend de la partieIque par la question Q4 et de la partie IIque par la questionQ10. La partie V utilise seulement la questionQ11 de la partie II et la partieIV.

Pourn∈N^∗, on notePnl’évènement « l’automate génère la lettre P à l’instantn» etCnl’évènement « l’automate génère la lettre C à l’instantn».

Partie I - Étude d’un cas simple

Dans cette partie, on dit que l’automate passe du niveau 0 au niveau 1 dès qu’il génère la lettre C. Si, en revanche, il génère la lettre P, alors il reste au niveau 0. L’expérience s’arrête dès que l’automate a atteint le niveau 1. On résume l’expérience par la figure 1 suivante :

On noteY l’instant où, pour la première fois, l’automate atteint le niveau 1. On admet que Y est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé(Ω,A, P)telle queY(Ω)⊂N^∗. On noteG_Y la série génératrice deY etR_Y son rayon de convergence.

On sait alors queRY ≥1et que :

∀t∈]−R_Y, R_Y[, G_Y(t) = E(t^Y) =

+∞

X

n=1

P(Y =n)tⁿ.

Q1. Reconnaître la loi deY et préciser en particulierP(Y =n)pourn∈N^∗. Q2. Montrer queR_Y =1

p >1 et que :∀t∈

−1 p,1

p

, G_Y(t) = qt 1−pt. Q3. Montrer queGY est 2 fois dérivable en 1 et queG⁰(1) = 1

q etG⁰⁰(1) = 2p q². Q4. Donner les valeurs deE(Y)et deV(Y).

Partie II - Séries entières

Soitz∈Ceta∈C^∗. Pour n∈N, on poseun(a) =− 1 aⁿ⁺¹

Q5. Montrer quePu_n(a)zⁿ est une série entière de rayon de convergence égal à|a|.

Q6. Montrer que si|z|<|a|, on a : 1 z−a =

+∞

X

n=0

u_n(a)zⁿ.

Soita,bet λdes nombres complexes non nuls. Dans les questionsQ7à Q10, on suppose que|a|<|b|. On définit alors, pour toutn∈N,v_n=

n

X

k=0

u_k(a)u_n−k(b)et pour tout réelttel que |t|<|a|, f(t) = λt² (t−a)(t−b). Q7. Montrer que l’on a :

vn = 1 abⁿ⁺¹

n

X

k=0

b a

k

= 1

b−a 1

aⁿ⁺¹ − 1 bⁿ⁺¹

.

Q8. Trouver un équivalent simple dev_n quand ntend vers+∞.

Q9. En déduire que le rayon de convergence dePv_nzⁿ est égal à|a|et que si |z|<|a|, alors 1

(z−a)(z−b) =

+∞

X

n=0

vnzⁿ.

Q10. Justifier quef est développable en série entière au voisinage de 0 et que la série entière qui lui est associée possède un rayon de convergenceRf tel que Rf =|a|.

Soita,b,cet λdes nombres complexes non nuls. On suppose que :|a| ≤ |b| ≤ |c|.

Pour tout réelt tel que|t|<|a|, on pose :g(t) = λt³

(t−a)(t−b)(t−c).

Q11. Justifier quegest développable en série entière au voisinage de 0 et que la série entière qui lui est associée possède un rayon de convergenceRg tel que Rg≥ |a|.

Partie III - Étude d’un cas intermédiaire

Dans cette partie, on suppose que l’automate passe du niveau 0 au niveau 1 en générant la lettre C. De même, l’automate passe du niveau 1 au niveau 2 en générant la lettre C. Si, en revanche, il génère la lettre P, alors qu’il est au niveau 0 ou 1, il retombe au niveau 0. L’expérience s’arrête dès que l’automate a atteint le niveau 2, c’est-à-dire dès que l’automate aura généré la séquence CC. On résume l’expérience par la figure 2 suivante :

On noteZ l’instant où, pour la première fois, l’automate atteint le niveau 2. Ainsi Z est le temps d’attente de la séquence CC.

On admet queZ est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé(Ω,A,P)telle queZ(Ω) ⊂N^∗. Pour tout n∈ N^∗, on note pn =P(Z = n). On note GZ la série génératrice de Z et RZ son rayon de convergence. On rappelle queRZ ≥1.

Q12. Calculerp₁,p₂et p₃.

Q13. Justifier que(P₁, C₁∩P₂, C₁∩C₂)est un système complet d’évènements.

Q14. En déduire que pour toutn≥3, on a : p_n =pp_n−1+pqp_n−2.

Q15. En déduire que pour toutt∈[−1,1], on a : GZ(t)(1−pt−pqt²) =q²t². Pourt∈R, on noteQ(t) = 1−pt−pqt²,∆ =p²+ 4pq >0, a=

√∆−p

2pq etb=−√

∆−p 2pq . Q16. Montrer queQ(−1) = 1 +p²>0 et queQ(1) =q²>0.

Q17. Montrer que, pour toutt∈R,Q(t) =−pq(t−a)(t−b).

Q18. Montrer que1<|a|<|b|.

Pour tout réelt tel que|t|<|a|, on définitf(t) = q²t² 1−pt−pqt².

Q19. Montrer à l’aide de la questionQ10quef est développable en série entière au voisinage de 0, que sa série entière associée estG_Z et queR_Z =|a|.

Q20. Montrer que, pour toutt∈]− |a|,|a|[, on a : GZ(t) = q²t² 1−pt−pqt².

Q21. Montrer queZ admet une espérance et une variance puis queE(Z) =q⁻¹+q⁻².

Q22. Vérifier, à l’aide des questionsQ4et Q21, queE(Z)≥E(Y) + 1oùY est la variable aléatoire définie en partie I.

Q23. Pouvait-on prévoir ce résultat ?

Partie IV - Algèbre linéaire

On considère les matricesI4=









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







 ,A=









p 0 p 0 q q 0 0 0 p 0 0 0 0 q 0







 et L=







 1 0 0 0







 .

Soitt∈R. On noteχA le polynôme caractéristique deA, si bien queχA(t)est le déterminant deA−tI4. Q24. Montrer que 0 est valeur propre deA et donner un vecteur propre deAassocié à la valeur propre 0.

Q25. Trouver les réelsα, β etγ tels que, pour toutt∈R, χA(t) =t⁴−t³+αt²+βt+γ.

On dit que la matrice colonneS=







 S0

S1

S₂ S3









est solution de(E_t)lorsqueS=tAS+L.

Q26. Montrer que, pour toutt∈R,S est solution de(E_t)si et seulement si(I₄−tA)S=L.

Pour toutt∈R, on noteψA(t)le déterminant de la matriceI4−tA.

Q27. Montrer que pour toutt∈R^∗, ψ_A(t) =t⁴χ_A(1/t).

Q28. Vérifier que pour toutt∈R, ψ_A(t) =−p²qt³+pqt²−t+ 1.

Q29. En déduire que, pourtau voisinage de 0, l’équation(Et)possède une unique solutionS.

Pour toutk ∈ [[1,4]], on note Uk la k-ième colonne de I4−tA. On note B la base canonique de M4,1(C) et on suppose que la matrice colonneS=







 S0

S1

S2

S₃









est solution de(E_t).

Q30. Vérifier queL=U1S0+U2S1+U3S2+U4S3.

Q31. En déduire quedetB(U1, U2, U3, L) =S3·detB(U1, U2, U3, U4) =S3·ψA(t).

Q32. Montrer que, pourt au voisinage de 0, on a l’égalité :

S3 = pq²t³

−p²qt³+pqt²−t+ 1.

On se propose de déterminer certaines propriétés des valeurs propres deA. On noteλune valeur propre complexe non nulle deA.

Q33. Montrer queλest valeur propre de la matrice transposée deA.

Q34. En déduire qu’il existe trois complexes non tous nulsx1,x2 etx3tels que :

(H)







px1 + qx2 = λx1

qx2 + px3 = λx2

px₁ = λx₃ .

On considère désormais trois complexes non tous nulsx₁, x₂ et x₃ qui vérifient le système (H). On note alors M = max(|x1|,|x2|,|x3|)et on remarque que l’on peut toujours se placer dans l’un des trois cas suivants :

i)M =|x3|; ii)M =|x2|avecM >|x3|; iii)M =|x1|avecM >|x2|et M >|x3|.

Q35. Montrer, en distinguant ces trois cas, que|λ|<1.

Q36. Montrer l’existence de nombres complexesλ₁,λ₂et λ₃ tels que :

0<|λ1| ≤ |λ2| ≤ |λ3|<1 et ∀t∈R,χA(t) =t(t−λ1)(t−λ2)(t−λ3).

Q37. Montrer l’existence de nombres complexesµ,a, betc tels que :

µ6= 0, 1<|a| ≤ |b| ≤ |c| et ∀t∈R, ψA(t) =µ(t−a)(t−b)(t−c).

Partie V - Étude d’un dernier cas

Dans cette partie, on suppose que :

• l’automate passe du niveau 0 au niveau 1 en générant la lettre C ;

• l’automate passe du niveau 1 au niveau 2 en générant la lettre P ;

• l’automate passe du niveau 2 au niveau 3 en générant la lettre C ;

• si l’automate est au niveau 0 ou 2 et qu’il génère la lettre P, alors il retombe au niveau 0 ;

• si l’automate est au niveau 1 et qu’il génère la lettre C, alors il reste au niveau 1.

L’expérience s’arrête dès que l’automate a atteint le niveau 3, c’est-à-dire dès que l’automate aura généré la séquence CPC.

Q38. Reproduire, sur votre copie, la figure 3 suivante en la complétant pour résumer l’expérience de cette partieV.

Pouri∈[[0,3]] et n∈N^∗, on noteEn,i l’événement « après avoir généré lan-ième lettre, l’automate se trouve au niveaui» etE0,i l’événement « l’automate se trouve initialement au niveaui». On posepn,i=P(En,i)et pour tout t∈[−1,1], on définit S_i(t) =

+∞

X

n=0

p_n,itⁿ.

On noteT l’instant où, pour la première fois, l’automate atteint le niveau 3.

On admet queT est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé(Ω,A,P)telle que T(Ω)⊂N^∗. On remarque que la série génératrice deT (notéeG_T) est alors S₃ et on noteR_T son rayon de convergence. On rappelle queRT ≥1.

Q39. Déterminerp0,0,p0,1,p0,2 etp0,3.

Q40. Montrer que pour toutn∈N^∗, on a :











pn,0 = p·p_n−1,0 + p·p_n−1,2 p_n,1 = q·p_n−1,0 + q·p_n−1,1 p_n,2 = p·p_n−1,1

pn,3 = q·p_n−1,2

Soitt∈[−1,1]. On note S(t)la matrice colonne suivante :S(t) =







 S₀(t) S1(t) S2(t) S₃(t)







 .

Q41. Montrer que











S0(t) = tp·S0(t) + tp·S2(t) + 1 S1(t) = tq·S0(t) + tq·S1(t) S₂(t) = tp·S₁(t)

S3(t) = tq·S2(t)

.

Q42. Montrer que la matrice colonneS(t)est solution de l’équation(Et)définie en partie IV.

Q43. Montrer que∀t∈]−R_T, R_T[, G_T(t) = pq²t³

−p²qt³+pqt²−t+ 1 et montrer queR_T >1.

Q44. Montrer queT admet une espérance et une variance.

Q45. Donner l’expression deE(T)en fonction deqseulement.

Q46. Proposer une méthode permettant de déterminer le temps d’attente moyen de la première réalisation par l’auto- mate de la séquence CCPPC : on précisera notamment le schéma des six niveaux correspondants et la matrice analogue àAque l’on peut faire intervenir dans ce problème.

PROBLÈME 2 — SUJET CORSÉ

Toutes les variables aléatoires mentionnées dans ce sujet sont supposées discrètes.

La partie I est composée de trois sous-parties mutuellement indépendantes A, B, C, toutes trois utilisées dans la partieII.

Notations et rappels

Soient X une variable aléatoire discrète réelle et (X_n)_n≥1 une suite de variables aléatoires réelles, mutuellement indépendantes, définies sur un même espace probabilisé(Ω,A, P), suivant toutes la loi deX. On poseS0= 0et, pour ndansN^∗,

Sn =

n

X

k=1

Xk.

Si Y est une variable aléatoire réelle admettant un moment d’ordre1, on noteE(Y)l’espérance deY. Si Y est une variable aléatoire réelle admettant un moment d’ordre2, on noteV(Y)la variance de Y. Si Y est une variable aléatoire à valeurs dansR+, on abrège «Y est d’espérance finie » en «E(Y)<+∞».

Si τ est un élément deR^∗+, on dit queX vérifie(Cτ)siE e^τ|X|

<+∞.

On pourra utiliser la propriété suivante :

(P) pourZ et Y variables aléatoires réelles telles que0≤Y ≤Z, E(Z)<+∞ =⇒ E(Y)<+∞

Étant données deux variables aléatoires Y et Z définies sur(Ω,A, P), on dit que Y est presque sûrement égale àZ lorsqueP(Y =Z) = 1.

On rappelle le résultat suivant (lemme des coalitions) : soit (Yn)_n∈N^∗ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes. Soient A et B deux sous-ensembles de N^∗ disjoints. Alors toute variable aléatoire fonction des Yn, n∈A est indépendante de toute variable aléatoire fonction desY_n,n∈B.

I – Premiers résultats

I.A – Une classe de variables aléatoires

I.A.1) SoientU etV deux variables aléatoires sur(Ω,A, P)possédant un moment d’ordre2et telles queV n’est pas presque sûrement nulle. Montrer queE(U²)E(V²)−E(U V)²≥0et que E(U²)E(V²)−E(U V)²= 0 si et seulement s’il existeλ∈Rtel que λV +U est presque sûrement nulle.

I.A.2)

a) On suppose queX est bornée. Justifier queX vérifie(C_τ)pour toutτ dansR^∗+. b) On suppose queX suit la loi géométrique de paramètrep∈]0,1[:

∀k∈N^∗, P(X =k) = p(1−p)^k−1.

Quels sont les réels ttels queE(e^tX)<+∞? Pour cest, donner une expression simple deE(e^tX).

c) On suppose queX suit la loi de Poisson de paramètreλ:

∀k∈N, P(X=k) = e^−λλ^k

k! où λ∈R^∗+.

Quels sont les réels ttels queE(e^tX)<+∞? Pour cest, donner une expression simple deE(e^tX).

I.A.3) Soient aet bdeux réels tels quea < b. On supposeE(e^aX)<+∞et E(e^bX)<+∞.

a) Montrer ∀t∈[a, b], e^tX ≤e^aX+e^bX. En déduireE(e^tX)<+∞.

Que peut-on en déduire sur l’ensemble{t∈R;E(e^tX)<+∞}?

b) SoientkdansN,tdans]a, b[. On note θk,t,a,bla fonctiony∈R7−→ y^ke^ty e^ay+e^by.

Déterminer les limites deθk,t,a,ben+∞et −∞. Montrer que cette fonction est bornée sur R. c) Montrer queE(|X|^ke^tX)<+∞.

d) On reprend les notations de la questionb). SoientkdansN,c etddeux réels tels quea < c < d < b. Montrer qu’il existeM_k,a,b,c,d∈R+ tel que pour toutt∈[c, d]et pour touty∈R:|θ_k,t,a,b(y)| ≤M_k,a,b,c,d.

I.A.4) Dans cette question, τ est un élément deR^∗+et X vérifie(Cτ).

a) Montrer que l’ensemble des réelst tels queE(e^tX)<+∞est un intervalleI contenant[−τ, τ].

Pourt dansI, on noteϕ_X(t) =E(e^tX).

b) Montrer que siX(Ω) est fini,ϕ_X est continue surI et de classeC^∞sur l’intérieur deI.

c) On suppose maintenant queX(Ω)est un ensemble infini dénombrable. On noteX(Ω) ={xn;n∈N^∗}où(xn)_n∈N^∗ est une suite de réels deux à deux distincts et on pose pour toutn∈N^∗,pn=P(X=xn).

En utilisant les résultats établis à la I.A.3) et deux théorèmes relatifs aux séries de fonctions que l’on énoncera complètement, montrer queϕX est continue surI et de classeC^∞sur l’intérieur deI.

d) Vérifier que pourtdans l’intérieur de I etkdansN,ϕ^(k)_X (t) =E(X^ke^tX).

e) SoitψX =ϕ⁰_X ϕ_X.

Montrer queψXest croissante surIet que, siX n’est pas presque sûrement égale à une constante,ψX est strictement croissante surI.

I.B – Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On suppose queX admet un moment d’ordre2.

I.B.1) Soitδ un élément deR^∗+. Montrer que, pourndansN^∗,

P(|Sn−nE(X)| ≥nδ) ≤ V(X) nδ² .

I.B.2) Siuetv sont deux nombres réels tels queu < E(X)< v, déterminer la limite de la suite(π_n)_n∈N^∗ définie par

∀n∈N^∗, πn = P(nu≤Sn≤nv).

I.C – Suites sur-additives

Soit(u_n)_n≥0 une suite réelle telle que : ∀(m, n)∈N², u_m+n≥u_m+u_n. On suppose que l’ensemblenun

n , n∈N^∗ o

est majoré et on notessa borne supérieure.

I.C.1) Soient m,qetrdes éléments deN. On posen=mq+r. Comparer les deux nombres réelsun etqum+uret montrer queun−ns≥q(um−ms) +ur−rs.

I.C.2) On fixemdansN^∗ etεdansR^∗+. En utilisant la division euclidienne denparm, montrer qu’il existe un entier N tel que pour toutn > N,

un

n ≥ um

m −ε.

I.C.3) Montrer lim

n→∞

un

n =s.

II – Le théorème des grandes déviations

Soitaun nombre réel.

II.A – Exposant des grandes déviations

II.A.1) Montrer P(X ≥a) = 0 ⇐⇒ ∀n∈N^∗, P(Sn≥na) = 0.

II.A.2) Soient metndansN.

a) Montrer queSm+n−Smet Sn ont même loi.

b) Soitb un nombre réel. MontrerP(Sm+n≥(n+m)b)≥P(Sn≥nb)P(Sm≥mb).

On suppose dans toute la suite du problèmeP(X ≥a)>0.

II.A.3) Montrer que la suite

ln(P(S_n≥na)) n

n≥1

est bien définie et admet une limiteγ_a négative ou nulle vérifiant

∀n∈N^∗, P(Sn≥na) ≤ e^nγa.

Dans toute la suite du problème, on suppose que X vérifie(C_τ)pour un certainτ >0et n’est pas presque sûrement constante. On suppose également queaest strictement supérieur àE(X).

On se propose d’établir queγa <0 (ce qui montre que la suite (P(Sn ≥na))_n≥1 converge géométriquement vers0) puis de déterminerγa.

II.B – Majoration des grandes déviations

L’intervalleI et la fonctionϕX sont définis comme dans la questionI.A.4).

II.B.1) Montrer que, pourndansN^∗ ettdansI∩R⁺ E e^tSn

= (ϕ_X(t))ⁿ, P(S_n≥na) ≤ ϕX(t)ⁿ e^nta .

II.B.2) On définit la fonctionχ:

I → R

t 7→ ln(ϕ_X(t))−ta a) Montrer que la fonction χest minorée surI∩R+. On noteηa la borne inférieure deχ surI∩R+.

b) Donner un équivalent deχ(t)lorsque ttend vers0. En déduireη_a <0.

c) Montrer∀n∈N^∗, P(Sn≥na)≤e^nηa. En déduire que γa <0.

d) Dans chacun des deux cas suivants, déterminer l’ensemble des nombres réelsavérifiant les conditionsP(X ≥a)>0 et a > E(X); puis, pouravérifiant ces conditions, calculerη_a.

— X suit la loi de BernoulliB(p)avec0< p <1.

— X suit la loi de Poisson P(λ)avecλ >0.

II.C – Le théorème de Cramer

On suppose ici que la borne inférieure ηa de la fonctionχ surI∩R+ est atteinte en un pointσintérieur àI∩R+. Soientt un nombre réel intérieur àI et tel quet > σ,bun nombre réel tel queb > ϕ⁰_X(t)

ϕX(t). II.C.1)

a) Calculer X

x∈X(Ω)

e^tx

E(e^tX)P(X=x).

On admet alors (quitte à modifier(Ω,A, P))

— qu’il existe une variable aléatoireX⁰sur(Ω,A)telle queX⁰(Ω) =X(Ω)et dont la loi de probabilité est donnée par

∀x∈X(Ω), P(X⁰=x) = e^tx

E(e^tX)P(X =x);

— qu’il existe une suite(X_n⁰)n∈N^∗de variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur(Ω,A, P)suivant toutes la même loi queX⁰.

b) Montrer

E(X⁰) = ϕ⁰_X(t)

ϕX(t), E(X⁰)> a.

II.C.2) On admet que, sindansN^∗ et sif est une application deX(Ω)ⁿ dansR+, on a E f(X₁⁰, . . . , X_n⁰)

= E f(X1, . . . , Xn)e^tSn ϕ_X(t)ⁿ .

a) Pour ndansN^∗, on poseS_n⁰ =

n

X

k=1

X_k⁰. MontrerP(na≤S_n⁰ ≤nb)≤P(Sn≥na) e^ntb ϕX(t)ⁿ. On pourra introduire l’applicationf :X(Ω)ⁿ→Rdéfinie par(x1, . . . , xn)7→

1 sina≤Pn

i=1xi≤nb

0 sinon

b) En utilisant les questionsI.B.2),II.B.2)c)et le a)ci-dessus, montrer finalement queη_a =γ_a. II.C.3) Dans cette question on pourra utiliser les résultats duII.B.2)d).

a) Soitαdans]0,1/2[. Pour ndansN^∗, on pose An = n

k∈ {0, . . . , n}, k−n

2 ≥αno

, Un = X

k∈An

n k

.

Déterminer la limite de la suite Un^1/n

n≥1.

b) SoitλdansR^∗+,αdans]λ,+∞[. PourndansN^∗, on pose T_n = X

k∈N k≥αn

n^kλ^k k! .

Déterminer la limite de la suite Tn^1/n

n≥1.

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 9 — éléments de correction

PROBLÈME 1 — SUJET CLASSIQUE

d’après CCP 2017 PC Maths

Partie I – Étude d’un cas simple

Q1. La variable aléatoireY donne le rang du premier succès dans une suite d’expériences de Bernoulli indépendantes et toutes de même loi : cette variable aléatoire Y suit donc une loi géométrique de paramètre q (la probabilité de générerC) : Y ,→ G(q)et P(Y =n) =pⁿ⁻¹qpour toutn∈N^∗ .

Q2. La série génératrice deY est doncXq

p(pt)ⁿ. Son rayon de convergence est 1

p car elle converge absolument si

|pt|<1soit |t|<1

p, et diverge grossièrement si|t|> 1

p. Sa vaut G_Y(t) =q p

+∞

X

n=1

(pt)ⁿ= q p

pt 1−pt .

Q3. En tant que somme de série entière, on sait queGY est de classeC^∞ sur ]−R, R[, les dérivées se calculant en dérivant terme à terme. CommeRY >1: GY est deux fois dérivable en1 . De plus

∀t∈]−1/p,1/p[, G⁰_Y(t) = q(1−pt) +qtp

(1−pt)² = q

(1−pt)², G⁰⁰_Y(t) = 2pq (1−pt)³,

d’où G⁰_Y(1) = 1

q et G⁰⁰_Y(1) = 2p q² .

Q4. Redémontrons le lien entre l’espérance (puis la variance) et les dérivées deG_Y en1 : G⁰_Y(1) =

+∞

X

n=1

nP(X=n) = E(Y),

G⁰⁰(Y) =

+∞

X

n=2

n(n−1)P(X =n) = E(Y(Y −1)) = E(Y²)−E(Y) = Var(Y) + (E(Y))²−E(Y).

Par conséquent E(Y) =G⁰_Y(1) = 1

q etVar(Y) =G⁰⁰_Y(1) +G_Y⁰ (1)−G⁰_Y(1)²= p q² .

Partie II – Séries entières

Q5. La série entière X

n

−1 a

z a

n

est géométrique. Elle converge absolument si z a

< 1 soit |z| < |a|, et diverge grossièrement si|z|>|a|. Ainsi le rayon de convergence de la série entièreX

− 1 aⁿ⁺¹

zⁿ vaut|a| . Q6. Pour|z|<|a|, il vient :

+∞

X

n=0

− 1 aⁿ⁺¹

zⁿ = −1 a

+∞

X

n=0

z a

n

= −1 a· 1

1−^z_a,

soit encore, comme annoncé : pour|z|<|a|,

+∞

X

n=0

− 1 aⁿ⁺¹

zⁿ= 1 z−a .

Q7. Tout repose sur la sommation des termes d’une suite géométrique de raison b a 6= 1: v_n =

n

X

k=0

1

a^k+1 · 1

b^n+1−k = 1 abⁿ⁺¹

n

X

k=0

b a

^k

= 1

abⁿ⁺¹ ·1− ^b_aⁿ⁺¹ 1−_a^b .

Finalement comme attendu vn = 1 b−a

1

aⁿ⁺¹ − 1 bⁿ⁺¹

.

Q8. On a|a|<|b|, donc 1

|a| > 1

|b|, puis 1

b ⁿ⁺¹

=o 1

a ⁿ⁺¹!

. Il s’ensuit que vn

n→+∞∼ 1 (b−a)aⁿ⁺¹ . Q9. Pour r > 0, la suite (v_nrⁿ)_n est bornée si et seulement si

1

a(b−a)·r a

ⁿ

l’est, c’est-à-dire r≤ |a|. On en déduit que le rayon de convergence de X

vnzⁿ vaut|a| . Pour |z|<|a| les sériesX

un(a)zⁿ et X

vn(a)zⁿ sont absolument convergentes, donc leur produit de Cauchy également, la somme du produit étant égal au produit des sommes des deux séries :

pour |z|<|a|,

+∞

X

n=0

vnzⁿ= 1

(z−a)(z−b) .

Q10. Pourt∈]−a, a[, il vientf(t) =

+∞

X

n=0

v_ntⁿ⁺²=

+∞

X

k=2

v_k−2t^k : il s’agit bien d’un développement en série entière. Par ailleurs le rayon de convergence de la série associée est le même que celui deX

vnzⁿ. Q11. On note que g(t) = f(t)· 1

t−c, et les arguments vus à la question Q9 (produit de Cauchy de deux séries de rayon supérieur à|a|) nous permettraient de montrer de la même façon :

g est développable en série entière au voisinage de0, avec un rayon de convergence supérieur à|a|.

Partie III – Étude d’un cas intermédiaire

Q12. Bien entendu p₁= 0 . Ensuite par indépendancep₂=P(C₁∩C₂) =P(C₁)P(C₂)d’où p₂=q² . Enfin, la seule possibilité pour avoirZ = 3étant que les trois premières lettres soientP CC, il vient toujours par indépendance

p3=P(P1∩C2∩C3) =P(P1)P(C2)P(C3) =pq² .

Q13. D’une part(P₁, C₁)est un système complet d’événements. D’autre partC₁ = (C₁∩P₂)t(C₁∩C₂), la réunion étant disjointe. Ainsi (P1, C1∩P2, C1∩C2)est un système complet d’événements .

Q14. Soitn≥3. La formule des probabilités totales (pour le système complet d’événements précédent) nous donne : p_n = P(Z =n) = P_P1(Z=n)P(P₁) +P_C1P2(Z=n)P(C₁P₂) +P_C1C2(Z=n)P(C₁C₂).

Si les deux premières lettres sontC1C2, alorsZ = 2doncZ6=npuisPC₁C₂(Z=n) = 0. Si maintenant la première lettre estP1, alors l’automate est dans l’état zéro, donc la probabilité pour quen−1lettres plus tard il soit dans l’état2vautP(Z=n−1): ainsiP_P1(Z=n) =P(Z =n−1) =p_n−1. De mêmeP_C1P2(Z=n) =P(Z=n−2): si après 2 lettres on est dans l’état 0, alors la probabilité de se retrouver dans l’état 2 après les n−2 lettres suivantes estP(Z=n−2) =p_n−2).

EnfinP(P1) =pet par indépendanceP(C1P2) =P(C1)P(P2) =pq.

Finalement pour toutn≥3, p_n=p p_n−1+pq p_n−2.

Q15. On fixet∈[−1,1]et on multiplie la relation précédente partⁿ, puis on somme pourn∈[3,+∞[ : les séries en jeu sont toutes absolument convergentes (les termes généraux sont positifs et majorés parp_n=P(Z =n), terme général d’une série absolument convergente). On obtient ainsi :

+∞

X

n=3

pntⁿ = pt

+∞

X

n=3

p_n−1tⁿ⁻¹+t²pq

+∞

X

n=3

p_n−2tⁿ⁻². (R)

Par décalages d’indices :

+∞

X

n=3

p_n−1tⁿ⁻¹ =

+∞

X

i=2

p_itⁱ = G_Z(t)−(p₀+p₁t) = G_Z(t)

et

+∞

X

n=3

p_n−2tⁿ⁻² =G_Z(t). Puisque le membre de gauche de (R) vautG_Z(t)−p₂t² = G_Z(t)−q²t², on obtient GZ(t)−q²t²= (pt+pqt²)GZ(t)soit encore GZ(t)(1−pt−pqt²) =q²t² pour toutt∈[−1,1].

Q16. Sans détour :

Q(−1) = 1 +p−pq = 1 +p−p(1−p) = 1 +p² et Q(1) = 1−p−pq = q−pq = q(1−p) = q² . Q17. Le polynômeQ(X) = 1−pX−pqX²est de degré2, de coefficient dominant−pqet possède deux racines distinctes

aetb : on peut donc le factoriser sous la formeQ(X) =−pq(X−a)(X−b). Ainsi : pour toutt∈R, Q(t) =−pq(t−a)(t−b).

Q18. L’applicationQvérifieQ(−1) = 1>0etQ(t)^t→−∞−→ −∞et est continue, ainsi d’après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires elle possède une racine dans ]− ∞,−1[. Grâce au même raisonnement, elle possède également une racine dans]1,+∞[. Par ailleurs, les deux racines deQ sontaet b avecb < a, donc :b <−1 <

0<1< a. Par ailleurs :

|b| = −b =

√

∆ +p 2pq >

√

∆−p

2pq = a = |a|>1, et finalement 1<|a|<|b|.

Q19. D’après les questions précédentes : f(t) = −^q_pt²

(t−a)(t−b). La questionQ10s’applique avecλ=−q

p (la condition

|a|<|b|étant bien vérifiée). Il s’ensuit que f est développable en série entière, de série entière associéeG_Z et de plus avec un rayon de convergenceR_Z =|a| .

Q20. Attention, question délicate ! Dans les questions précédentes, nous avons prouvé que la relationGZ(t) = q²t 1−pt−pqt² est valable pour t ∈]1,1[. Il s’agit maintenant de l’étendre à ]− |a|,|a|[. Or avece les notations de la seconde partie nous avons :

∀t∈]−1,1[,

+∞

X

n=0

p_ntⁿ =

+∞

X

n=0

v_ntⁿ

doncpar unicité du développement en série entière: pour toutn∈N,p_n=v_n. Par conséquent la relation s’étend alors bien à]− |a|,|a|[et on a pour toutt∈]− |a|,|a|[, GZ(t) = q²t²

1−pt−pqt² .

Q21. Une somme de série entière de rayon de convergence R >0 est de classeC^∞ sur]−R, R[. Or iciRZ =|a|>1, donc la fonctionGZ est deux fois dérivable en1, et d’après le cours Z possède une espérance et une variance . Il reste à calculerE(Z) =G⁰_Z(1):

∀t∈]−R_Z, R_Z[, G⁰_Z(t) = 2tq²(1−pt−pqt²) +q²t²(p+ 2pqt) (1−pt−pqt²)² .

Pour évaluer en1 on note que1−p−pq=q², d’où : E(Z) = 2 + p

q² + 2p

q = 2 +1−q

q² + 21−q q .

Finalement, comme demandé : E(Z) = 1 q² +1

q . Q22. Il s’agit d’établir 1

q+ 1

q² ≥1 + p

q², soit encoreq+ 1≥q²+p=q²+ 1−q, ou encoreq²≤2q, c’est-à-direq≤2.

Cette dernière inégalité est vérifiée, et on a travaillé par équivalence (de l’importance du choix des mots quand on rédige. . . ), ce qui prouve l’inégalité demandée : E(Z)≥E(Y) + 1.

Q23. La première occurrence de CC est évidemmentstrictementprécédée par la première occurrence de C, donc on a toujoursZ≥Y + 1. Par croissance de l’espérance : E(Z)≥1 +E(Y). Le résultat était donc prévisible !

Partie IV – Algèbre linéaire

Q24. Il est clair qu’avec les notations usuellesu(e₄) = 0, ou encore en notantX₀ =







 0 0 0 1









, on a AX₀ = 0 = 0·X₀.

CommeX06= 0, ceci prouve que 0 est valeur propre deA, un vecteur propre associé étant







 0 0 0 1







 .

Q25. Soit t ∈ R. On calcule χ_A(t) en développant par rapport à la dernière colonne puis le déterminant 3×3 par rapport à la première colonne (par exemple) :

χA(t) = t

t−p 0 −p

−q t−q 0

0 −p t

= t

(t−p)(t−q)t+q(−(−p)(−p))

= t



t³−(p+q)

| {z }

1

t²+pqt−qp²



,

ou encore : pour toutt∈R, χA(t) =t⁴−t³+ pq

|{z}

α

t²−qp²

| {z }

β

t+ 0

|{z}

γ

.

Q26. Sans détour : S est solution de(Et) si et seulement siA−tAS=L, c’est-à-dire (I−tA)S=L.

Q27. On rappelle que lorsque λ∈K et M ∈ Mn(K), la linéarité du déterminant par rapport à chacune de ses colonnesimplique : det(λM) =λⁿdet(M). Ici pourt6= 0 :

ψA(t) = det(I4−tA) = det

t 1

tI4−A

= t⁴det 1

tI4−A

c’est-à-dire ψ_A(t) =t⁴χ_A 1

t

.

Q28. D’après ce qui précède et la questionQ25, il vient :

∀t6= 0, ψA(t) = t⁴ 1

t⁴ − 1 t³ +pq1

t² −p²q1 t

= 1−t+pqt²−p²qt³.

Enfin pourt= 0,ψ_A(0) = det(I₄)est bien égal à1 donc le résultat reste vrai.

Ainsi pour toutt∈R, ψA(t) =−p²qt³+pqt−t+ 1.

Q29. Puisque la fonctionψA est continue et non nulle en0 :

il existe un voisinage de0sur lequelψA ne s’annule pas .

Sur ce voisinage la matriceI4−tAest alors inversible, si bien que l’équation(Et), qui est équivalente à(I4−tA)S= L, possède une unique solution (à savoir(I₄−tA)⁻¹L). Ceci achève de démontrer que

pourtau voisinage de0, l’équation (Et)possède une unique solution .

Q30. Sachant que lesUksont des colonnes et lesSkdes scalaires, le calcul par bloc de(I4−tA)Sdonne immédiatement :

(I4−tA)S = U₁|U₂|U₃|U₄







 S0

S₁ S2

S3









= S0U1+· · ·+S3U4.

Mais par ailleurs on a supposé(I₄−tA)S =L. Ainsi L=S₀U₁+· · ·+S₃U₄ . Q31. Le caractère multilinéaire puis alterné du déterminant nous assure que :

detB (U1, U2, U3, L) = S0det

B (U1, U2, U3,U1)

| {z }

0

+· · ·+S2det

B (U1, U2,U3,U3)

| {z }

0

+S3det

B (U1, U2, U3, U4).

Ainsi : det_B(U1, U2, U3, L) =S3det(U1, U2, U3, U4) =S3det(I4−tA) =S3ψA(t). Q32. Au voisinage de 0, on a ψA(t)6= 0puis S3 = detB(U1, U2, U3, L)

ψA(t) . Or le déterminant au numérateur se calcule très simplement en développant par rapport à la dernière colonne :

detB (U1, U2, U3, L) =

1−pt 0 −pt 1

−qt 1−qt 0 0

0 −pt 1 0

0 0 −qt 0

= −

−qt 1−qt 0

0 −pt 1

0 0 −qt

= pq²t³.

Enfin d’après l’expression deψ_A(t), on peut conclure : au voisinage de0, S₃= pq²t³

−p²qt³+pqt²−t+ 1 . Q33. On se souvient que le déterminant d’une matrice est celui de sa transposée, ou encore que le rang d’une matrice

est également celui de sa transposée. Par conséquentA−αI₄est inversible si et seulement si^tA−α^tI₄=^tA−αI l’est. Par conséquent Aet ^tAont le même spectre .

En particulier : siλest valeur propre de A, alorsλest valeur propre de ^tA .

Q34. D’après la question précédente, il existeX =







 x1

x2

x3

x₄









non nultel que^tAX=λX, c’est-à-dire :











px₁ + qx₂ = λx₁

qx2 + px3 = λx2

px1 + qx4 = λx3

0 = λx4

Puisque λ 6= 0, la dernière équation fournit x₄ = 0, donc x₁, x₂ et x₃ ne sont pas tous nuls. Par ailleurs la troisième équation devientpx1=λx3. On en déduit que Le système(H)possède une solution non nulle . Q35. Procédons par examen de cas :

(a) Dans le cas oùM =|x3|>0, la troisième équation fournitλ=px1

x₃ donc|λ|=p|x1|

|x3|. Puisque 0< p <1et

|x1|

|x₃| ≤1, on obtient bien |λ|<1.

(b) Dans le second cas, on regarde la deuxième équation. Par inégalité triangulaire :

|λ| |x₂| ≤ q|x₂|+p|x₃| donc|λ| ≤q+p|x₃|

|x2|. Mais |x₃|

|x2| <1etp >0(point crucial pour maintenir l’inégalité stricte) d’oùp|x₃|

|x2| < p puis |λ|< p+q= 1.

(c) Le dernier cas se traite de la même façon, en s’intéressant à la première équation de(H). Nous avons encore une fois |λ|<1 .

Q36. Le polynômeχ_A est de degré 4, unitaire, et possède 0 comme racine. Il est scindé surCet se factorise sous la formeX(X−α1)(X−α2)(X−α3), aveca priori lesαi pouvant être égaux entre eux, éventuellement nuls.

D’après la questionQ25où l’expression deχAest établie, le polynômeχApossède0comme racine simple (terme constant nul mais terme de degré1 non nul). Ainsi lesαi sont tous non nuls. Il reste à les réordonner pour que les modules soient croissants. Enfin la question précédente nous assure que ces modules sont tous strictement inférieurs à1.

Finalement

il existe(λ1, λ2, λ3)∈C³ tel que0<|λ1| ≤ |λ2| ≤ |λ3|<1et ∀t∈R, χA(t) =t(t−λ1)(t−λ2)(t−λ3). Q37. On a, pourt6= 0:

ψA(t) = t⁴χA

1 t

= t⁴1 t

1 t −λ1

1 t −λ2

1 t −λ3

= t(1−λ1t)(1−λ2t)(1−λ3t)

= −λ1λ2λ3t

t− 1 λ1

t− 1 λ2

t− 1 λ3

.

Puisque 0 < |λ1| ≤ |λ2| ≤ |λ3| < 1, il vient 1 <

1 λ₃

≤

1 λ₂

≤

1 λ₁

. Ceci nous incite à poser a= 1 λ₃ , b= 1

λ2

, c= 1 λ1

et µ=−λ1λ2λ3=−p²q6= 0. Ces quatre nombres complexes nous donnent comme prévu ψ_A(t) =µ(t−a)(t−b)(t−c)sit6= 0. Il reste à noter que la relation prouvée pourt6= 0 reste valable sit= 0 : les deux membres sont alors égaux à1.

Partie V – Étude d’un dernier cas

Q38. L’expérience est schématisée comme suit :

0 C 1 P 2 C 3

P

P C

Q39. Bien entendu : S₀(0) =







 p0,0

p0,1

p_0,2 p_0,3









=







 1 0 0 0







 .

Q40. Nous ne détaillons que la première équation, les autres étant de même nature. Le principe est le même qu’à laQ14: on conditionne l’événementE_n,0selon le système complet d’événements(E_n−1,0, E_n−1,1, E_n−1,2, E_n−1,3), sachant que la modélisation du problème nous donne les probabilités conditionnellesP_En−1,i(E_n,0). Celles-ci sont données par les flèches entrantes dans l’état0:

P(En,0)

= P(E_n−1,0)

| {z }

pn−1,0

PEn−1,0(En,0)

| {z }

p

+P(E_n−1,1)

| {z }

pn−1,1

PEn−1,1(En,0)

| {z }

0

+P(E_n−1,2)

| {z }

pn−1,2

PEn−1,2(En,0)

| {z }

p

+P(E_n−1,3)

| {z }

pn−1,3

PEn−1,3(En,0)

| {z }

0

,

ce qui nous donne exactement la première équation demandée : p_n,0=p·p_n−1,0+p·p_n−1,2 .

Une lecture attentive du graphe nous donne les autres équations, basées sur le même principe. À faire le jour J, même sommairement !

Q41. Le principe est le même qu’à la questionQ15. On prend la première relation du système précédent. On multiplie par tⁿ, en laissant de coté tp dans les deux termes du membre de droite. Toutes les séries étant absolument convergentes (les coefficients de ces séries entières sont positifs et de somme1), on peut sommerpour nallant de1 à +∞. Le membre de gauche est alorsS₀(t)−p_0,0=S_0,t−1, alors que celui de droite esttpS₁(t) +tpS₂(t), et c’est gagné : S0(t) =tp·S0(t) +tp·S2(t) + 1.

Le même principe fournit les autres équations, qu’il faut vraiment démontrer le jour J.

Q42. En appliquant tA à S, puis en ajoutant le vecteur L, on retrouve le vecteur du membre de droite de la ques- tionQ41. Il s’ensuit quetAS+L=S et donc que S(t)est bien solution de(E_t).

Q43. L’instant T est le premier où l’on atteint le niveau 3, de sorte que la fonction génératriceG_T est égale àS₃. Elle vaut, d’après la questionQ32: S3(t) = pq²t³

−p²qt³+pqt²−t+ 1, pourtau voisinage de0.

Mais le raisonnement effectué en fin de partie II (questionsQ19et Q20) nous assure qu’en fait, la série entière S₃est de rayon de convergence égal au module de la plus petite racine du dénominateur, et que la relation s’étend du voisinage de0 à]−R, R[.

La question Q37 prouve que ces racines sont de module strictement plus grand que 1, ce qui démontre que RT >1. Finalement pour toutt∈]−RT, RT[, GT(t) = pq²t³

−p²qt³+pqt²−t+ 1 .

Q44. Comme pour la questionQ21: la fonctionGT est de classeC^∞sur]−RT, RT[qui contient[−1,1], doncGT est deux fois dérivable en1. Par conséquent T possède une espérance et une variance .

Q45. Après calcul nous trouvons E(T) =G⁰_T(1) = 1 +q−q² q²(1−q) .

Q46. Commençons par construire l’automate associé à la recherche de ce motif. C’est la même chose que pour la questionQ18: quel est le plus gros préfixe de CCPPC que l’on vient de rencontrer ? Si c’est par exemple CCP, on aimerait lire P (le plus gros préfixe devient CCPC, on passe à l’état 4) ; mais si c’est C, alors on vient de lire CCPC : le plus gros préfixe de CCPPC en cours est C et on passe dans l’état 1.

0 1 2 3 4 5

C

C P P C

P C

P

C P

La matrice associée à cet automate se construit en plaçant, en position(i, j), la probabilité de passer de l’étatj à l’étati(oui, dans ce sens, sans oublier que les numérotations partent de0) :

A =



















p p 0 0 p 0 q 0 0 q 0 0 0 q q 0 0 0 0 0 p 0 0 0 0 0 0 p 0 0 0 0 0 0 q 0

















 .

On cherche l’espérance deS5. Cette série entière est égale à une fraction rationnelle avecp²q³t⁵ au numérateur (on le lit sous la diagonale, cf. questionQ32) etψA(t) =t⁶χA

1 t

au dénominateur.

Un logiciel de calcul formel (Maple ou Mathematica) nous donnent l’expression deS5(t), puis sa dérivée et enfin l’espérance deT : E(T) = 1 +q²(1−q)²

q³(1−q)² . Remarque historique.

Un brin d’ADN peut être vu comme un mot (sur un alphabet à 4 lettres) de longueur de l’ordre de quelques centaines de millions (ou moins, ou plus !). Les recherches de propriétés de ce mot sont très consommatrices « d’algorithmes du texte » (un peu plus élaborés que la simple recherche d’un motif, mais qui restent souvent de nature proche).

L’automate associé à un motif donné m permet de parcourir un grand texte (disons de taille n) et repérer les occurrences demsans revenir en arrière (ce qu’on ferait avec un algorithme naïf ). Le temps de recherche du motifm passe alors den|m|àn, ce qui est une amélioration considérable, surtout sima une longueur de l’ordre de n(ce qui arrive dans la vraie vie).

Mais tout ceci nécessite d’avoir construit l’automate préalablement. . . L’algorithme naïf (chercher le plus gros suffixe qui soit un préfixe) est de complexité|m|³, ce qui est rédhibitoire sim contient de l’ordre du milliard (ou même seule- ment du million) de caractères. En 1970, Knuth, Morris et Pratt ont conçu un algorithme très rusé pour construire cet automate en temps linéaire en|m|. La très belle idée consiste (qui à elle seule constitue un sujet complet d’informatique de l’option !) à construire l’automate en utilisant à la volée ce qui a déjà été construit jusque là.

Sans ces algorithmes efficaces, le séquençage de l’ADN aurait probablement été sans objet !

PROBLÈME 2 — SUJET CORSÉ

d’après Centrale 2017 PSI Maths 1

I – Premiers résultats

I.A – Une classe de variables aléatoires

I.A.1) Il s’agit de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour la prouver, on remarque que E((U +tV)²)≥0 pour toutt.

Par linéarité de l’espérance, on a donc

∀t∈R, t²E(V²) + 2tE(U V) +E(U²) ≥ 0.

CommeV n’est pas presque sûrement nulle, il vientE(V²)>0(puisqueV²≥0) et on a un trinôme du second degré qui reste positif. Son discriminant est donc négatif ou nul et E(U V)²−E(U²)E(V²)≤0. Si on a égalité, alors le trinôme admet une racine et il existettel queE((U+tV)²) = 0. Mais comme(U+tV)²≥0, ceci entraîne queU+tV est presque sûrement nulle.

Réciproquement, s’il existe un teltalors le trinôme admet une racine et le discriminant est nul. Ainsi

E(U V)²=E(U²)E(V²)≤0 si et seulement si il existet∈Rtel que tV +U est presque sûrement nulle . Remarque.on a utilisé à deux reprises le fait que si X ≥0 et E(X) = 0 alorsX est presque sûrement nulle. Ceci découle du fait qu’en notantxi, i∈I les valeurs prises par X, on aE(X) =X

i∈I

xiP(X =xi)qui est une somme de termes positifs et n’est donc nulle que si tous les termes sont nuls ; ce qui entraîneP(X =xi) = 0 pour tous lesitels quex_i 6= 0.

I.A.2)

a) Il existe une constanteM telle queX(Ω)⊂[−M, M]. Soitτ >0; il vient

∀x∈X(Ω), |e^{τ x}P(X =x)| ≤ e^{τ M}P(X=x).

Ceci est le terme général d’une série convergente (de somme e^{τ M}) donc d’après la formule de transfert e^{τ X} est d’espérance finie. Ainsi : siX est bornée alors pour tout τ >0,X vérifie(Cτ).

b) Nous avons

∀k∈N^∗, e^tkP(X =k) = p(1−p)^k−1e^tk = p

1−p((1−p)e^t)^k.

C’est le terme général d’une série géométrique de raison (1−p)e^t qui converge ssi e^t < _1−p¹ (tout est positif) soit t <−ln(1−p). C’est la condition pour queE(e^tX)existe. On sait alors calculer la somme :

∀t <−ln(1−p), E(e^tX) = _1−(1−p)e^pet _t . c) Par hypothèse :

∀k∈N, e^tkP(X =k) = (λe^t)^k k! e^−λ.

C’est pour touttle terme général d’une série exponentielle donc convergente etE(e^tX)<+∞avec

∀t∈R, E(e^tX) = exp(λ(e^t−1)). I.A.3)

a) Sit∈[a, b]alors pourx≥0, on atx≤bxet pourx≤0, on atx≤ax. Dans chaque cas on peut composer parexp qui est croissante. Ainsie^txest majoré soit pare^tasoit pare^tb. Orexpest positive, un majorant commun este^ta+e^tb. On en déduit que

∀t∈[a, b], 0 ≤ e^tX ≤ e^aX+e^bX .

La somme de deux variables ayant une espérance admet une espérance. Avec le résultat rappelé en préambule :

∀t∈[a, b], E(e^tX)<+∞.

L’ensemble{t∈R/ E(e^tX)<+∞} est donc convexe d’où c’est un intervalle deR. b) Nous avonsa < b, d’où

• Au voisinage de+∞,e^ay=o(e^by)et doncθk,t,a,b(y)∼y^ke^(t−b)y. Pourt < b, cette quantité est de limite nulle en+∞.

• Au voisinage de−∞,e^by =o(e^ay)et doncθk,t,a,b(y)∼y^ke^(t−a)y. Pourt > a, cette quantité est de limite nulle en−∞. Par conséquentθk,t,a,best bornée par1sur des voisinages[α,+∞[et]− ∞, β]. Or elle est continue donc aussi bornée par une quantitéM sur le segment[β, α]. Finalement θ_k,t,a,best bien bornée surR.

c) On peut imaginer que l’on travaille encore avect∈]a, b[et k∈N. En notantM un majorant de|θk,t,a,b|surR, il vient

0 ≤ |X|^ke^tX ≤ M(e^aX+e^bX).

Le majorant étant d’espérance finie, il en va de même de|X|^ke^tX par le résultat du préambule . d) NotonsΦ : (y, t)∈R×[c, d]7→θ_k,t,a,b(y). Nous avons :

∀y∈R, ∀t∈[c, d], |Φ(y, t)| ≤ |y|^ke^cy+e^dy e^ay+e^by.

De même qu’enb), le majorant est de limite nulle quandy tend vers ±∞. Il est donc plus petit que1 sur une partie R\]α, β[:

∀t∈[c, d], ∀y /∈[α, β], |Φ(y, t)| ≤ 1.

Par ailleursΦest continue sur le compact[α, β]×[c, d]et donc bornée par une constanteKsur ce compact. La fonction Φest alors bornée parmax(K,1) sur son domaine :

∃Mk,a,b,c,d /∀t∈[c, d], ∀y∈R, |θk,t,a,b(y)| ≤ Mk,a,b,c,d .

I.A.4)

a) On sait déjà, depuisI.A.3)a), que I est un intervalle . Or d’une part pour tout t∈[−τ, τ], 0 ≤e^tX ≤e^τ|X| et d’autre partE(e^τ|X|)<+∞. Le résultat admis en préambule indique alors que [−τ, τ]⊂I .

b) Supposons X(Ω) fini. Les variables aléatoires X et e^tX prenant un nombre fini de valeurs, elles admettent des espérances et I=R. Notons x₁, . . . , x_n les valeurs deux à deux distinctes prises par X. D’après la formule de transfert, nous avons

∀t∈∈R, ϕX(t) =

n

X

k=1

e^txkP(X =xk).

Il s’ensuit que ϕX ∈C^∞(R), en tant que combinaison linéaire de telles fonctions.

c) SupposonsX(Ω)infini dénombrable. On a cette fois

∀t∈I, ϕX(t) =

∞

X

n=1

e^txnpn.

Posonsfn:I→R,t7→pne^txnet appliquons le théorème de continuité puis celui de dérivabilité des séries de fonctions :

• Pour toutn,fn est continue surI.