PROBLÈME 1 — SUJET CLASSIQUE

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 5

du jeudi 13 décembre Durée : 4 heures Calculatrice autorisée

Instructions générales : Les candidats sont priés

• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien9 pages ;

• de ne traiter que le sujet qui leur est destiné :

? classique, composé du problème1;

? corsé, composé du problème2.

Merci d’indiquer clairement sur la première page de la première copie si vous traitez le sujet classique ou le sujet corsé.

Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies mal rédigées ou mal présentées le sont aux risques et périls du candidat !

Remarque importante :

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Bon courage !

PROBLÈME 1 — SUJET CLASSIQUE

Notations.

On note :

• N: l’ensemble des entiers naturels,

• R: l’ensemble des nombres réels,

• e: le nombre réel dont le logarithme népérien est égal1.

Pourxappartenant àR, on note|x|la valeur absolue de x.

Pour tout entier naturel, on noten!la factorielle de navec la convention 0! = 1.

Si j etnsont deux entiers naturels fixes tels que0≤j≤n, on note :

• [[j, n]]l’ensemble des naturels kvérifiantj≤k≤n,

• ⁿ_j

le nombre de parties ayantj éléments d’un ensemble denéléments.

On rappelle que pour tout entier naturelj élément de[|0, n|] on a : n

j

= n!

j!(n−j)!.

Sif est une fonctionkfois dérivable sur un intervalleI (aveck≥1) on notef⁰ (resp.f^(k)) sa fonction dérivée (resp.

sa fonction dérivéek-ième).

Si uest une application de N dansR, donc une suite réelle, on utilise la notation usuelle : u(n) = u_n pour toutn appartenant àN.

Soitxun nombre réel, on rappelle que s’il existe un nombre entierpqui vérifie|p−x|< ¹₂ alorspest l’entier le plus proche dex.

Objectifs.

L’objet du problème est d’une part d’établir, pour tout entier naturel non nul, un lien entre l’entier naturelβ_nle plus proche dee⁻¹n!et le nombreγ_n d’éléments sans point fixe du groupe symétriqueS_n et d’autre part, d’étudier l’écart δn=e⁻¹n!−βn.

Dans la partie 1 on étudieβn et on le caractérise grâce à une récurrence, dans la partie 2 on étudie γn et on établit un lien avecβ_n. La partie 3 est consacrée à une estimation deδ_n puis à une étude des deux séries X

n≥0

δ_n et X

n≥1

|δ_n| n .

1 Les suites α et β.

On définit la suiteαparα0= 1 et la relation de récurrence :

∀n∈N, α_n+1 = (n+ 1)α_n+ (−1)ⁿ⁺¹.

On rappelle que pour toutxréel, la série X

n≥0

xⁿ

n! est convergente, et que

+∞

X

n=0

xⁿ

n! =e^x; en particulier, pourx=−1:

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n! = e⁻¹.

Pourn∈N, on note : βn=n!

n

X

k=0

(−1)^k

k! etρn=

+∞

X

k=n+1

(−1)^k k! . I.1. Étude de la suite α.

I.1.1 Expliciterαk pour kdans[[0,4]].

I.1.2 Montrer queαn est un entier naturel pour toutndeN.

I.2. Étude de la suite β.

I.2.1 Expliciterβ_k pourk dans[[0,4]].

I.2.2 Montrer queβ_n est un entier relatif pour toutndeN.

I.2.3 Expliciterβn+1−(n+ 1)βn en fonction den, pour tout entierndeN. I.2.4 Comparer les deux suitesαet β.

I.3. Étude deρ_n.

I.3.1 Préciser le signe deρn en fonction de l’entier naturel n.

I.3.2 Établir, pour tout entier natureln, l’inégalité suivante :n!|ρn| ≤ _n+1¹ . L’inégalité est-elle stricte ? I.3.3 Déduire de ce qui précède que pour tout entier natureln≥1, βn est l’entier naturel le plus proche de

e⁻¹n!.

I.4. Étude d’une fonction.

On désigne parf la fonction définie et de classeC¹(au moins) sur l’intervalle]−1,1[à valeurs réelles, vérifiant les deux conditions :

f(0) = 1 et ∀x∈]−1,1[, (1−x)f⁰(x)−xf(x) = 0.

I.4.1 Justifier l’existence et l’unicité de la fonctionf. Expliciterf(x)pour toutxde]−1,1[.

I.4.2 Justifier l’affirmation : «f est de classeC^∞ sur]−1,1[».

I.4.3 Expliciter(1−x)f(x), puis exprimer pour tout entier natureln: (1−x)f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)−(n+ 1)f⁽ⁿ⁾(x)

en fonction denet dex.

I.4.4 En déduire une relation, valable pour tout entier natureln, entreβ_n et f⁽ⁿ⁾(0).

2 La suite γ .

Dans cette partie, on désigne parnun entier naturel.

Pourn≥1, on note :

• Sn l’ensemble des permutations de [[1,n]],

• γ_n le nombre d’éléments deSn sans point fixe (τ appartenant àSn est sans point fixe si pour toutk de [[1,n]], on a τ(k)6=k).

Pourn= 0on adopte la convention :γ0= 1.

II.1. Calculerγ1 etγ2.

II.2. Classer les éléments deS3 selon leur nombre de points fixes et calculerγ3. II.3. On suppose dans cette question quen= 4.

II.3.1 Quel est le nombre d’élémentsτ appartenant àS4ayant deux points fixes ? II.3.2 Quel est le nombre d’élémentsτ appartenant àS4ayant un point fixe ? II.3.3 Calculerγ₄.

II.4. Relation entre lesγ_k.

II.4.1 Rappeler sans justification le nombre d’éléments deSn.

II.4.2 Si0≤k≤n, combien d’éléments deSn ont exactementkpoints fixes ? II.4.3 Établir pour tout entier naturelnla relation :

n

X

k=0

n k

γk =n!.

II.5. On considère la série entièreX

n≥0

γ_n

n!xⁿ et l’on poseg(x) =

+∞

X

n=0

γ_n

n!xⁿ lorsque la série converge.

II.5.1 Montrer que le rayon de convergence de cette série entière est supérieur ou égal à1.

II.5.2 Pour toutxde ]−1,1[, on poseg(x) =e^xg(x). Justifier l’existence du développement en série entière de la fonction hsur]−1,1[et expliciter ce développement.

II.5.3 Expliciterg(x)pour tout nombre réelxde]−1,1[. En déduire la valeur du rayon de convergence de la série X

n≥0

γ_n n!xⁿ.

II.5.4 Comparer les deux suitesβ et γ.

II.5.5 La fonctiong est-elle définie en1? II.5.6 La fonctiong est-elle définie en−1? II.5.7 Calculerγ8.

3 Sur δ

= e

n! − β

.

Pour tout entier natureln, on note : 1. δ_n=e⁻¹n!−β_n.

2. J_n= Z 1

0

xⁿe^xdx.

3. vn= (−1)ⁿ⁺¹Jn. III.1. La série X

n≥0

vn.

III.1.1 Quelle est la limite deJn lorsquentend vers+∞? III.1.2 Établir la convergence de la sérieX

n≥0

v_n. III.2. Estimation intégrale deδn.

III.2.1 Justifier, pour tout nombre réelxet pour tout entier natureln, l’égalité : e^x =

n

X

k=0

x^k k! +

Z x 0

(x−t)ⁿ

n! e^tdt (1)

III.2.2 Déduire de(1)l’expression deδ_n en fonction dev_n. III.3. Sur la série X

n≥0

δ_n.

Justifier la convergence de la sérieX

n≥0

δn; la convergence est-elle absolue ? III.4. Sur la série X

n≥1

|δn| n .

III.4.1 Justifier la convergence de la sérieX

n≥1

|δn| n . III.4.2 On poseA=−

Z 1 0

e^xln(1−x)dx.

III.4.2.1 Hors barème. Justifier la convergence de l’intégrale impropreA.

III.4.2.2 Hors barème. Exprimer la somme

+∞

X

n=1

|δn|

n en fonction de l’intégraleA.

III.4.3 Justifier la convergence de la sérieX

n≥0

(−1)ⁿ n!(n+ 1)². Hors barème.Expliciter la somme

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n!(n+ 1)² en fonction de

+∞

X

n=0

|δn|

n (M. Cochet : dans A, on pourra effectuer le changement de variable u= 1−x).

III.4.4 Expliciter un nombre rationnel p

q vérifiant

+∞

X

n=0

|δ_n| n −p

q

≤ 1 600.

PROBLÈME 2 — SUJET CORSÉ

Dans tout le problème,a= (an)_n∈Ndésigne une suite de complexes etPanzⁿ la série entière associée, dont le rayon de convergenceRa est supposé non nul et fini.

On noteCa l’ensemble des complexeszde moduleRa tels queP

anzⁿ est convergente.

On appelle cercle unité l’ensemble des complexes de module 1 : un complexezappartient au cercle unité si et seulement s’il existe un réelxappartenant à l’intervalleI=]−π, π]tel que z=e^ix.

D’autre part on note :2πZ={2kπ|k∈Z}, et[[p, q]]désigne l’ensemble des entiers naturels kvérifiant :p≤k≤q.

On étudie différentes séries entières pour lesquelles l’ensembleC_a prend différentes formes.

Dans le cas où C_a est un cercle, on propose d’observer différents comportements de la fonction somme de la série entière sur ce cercle.

I - Calculs préliminaires

Les résultats de cette partie sont destinés à préparer les démonstrations des parties suivantes.

I.AMontrer les inégalités :

∀x∈[0, π], 0≤sinx≤x et ∀x∈[0, π/2], sinx≥ 2 πx.

I.BMontrer que pour toutxqui appartient àR\2πZet pour tout couple d’entiers naturels(p, q)tel quep≤q:

q

X

k=p

e^ikx

≤

1 sinx

2

.

I.CSoient(un)n∈N^∗ et (vn)n∈N^∗ deux suites complexes.

On note(V_n)_n∈N^∗ la suite des sommes partielles de la sérieX

n≥1

v_n :

pour toutn∈N^∗, Vn =

n

X

k=1

vk.

I.C.1)Montrer que pour tout couple d’entiers naturels(p, q)tel que1≤p < q−1, on a :

q

X

k=p+1

u_kv_k =

q−1

X

k=p+1

(u_k−u_k+1)V_k+u_qV_q−u_p+1V_p.

I.C.2)On suppose que la suite(Vn)n∈N^∗est bornée, que la suite(un)n∈N^∗converge vers 0, et que la sérieX

k≥1

|uk−uk+1| est convergente.

Montrer que la sérieX

n≥1

u_nv_n est convergente.

I.C.3)On suppose que la suite(V_n)_n∈N^∗ est bornée et que la suite(u_n)_n∈N^∗est décroissante, convergente et de limite nulle.

Montrer que la sérieX

n≥1

unvn est convergente.

I.DDéduire des questions précédentes que pour toutxqui appartient àR\2πZ, les sériesX

k≥1

cos(kx) k etX

k≥1

sin(kx) k sont convergentes.

Que dire pour un réelxqui appartient à 2πZ?

II - Quelques exemples d’ensembles C

On se place dans le cadre des notations de l’introduction.

II.ASoit(b_n)_n∈Ndéfinie pour toutn∈Npar :b_n=a_n(R_a)ⁿ.

Montrer que le rayon de convergence de la série entièrePbnzⁿ estRb= 1et qu’un complexez appartient àCa si et seulement si z

Ra

appartient àCb.

On se ramène ainsi à l’étude de séries entières de rayon de convergence égal à1.

II.BOn suppose dans cette question queP

|an|est convergente et queRa = 1.

II.B.1)DéterminerC_a.

II.B.2)On note pour toutn∈N:

fn :

I → C x 7→ ane^inx

Montrer que la série de fonctionsPf_n converge uniformément surIvers une fonction continue surI.

II.B.3)Donner un exemple simple de série entièreP

anzⁿ pour laquelleCa est le cercle unité.

II.CDonner un exemple simple de série entièreP

anzⁿ pour laquelleRa = 1etCa est vide.

II.D Construction de quelques cas intermédiaires

II.D.1)On suppose qu’il existe un complexez0 de module 1 tel que P

anzⁿ₀ soit semi-convergente (c’est-à-dire que Panz₀ⁿ est convergente mais ne converge pas absolument).

Montrer qu’alorsR_a= 1.

II.D.2)Soit ξ un complexe de module1. Si pour tout n ∈N^∗, a_n = 1

nξⁿ, montrer que C_a est le cercle unité privé d’un point à déterminer.

II.D.3)Soitp∈N^∗ etpcomplexes distinctsξ1, . . . , ξp, tous de module1.

Construire un exemple de série entièreP

anzⁿ pour laquelleCa est le cercle unité privé desppointsξ1, . . . ,ξp. II.D.4)On suppose que, pour toutn∈N^∗,an =cosn

n . DéterminerRa et Ca.

La série X

n≥1

|an| est-elle convergente ?

III - Un exemple pour lequel C

est le cercle unité et P

|a

| diverge

Dans cette partie, on définit la suite(a_n)de la façon suivante :

• a₀= 0,

• pour tout naturelpnon nul et tout naturelntel que p²≤n≤(p+ 1)²−1: an = (−1)^p

p² . III.AMontrer que la sérieP|an|est divergente.

(On pourra par exemple chercher un équivalent de|an|.)

III.B Soit(A_n)la suite des sommes partielles de la série numériquePa_n.

III.B.1) Pour N ∈ N^∗, on note P le plus grand entier naturel vérifiant : P² ≤ N. On pose : R_N = A_N −A_P2−1. Montrer que|RN| ≤ 2P+ 1

P² .

III.B.2)En déduire que la sériePan est convergente.

III.CSoitz=e^ix un complexe de module 1, avecxnon nul appartenant àI.

III.C.1)Calculer|an+1−a_n|suivant les valeurs du natureln, et en déduire que la sérieP

|an+1−an|est convergente.

III.C.2)Déduire des résultats précédents et de la partieIque la sériePa_nzⁿ est convergente.

IV - Un dernier exemple

IV.AOn veut montrer qu’il existe une constante réelleC₁telle que pour tout entier naturel non nulnet tout réelx:

n

X

k=1

sin(kx) k

≤ C1.

Soientx∈]0, π[et kxle plus grand entier naturel tel quekx·x≤π.

IV.A.1)On suppose que1≤n≤k_x. Montrer que : 0 ≤

n

X

k=1

sin(kx) k ≤ π.

IV.A.2)On suppose quen > kx. Montrer que :

n

X

k=k_x+1

sin(kx) k

≤ 2.

On pourra notamment utiliser le résultat de la questionI.C.1).

IV.A.3)Conclure.

IV.BSoientnetN deux entiers naturels tels que :1≤n≤N.

SoitQn,N le polynôme défini par :

Qn,N(X) =

N−1

X

k=N−n

1

N−kX^k+

N+n

X

k=N+1

1 N−kX^k.

IV.B.1)Soitx∈R.Montrer que :

Qn,N e^ix

= −2ie^{iN x}

n

X

k=1

sin(kx) k .

IV.B.2)En déduire qu’il existe une constante réelle C2 telle que, pour tout couple d’entiers naturels(n, N) tel que 1≤n≤N et tout complexez de module 1 :|Qn,N(z)| ≤C₂.

IV.CPour tout entier naturel non nulj, on pose :

nj = 2^(j3), Nj = 2^(j3+1), et Ij = [[Nj−nj, Nj+nj]].

Vérifier que les intervallesI_j ainsi définis sont disjoints deux à deux.

Pour toute la suite du problème, on pose pour tout natureljnon nul :Pj=Qn_j,N_j, et on définit les suites(αk)_k∈Net (ak)_k∈Nde la façon suivante :

• s’il existej∈N^∗ tel que k∈Ij, etk6=Nj, alors : αk = 1

Nj−k et ak = e^(ik)/j j²(Nj−k) ;

• sinonαk=ak= 0.

On étudie la série entièrePa_kz^k. Pour toutn∈N^∗ etx∈]−π, π], on note

A_n(x) =

n

X

k=0

a_ke^ikx et B_n(x) =

n

X

j=1

1 j²P_j





e

i x+

1 j

!



.

IV.D Montrer que la suite de fonctions(B_n)_n∈N∗ converge uniformément sur I vers une fonction continue que l’on noteraF.

IV.EMontrer que pour tout naturelnnon nul et toutxappartenant àI : Bn(x) = A_3·2(n3 )(x).

IV.FOn veut montrer que la suite de fonctions(A_n)_n∈N converge également versF surI.

IV.F.1)Montrer que pour toutj∈N^∗ et(p, q)∈(Ij)² tels quep < q :

q−1

X

k=p

|αk−αk+1| ≤ 4.

IV.F.2)En déduire qu’il existe une constante réelleC₃ telle que pour tout entier naturelj non nul, pour tout couple de naturels(p, q)∈(Ij)², tels quep≤qet pour tout réelxnon nul appartenant àI :

q

X

k=p

α_ke^ikx

≤ C₃

|x|.

IV.F.3)Soitx∈I, x6=π.Vérifier que, pourj entier naturel suffisamment grand, on a

x+1 j

6= 0 et x+1 j ∈ I.

En déduire que pournnaturel suffisamment grand :

|A_n(x)−B_j(x)| ≤ 1 j²

C3

x+1 j ,

oùj est l’entier naturel tel que2^(j3) ≤ n < 2^(j+1)3.

On considère maintenant le casx=π. Montrer, avec les mêmes conditions surj et n, que

|An(x)−Bj(x)| ≤ 1 j²

C3

π−1 j

IV.F.4 Conclure.

IV.GOn note pour toutn∈N:

f_n :

I → C x 7→ a_ne^inx

On veut prouver que la série de fonctionsPfn ne converge pas uniformément surI.

IV.G.1)Montrer que, pour tout entier naturelj non nul :

A_Nj

−1 j

−A_Nj−nj−1

−1 j

= 1 j²

2^{(j3 )}

X

k=1

1 k.

IV.G.2)Donner un équivalent simple de cette expression lorsquej tend vers+∞et conclure.

IV.HDonnerRa et Ca.

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 5 – éléments de correction

PROBLÈME 1 — SUJET CLASSIQUE

d’après CCP 2007 PSI Maths 1

Les calculatrices étant autorisées, les réponses aux questions « calculatoires » seront données sans explication (ceci signifiant que le calcul a été fait à la machine).

1 Les suites α et β.

I.1.1 On a

α0= 1, α1= 0, α2= 1, α3= 2, α4= 9 . I.1.2 On procède par récurrence surnpour montrer queαn∈N^∗ pour toutn≥2.

• α₂= 1∈N^∗. Le résultat est donc vrai au rang2.

• Soitn≥2tel que αn ∈N. On a

αn+1 = (n+ 1)αn+ (−1)ⁿ⁺¹∈Z.

De plusα_n≥1doncα_n+1≥n+ 1−1≥n≥2et doncα_n+1∈N^∗ et le résultat est vrai au rangn+ 1.

Commeα₀ etα₁ sont dansN, on a donc prouvé que :

∀n∈N, αn ∈N. I.2.1 On a

β₀= 1, β₁= 0, β₂= 1, β₃= 2, β₄= 9 . I.2.2 On a

∀n∈N, βn =

n

X

k=0

(−1)^kn!

k! =

n

X

k=0

(−1)^kn(n−1)· · ·(k+ 1) .

et β_n est un entier relatif comme somme de tels entiers.

I.2.3 On a

βn+1−(n+ 1)βn = (n+ 1)!

n+1

X

k=0

(−1)^k k! −

n

X

k=0

(−1)^k k!

!

= (−1)ⁿ⁺¹.

I.2.4 D’une partβ0=α= 1, d’autre part les suitesαetβ vérifient la même relation de récurrence d’ordre1. On a donc :

∀n∈N, α_n=β_n .

I.3.1 La suite de terme général zk = ⁽⁻¹⁾_k!^k vérifie les hypothèses du critère spécial des séries alternées (CSSA), à savoir signe alterné, décroissance en module et convergence vers0. La série correspondante a donc un reste d’ordren, ρ_n, du signe de (−1)ⁿ⁺¹

(n+ 1)!. On a donc ρ(n)qui est positif sinest impair et négatif sinest pair . I.3.2 Le critère spécial indique aussi que

∀n∈N, |ρn| ≤ (−1)ⁿ⁺¹ (n+ 1)!,

c’est-à-dire que

∀n∈N, n!|ρn| ≤ 1 n+ 1 .

De plus l’inégalité est stricte , car 1

k!

k

est strictement décroissante et donc on a une inégalité stricte dans le résultat sur les restes provenant du CSSA.

I.3.3 On a β_n

n! +ρ_n=e⁻¹ et donc

∀n≥1, |βn−n!e⁻¹| = | −n!ρn| < 1 n+ 1 ≤ 1

2.

D’après le dernier rappel du préambule : βn est l’entier naturel le plus proche dee⁻¹n!. I.4.1 Sur ]−1,1[, on a un problème de Cauchy :

f(0) = 1 et f⁰(x)− x

1−xf(x) = 0.

Comme x 7→ x

1 +x est continue sur]−1,1[, le théorème de Cauchy-Lipschitz (cas linéaire) s’applique et f existe et est unique.

En écrivant que x

1−x= 1

1−x−1, on obtient quex7→ −x−ln(1−x)est une primitive sur]−1,1[dex7→_1−x^x . Il existe alors une constantec telle que

∀x∈]−1,1[, f(x) = cexp (−x−ln(1−x)) = ce^−x 1−x. Commef(0) = 1, on en déduit quec= 1et donc que

∀x∈]−1,1[, f(x) = e^−x 1−x .

I.4.2 L’expression précédente montre, par théorèmes généraux, que f est de classeC^∞surR.

Remarque : on peut aussi montrer par récurrence surn quef ∈Cⁿ(]−1,1[) est vraie pour toutn en utilisant seulement l’équation différentielle.

I.4.3 On a donc

∀x∈]−1,1[, (1−x)f(x) = e^−x.

En dérivantn+ 1fois cette relation par formule de Leibnitz on obtient (avec un abus de notation) :

∀x∈]−1,1[,

n+1

X

k=0

n+ 1 k

(1−x)^(k)f^(n+1−k)(x) = (−1)ⁿ⁺¹e^−x.

L’expression(1−x)^(k)étant nulle pourk≥2, ceci devient

(1−x)f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)−(n+ 1)f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿ⁺¹e^−x.

I.4.4 Appliquons cette relation enx= 0:

f⁽ⁿ⁺¹⁾(0) = (n+ 1)f⁽ⁿ⁾(0) + (−1)ⁿ⁺¹.

Les suites (βn)n et (f⁽ⁿ⁾(0))n ont même premier terme et vérifient le même relation de récurrence d’ordre 1.

Elles sont égales :

∀n∈N, βn = f⁽ⁿ⁾(0).

2 La suite γ .

II.1 S₁ possède un unique élément (l’identité). Aucune permutation de l’ensemble{1}n’est sans point fixe, d’où γ1= 0.

DansS₂, il y a l’identité et la transposition(1,2). Seule cette transposition n’a aucun point fixe, d’où γ₂= 1. II.2 Classons les six permutations sur3éléments selon leur nombre de points fixes :

• L’identité de[[1,3]]a trois points fixes.

• Les trois transpositions(1,2),(1,3)et(2,3) ont un seul point fixe.

• Les deux cycles(1,2,3)et (1,3,2)n’ont pas de point fixe.

Finalement γ₃= 2.

II.3.1 Une permutationτsur quatre éléments possède exactement deux points fixes si et seulement deux éléments sont permutés et deux autres laissés fixes, c’est à dire si et seulement siτ est une transposition.

Il y a donc 4

2

= 6permutations de S4avec deux points fixes .

II.3.2 Une permutation τ de S4 possède un unique point fixe a si et seulement si τ permute circulairement les éléments de [[1,4]]\ {a} : il y a deux choix possibles. Comme on a quatre choix pour a, nous avons

8 = 2×4 permutations deS4 avec un seul point fixe .

II.3.3 Si un élément possède trois points fixes, il en a quatre et c’est l’identité. L’ensembleS4possède24éléments.

Par conséquent γ4= 24−6−8−1 = 9. II.4.1 Rappelons que card(Sn) =n!.

II.4.2 Une permutation possédant exactementkpoints fixes est caractérisée d’une part par le choix de ces points fixes (k parmin), et d’autre part par une permutation sans points fixes desn−krestant (γ_n−k choix).

Ainsi, il y a n

k

γ_n−k permutations ayant exactementkpoints fixes .

II.4.3 Le groupe Sn des permutations est la réunion disjointe des ensembles Tn,k des éléments deSn possédant exactementkpoints fixes. En passant au cardinal, il vient

n! =

n

X

k=0

n k

γ_n−k.

Comme ⁿ_k

= _n−kⁿ

, on a donc (avec un changement d’indicej=n−k) n! =

n

X

j=0

n j

γj .

II.5.1 On a bien sûrγ_n≤n!(il y a moins de permutations sans point fixe que de permutations) et donc la quantité 0 ≤ γ_n

n!|x|ⁿ ≤ |x|ⁿ est borné si|x| ≤1. Par lemme d’Abel, la série entière X

n

γ_n

n!xⁿ a un rayon de convergence au moins égal à1. II.5.2 La fonctiong est, par définition, développable en série entière de rayon de convergence au moins1; l’expo-

nentielleexpest développable en série entière de rayon de convergence infini. Par conséquent

h=g×expest développable en série entière de rayon de convergence au moins égal àmin(1,+∞) = 1, et son développement s’obtient par produit de Cauchy :

∀x∈]−1,1[, h(x) =

+∞

X

k=0

ckx^k avec ck =

n

X

j=0

γj

j!(n−j)! = 1 n!

n

X

j=0

n j

γj = 1.

Finalement c_k= 1pour tout entierk.

II.5.3 On en déduit que : ∀x∈]−1,1[, h(x) =

+∞

X

k=0

x^k = 1

1−x. Puis, d’après I.4.1:

∀x∈]−1,1[, g(x) = e^−x

1−x = f(x).

Rappelons que si une fonction est développable en série entière, alors elle est égale à son développement de Taylor. Par conséquent

∀x∈]−1,1[, g(x) = f(x) =

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ =

+∞

X

n=0

βn

n!xⁿ.

Comme βn

n! →e⁻¹, la suite βn

n!xⁿ

n

est bornée si et seulement si|x| ≤1.

Finalement le rayon de convergence deX

n

βn

n!xⁿ vaut exactement1 .

II.5.4 Le calcul de la question précédente et l’unicité du développement en série entière indiquent que

∀n∈N, βn = γn .

II.5.5 Remarquons que β_n/n! ^n→+∞−→ e⁻¹, terme général d’une série grossièrement divergente. Ainsi la fonction g n’est pas définie en1 .

II.5.6 De la même façon, la fonction g n’est pas définie en−1 (série grossièrement divergente).

II.5.7 Le nombreγ8est l’entier le plus proche de8!e⁻¹. Une calculatrice, autorisée à cette épreuve, donne8!e⁻¹≈ 14832,899. Il s’ensuit que γ₈=α₈= 14833.

3 Sur δ

= e

n! − β

.

III.1.1 Remarquons que|Jn| ≤e Z 1

0

xⁿdx= e

n+ 1 donc, par encadrement : lim

n→+∞Jn= 0.

III.1.2 La suite(v_n)_n est alternée, de limite nulle en l’infini. En outre pourx∈[0,1]etn∈N, il vientxⁿ⁺¹≤xⁿ d’où par croissance de l’intégrale Jn+1 ≤ Jn. On peut appliquer le critère spécial des séries alternées pour affirmer que X

n

vn converge .

III.2.1 La formule de Taylor avec reste intégral indique que siuest une fonction de classeCⁿ⁺¹ sur l’intervalleI et sia∈I, alors :

∀x∈I, u(x) = u(a) +

n

X

k=1

u^(k)(a)

k! (x−a)^k+ Z x

0

(x−t)ⁿ

n! u⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt.

En appliquant ceci avecu= exp,I=Reta= 0, on obtient e^x =

n

X

k=0

x^k k! +

Z x 0

(x−t)ⁿ n! e^tdt .

III.2.2 Par définition δn =e⁻¹n!−βn, donce⁻¹= βn

n! +δn

n!. Choisissonsx=−1 dans la formule de la question précédente :

e⁻¹ =

n

X

k=0

(−1)^k k! + 1

n!

Z −1 0

(−1−t)ⁿe^tdt = βn

n! + 1 n!

Z −1 0

(−1−t)ⁿe^tdt.

Le changement de variableu= 1 +t donne alors e⁻¹ = β_n

n! + 1 n!

Z 0 1

(−u)ⁿe^u−1du = β_n

n! +e⁻¹(−1)ⁿ⁺¹ n!

Z 1 0

uⁿe^udu = β_n

n! +e⁻¹vn. Il s’ensuit que

δ_n = e⁻¹n!−β_n = e⁻¹v_n .

III.3 CommeX

n

v_n converge (questionIII.1.2), il en est de même deX

n

δ_n .

Afin de démontrer que cette série ne converge pas absolument, déterminons un équivalent deJn(et donc devn).

Une intégration par parties (à détailler !) donne Z 1

0

xⁿe^xdx= [xⁿe^x]¹₀−n Z 1

0

xⁿ⁻¹e^xdx

et doncJn=e−nJ_n−1. OrJn →0(questionIII.1.1), doncnJ_n−1→eet ainsiJn∼ e

n+ 1 ou encore Jn∼ e n . Par conséquent|vn|=Jnest le terme général d’une série divergente, et puisqueδn=e⁻¹vn(questionIII.2.2) : la série X

n

δn n’est pas absolument convergente . III.4.1 Avec l’équivalent précédent, nous avons :

|δ_n|

n = e⁻¹J_n n

n→+∞∼ 1 n². Par comparaison de séries à termes positifs : X

n≥1

|δn|

n est convergente .

III.4.2.1 La fonctionu:x7→e^xln(1−x)est continue sur[0,1[. Seul problème d’intégrabilité : en1. Or : u(1−t) = e^1−tln(t)^t→0∼ eln(t) = o₀

1

√t

par croissances comparées (on peut aussi affirmer queln est intégrable en 0). Par comparaison aux fonctions de référence : la fonctionuest intégrable au voisinage de1, donc sur[0,1[.A fortiori l’intégraleAconverge . III.4.2.2 Appliquons le second théorème d’intégration terme à terme, pour les fonctions définies sur un intervalle

quelconque deR. Pour ce faire, remarquons que

∀x∈[0,1[, −e^xln(1−x) =

+∞

X

k=1

fk(x) avec fk(x) = e^xx^k k .

• Chaque f_k :x7→^ex_k^xk est continue par morceaux sur[0,1]et intégrable sur ce segment.

• Par définition, la série X

k≥1

fk converge simplement sur [0,1[ versx7→ −e^xln(1−x), qui est continue par morceaux sur[0,1[.

• Enfin

Z 1 0

|f_k(x)|dx = 1 k

Z 1 0

e^xx^kdx = Jk

k

k→+∞∼ e k², qui est le terme général d’une série convergente.

D’après le théorème d’interversion somme-intégrale : A =

+∞

XZ 1 0

e^xx^k k dx =

+∞

XJk

k .

Par ailleursJk=e|δk|(d’après III.2.2), d’où

+∞

X

k=1

|δk| k = A

e .

III.4.3 Remarquons que (−1)ⁿ n!(n+ 1)² = o

1 n²

est le terme général d’une série absolument convergente. Ainsi X

n≥0

(−1)ⁿ

n!(n+ 1)² converge absolument .

Nous allons repartir de l’expression de l’intégraleA, et cette fois développer l’exponentielle. Le changement de variableu= 1−xdansAdonne

A = −e Z 1

0

e^−uln(u) du = −e Z 1

0

X

n≥0

(−u)ⁿln(u) n! du.

Appliquons le second théorème d’intégration terme à terme à la sérieX

n

gnsur]0,1], oùgn:u7→ (−u)ⁿln(u)

n! :

• Chaque gn est continue par morceaux et intégrable sur]0,1](lelnétant intégrable en0).

• La sérieX

n

gn converge simplement sur]0,1]versu7→e^−uln(u)qui est continue par morceaux sur]0,1].

• Une intégration par parties (à poser !) donne, poura >0: Z 1

a

uⁿln(u) du =

uⁿ⁺¹ n+ 1ln(u)

¹

a

− 1 n+ 1

Z 1 a

uⁿdu.

En faisant tendre a vers 0 et en multipliant par 1/n!, on obtient par croissances comparées (puisque uⁿ⁺¹lnu→0) :

Z 1 0

|gn(u)|du = − Z 1

0

uⁿln(u)

n! du = 1

(n+ 1)²n! = o 1

n²

. Cette dernière expression est bien le terme général d’une série convergente.

Le théorème d’interversion somme-intégrale s’applique et donne : A = −e

+∞

X

n=0

Z 1 0

gn(u) du = e

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (n+ 1)²n!.

Finalement

+∞

X

k=1

|δ_k| k = A

e =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (n+ 1)²n! .

III.4.4 L’expression (−1)ⁿ

(n+ 1)²n! est le terme général d’une suite alternée vérifiant les hypothèses du critère spécial.

Le reste est majoré en valeur absolue par la valeur absolue du premier terme négligé :

+∞

X

n=N

(−1)ⁿ (n+ 1)²n!

≤ 1

(N+ 1)²N!.

Pour N = 4, nous avons 1

(N+ 1)²N! = 1

600 et donc

+∞

X

n=0

|δn| n −p

q

≤ 1

600 pour p q =

3

X

n=0

(−1)ⁿ

(n+ 1)²n! = 229 288 .

PROBLÈME 2 — SUJET CORSÉ

d’après Centrale 2004 PC maths I

Convergence de séries entières sur le cercle de convergence

I - Calculs préliminaires

I.A La première inégalité est classique, la seconde tient à la concavité de la fonction sinus sur[0, π/2]. Dans tous les cas le jour J il faut les redémontrer !

I.BLa restriction surxnous donnee^ix6= 1et permet de sommer comme suite géométrique :

q

X

k=p

e^ikx

=

e^ipx·(1−e^i(q−p+1)x) 1−e^ix

= |e^ipx| ·

e^{iq−p+12 x} e^ix2

·

−2isin ^q−p+1₂ x

−2isin^x₂

=

sin ^q−p+1₂ x sin^x₂

d’où

q

X

k=p

e^ikx

≤ 1

sin^x₂ .

I.CCette question porte sur la transformation d’Abel I.C.1)Calcul classique :

q−1

X

k=p+1

(uk−uk+1)·Vk =

q−1

X

k=p+1

(uk·Vk)−

q

X

k=p+2

(uk·V_k−1)

= up+1·Vp+1+

q−1

X

k=p+2

ukvk−(uq·Vq−uq·vq) car Vk−V_k−1 = vk

= up+1·Vp+

q

X

k=p+1

uk·vk−uq·Vq car Vp+1 = Vp+vp

d’où :

q

X

k=p+1

(uk·vk) =

q−1

X

k=p+1

(uk−uk+1)·Vk+uq·Vq−up+1·Vp.

I.C.2)Montrer queX

n≥1

unvn converge revient à prouver que

q

X

k=p+1

ukvk

→0 quandpet qtendent vers+∞.

Les hypothèses de l’énoncé entraînent par majoration élémentaire que

q−1

X

k=p+1

(u_k−u_k+1)·V_k

p,q→+∞

−→ 0et, siu_n^n→+∞−→

0 alorsuq·Vq−up+1·Vp

p,q→+∞

−→ 0. La convergence deX

n

un·vn est alors conséquence de l’égalité obtenue dans la question précédente.

I.C.3)Si(u_n)_nest décroissante et convergente, alors par télescopage

n

X

k=1

|uk−uk+1|=u₁−un+1

n→+∞→ u₁− lim

n→+∞u_n. Enfinu_n→0 permet de conclure, comme au-dessus, à la convergence deX

k≥1

|u_k−u_k+1|. I.D

• Soitx /∈2πZ. Les séries proposées sont les parties réelle et imaginaire de X

k≥1

e^ikx

k . En posantuk = 1

k etvk =e^ikx, les conditions d’application deI.C.3)sont réunies (au vu de la majorationI.B), donc la série X

k≥1

e^ikx

k converge .

• Six∈2πZ, alorsX

k≥1

cos(kx)

k =X

k≥1

1

k est divergente etX

k≥1

sin(kx)

k est convergente car c’est la série nulle !

II - Quelques exemples d’ensembles C

II.A

• Supposons|z|<1, alors|z·Ra|< Ra doncP

bnzⁿ=P

an(zRa)ⁿ est absolument convergente.

• Supposons|z|>1, alors|z·R_a|> R_a doncPb_nzⁿ=Pa_n(zR_a)ⁿ diverge grossièrement.

Ces deux points permettent d’affirmer que le rayon de convergence dePb_nzⁿ estR_b= 1 . Ensuite : z∈Ca si et seulement si|z|=Ra etP

anzⁿ converge, soit|z/Ra|= 1etP

bn(z/Ra)ⁿconverge, ou encore z

Ra

∈Cb. Nous avons bien prouvé que z∈Ca si et seulement si z Ra

∈Cb . II.BSupposonsX

|an| convergente etRa= 1.

II.B.1)Si|z|=Ra = 1alors|anzⁿ|=|an|doncz∈Ca. Ainsi Ca est le cercle unité .

II.B.2)Pourx∈I il vient|e^inx|= 1donc|fn(x)|=|an|, puiskfnk^I_∞=|an|. On en déduit que X

n

kfnk^I_∞=X

n

|an| converge. On a par conséquent convergence normale donc uniforme dePf_n surI, et puisque chaquex7→a_ne^inx est continue : la fonction somme est continue surI .

II.B.3)Pour an= 1

n² , la série entière associée a pour rayon de convergence1et converge (absolument) sur tout le cercle unité.

II.CPour a_n= 1, la série entière associée a pour rayon de convergence1et elle ne converge en aucun point du cercle unité (il y a divergence grossière).

II.D.1)

• Supposons Ra > 1. Alors la série entière P

anzⁿ est absolument convergente pour|z| < Ra, donc en particulier pourz₀, ce qui est absurde. D’où R_a≤1.

• SupposonsRa <1. Alors la série entièreP

anzⁿ diverge grossièrement pour|z|> Ra, donc en particulier pourz0, ce qui est absurde. D’où R_a≥1.

II.D.2)Soitξfixé, de module1. Posonsan = 1 nξⁿ.

• Pourz=ξ, la sérieX

n

anzⁿ=X

n

1

n est divergente (série harmonique).

• Soit z tel que|z| = 1 et z 6= ξ. Alors z

ξ = e^ix avec x /∈ 2kπZ. Il s’ensuit que X

n

a_nzⁿ = X

n

1 n

z ξ

ⁿ

converge d’après les questionsI.C.3)et I.B.

Bilan : Ca est le cercle unité privé deξ.

II.D.3)D’après la question précédente, pour a_n= 1 n·

p

X

k=1

1

ξⁿ_k , la série entièrePa_nzⁿ admet pourC_a le cercle unité privé desppointsξ1, . . . ,ξp.

II.D.4)Considérons la série entièreXcos(n)

n zⁿ. Prenonsξ=e⁻ⁱ, alors on constate que cos(n)

n est la partie réelle du facteur 1

n·ξⁿ considéré.

D’aprèsII.D.1), puisqueX

n

1

nzⁿ est semi-convergente enz= 1: Ra = 1. Ensuite d’aprèsII.D.2), l’ensemble Ca est le cercle unité privé de e⁻ⁱ . Enfin P

|an|diverge car dans le cas contraire d’aprèsII.B.1)l’ensembleC_a serait tout le cercle unité.

III - Un exemple pour lequel C

est le cercle unité et P

|a

| diverge

Les questions III.A et III.B sont des variations sur le critère spécial de séries alternées et la sommation par paquets.

III.AL’encadrement denparp²et(p+1)²−1nous fournitn∼p²puis|an|^n→+∞∼ 1

n. Par conséquent P

|an|diverge . III.B.1)Remarquons que|RN| ≤

N

X

k=p²

1 p² ≤

(p+1)²−1

X

k=p²

1

p², d’où comme espéré |RN| ≤ 2P+ 1 P² .

Remarquons au passage que nous avonsN →+∞si et seulement siP →+∞. Par conséquent R_N ^N−→^→+∞0 . III.B.2)Remarquons de plus que

AN = A_P2−1+RN =

P²−1

X

k=1

(2k+ 1)(−1)^k

k² +RN = 2

P²−1

X

k=1

(−1)^k

k +

P²−1

X

k=1

(−1)^k k² +RN.

Le membre de droite de cette égalité est composé de trois termes. Le premier est une somme partielle de la série harmonique alternée, qui est convergente d’après le critère spécial des séries alternées. Le second est une somme partielle d’une série qui converge absolument, donc qui converge. Enfin le troisième est RN, il tend vers 0 quand N →+∞comme nous venons de le voir.

On conclut que la suite des sommes partielles dePa_n converge, c’est-à-dire que la série Pa_n converge .

III.C.1)Dans le cas d’indice nle plus général, nous avons an+1−an = 0. Le cas « particulier » se produit lorsque n= (p+ 1)²−1et n+ 1 = (p+ 1)². Dans ce cas :

|an+1−an| = 1

p² − 1

(p+ 1)² = 2p+ 1

p²·(p+ 1)² ≤ 3 p³. Par conséquent, par comparaison à une série de référence : X

n≥1

|an+1−an|converge .

III.C.2)Soitx∈I\{0}=]−π,0[∪]0, π[. Posons(u_n)_n = (a_n)_net(v_n)_n = (e^inx)_n= (zⁿ)_n. Alors on peut appliquerI.B et I.C.2), ce qui nous donne que P

anzⁿ converge .

IV - Un dernier exemple

Comme dans la partie III, la série entière considérée converge sur le cercle unité. Par contre cette foisPa_n est grossièrement divergente, alors que dans IIIelle était semi-convergente.

IV.A.1)Par définition on a kx·x≤π. Si1≤n≤kx alorsnx≤πdonc la somme considérée est à termes positifs. Il s’ensuit que

0 ≤

n

Xsin(kx)

k ≤

n

Xkx

k ≤ nx ≤ π,

c’est-à-dire 0≤

n

X

k=1

sin(kx) k ≤π. IV.A.2)On utiliseI.C.1)avecuk = 1

k etvk =e^ikx :

n

X

k=kx+1

e^ikx k

=

n−1

X

k=kx+1

1 k − 1

k+ 1

V_k+1

nV_n− 1 kx+ 1V_kx

.

D’aprèsI.B:(|Vk|)k ,(|Vp|)p et (|Vq|)q sont majorées par 1

sin(^x₂). En utilisant l’inégalité triangulaire, on en déduit :

n

X

k=k_x+1

e^ikx k

≤ 1

sin(^x₂)

n−1

X

k=k_x+1

1 k− 1

k+ 1

+1 n + 1

kx+ 1 .

Or d’aprèsI.A: sinx 2 ≥ 2

π· x 2 = x

π d’où 1 sin^x₂ ≤π

x. Par conséquent

n

X

k=k_x+1

e^ikx k

≤ π x

" _n−1 X

k=k_x+1

1 k − 1

k+ 1 #

+ 1 n+ 1

k_x+ 1

!

= 2π

x·(k_x+ 1).

Or, par définition dekx :x·(kx+ 1)≥π. Il s’ensuit que :

n

X

k=k_x+1

e^ikx k

≤ 2.

Il reste à prendre la partie imaginaire, plus précisément le fait que|Im (z)| ≤ |z| pour toutz∈C, pour obtenir :

n

X

k=k_x+1

sin(k·x) k

≤ 2.

IV.A.3)D’aprèsIV.A.1)et IV.A.2):

n

X

k=1

sin(k·x) k

≤

k_x

X

k=1

sin(k·x) k

+

n

X

k=kx+1

sin(k·x) k

≤ π+ 2 = C1 ,

ceci lorsquen > kx. Mais cette inégalité est évidemment vraie sin≤kx.

Remarque: on a supposé ici x∈]0, π[ mais pourx= 0tous les termes sont nuls et on peut toujours se ramener au casx∈[0, π[par périodicité de x7→ |sin(k·x)|.

IV.B.1)En mettantX^N en facteur et en remplaçantX pare^ix on obtient :

Qn,N(e^ix) = e^{iN x}·

n

X

k=1

−e^ikx+e^−ikx

k = −2ie^{iN x}·

n

X

k=1

sin(kx) k .

IV.B.2)D’après la questionIV.A.3), la constanteC2= 2·C1= 2π+ 4convient .

IV.CRemarquons queNj= 2njd’oùIj= [[2^j3,3·2^j3]]. Il suffit alors de vérifier que2^(j+1)3 >3·2^j3, soit2^j3+3j2+3j+1>

3·2^j3, ou encore2^3j2+3j+1>3, ce qui est vrai dès quej∈N^∗. Ainsi

les intervalles[[Nj−n−j, Nj+nj]]sont bien disjoints .

IV.D D’après IV.B.2), nous avons |P_j(e^i(x+1j))| ≤ C₂. Ainsi (B_n)_n est la suite des sommes partielles d’une série de fonctions f_j telles que kfjk^]−π,π]_∞ ≤ C₂

j². Ainsi la série de fonctions dont (B_n)_n est la somme partielle converge normalement donc uniformément surI. Chaque fonctionf_j étant continue, on en déduit que la suite

(B_n)_n converge uniformément surI vers une fonctionF continue surI .

IV.ED’après IV.C, les intervalles Ij sont disjoints et le plus « grand » d’entre eux, obtenu pour j = n, a comme entier maximal3·2ⁿ³. On ne récupère donc dansB_n(x)des termes ene^ikxque pourk≤3·2ⁿ³. Si un telkappartient à un intervalleI_j donné, alors il est obtenu dansP_j avec le coefficient 1

Nj−k·e^i·kj (cf. calcul deIV.B.1)et le fait que la variable dans Pj est e^i(x+1j) et none^ix).

On obtient donce^ikxavec le coefficienta_k = 1 j² · 1

Nj−k·e^i·kj. Finalement, globalement : B_n(x) =A_3·2n3(x). IV.F.1)SoitpetqdansIj avecp < q. L’entierNj−kparcourt les entiers de(−nj)à (−1)et de1à nj, en excluant 0. On a donc, par télescopage :

q−1

X

k=p

|αk−αk+1| ≤ 2· 1 +

nj−1

X

i=1

1 i − 1

i+ 1 !

≤ 4 .

IV.F.2)À l’aide de I.C.1), on procède exactement comme dansIV.A.2)avec ici u_k =α_k et v_k =e^ikx. On obtient ainsi la majoration :

q

X

k=p

αke^ikx

≤ (4 + 1 + 1)· π

|x| = C3

|x| avecC3 = 6π.

IV.F.3)

• Six= 0, alorsj ≥1 convient.

Six=±1

n, alorsj > nconvient.

Sinon, alors on prendj≥E 1

|π−x|

+ 1.

• Prouvons l’inégalité. D’aprèsIV.E, il vient|An(x)−Bj(x)|=

q

X

k=p

a_ke^ikx

avec2^j3 ≤p≤q= 3·2^j3. Par conséquent

|An(x)−Bj(x)| = 1 j²·

q

X

k=p

αke^i·kj ·e^ikx

= 1 j² ·

q

X

k=p

αke^ik(x+1j) .

Pourj(doncn) suffisamment grand nous avonsx+1

j ∈I\{0}et on appliqueIV.F.2):|An(x)−Bj(x)| ≤ C2

j²· |x+¹_j|.

• Plaçons-nous maintenant dans le cas particulier x=π. Pour tout j ≥ 1, x− 1

j 6= 0et x−1

j ∈I; on peut ainsi reprendre le même calcul sous la forme :

|An(x)−B_n(x)| =

A_n(x)−B_n(x) = 1

j² ·

q

X

k=p

α_ke^−i·kje^−ikx .

Orx=πdonce^−ikx=e^ikx et on obtient comme au-dessus :

|An(x)−Bn(x)| = 1 j² ·

q

X

k=p

αke^{−ik(x−1j)}

≤ C3

j²· |π−¹_j| .