Développer en série entière la fonction f définie par :

PanaMaths Décembre 2007

Développer en série entière la fonction f définie par :

( ) ^{ln 1} (

²

)

f x = + + x x

Analyse

On peut facilement faire apparaître des fonctions développables en séries entières en considérant l’argument du logarithme népérien comme la somme des trois premiers termes d’une suite géométrique …

Résolution

Pour x≠1, on a :

3

2 1

1 1

x x x

x + + = −

−

Pour x<1, on peut alors écrire :

( )

^{ln 1}

(

²

)

^{ln 1 3 ln 1}

(

³

)

^{ln 1}

^{( )}

1

f x x x x x x

x

⎛ − ⎞

= + + = ⎜⎝ − ⎟⎠= − − −

La fonction ^{x6ln 1}

(

^−x

)

est développable en série entière sur

]

^{−1 ; 1}

[

et on a :

( )

1

ln 1

n

n

x x

n

+∞

=

− = −

∑

On a l’équivalence ^{x∈ −}

]

^{1 ; 1}

[

^{⇔x3∈ −}

]

^{1 ; 1}

[

^(x6x3 est bijective de

]

^{−1 ; 1}

[

dans lui-même) et il vient immédiatement :

(

3

) ( )

^{3 3}

1 1

ln 1

n n

n n

x x

x n n

+∞ +∞

= =

− = −

∑

= −

∑

PanaMaths Décembre 2007

On en tire, pour tout x de

]

^{−1 ; 1}

[

^:

( ) ( ) ^{( )}

3

1 1

3 1 3 2 3 3 3 3

0

3 1 3 2 3 3

0 3

3 1 3 2 3 3 1

2 3

ln

1 3 2

1 ln

3 1

3

n n

n n

k k k k

k

k k k

k

x x

n n

x x x x

k k k k

x x x

k k k

f x x x

+∞ +∞

= =

+ + + +

+∞

=

+ + +

+∞

=

− +

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + + + + + − + ⎟⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + + + − + ⎟⎠

= − − −

=

∑ ∑

∑

∑

Résultat final

La fonction f définie sur \ par :

( )

^{ln 1}

(

²

)

f x = + +x x

est développable en série entière sur l’intervalle

]

^{−1 ; 1}

[

et on a :

( )

^{3 1 3 2 3 3}

0

2

3 1 3 2 3 3

k k k

k

x x x

k k

f x k

+ + +

+∞

=

⎛ + − ⎞

⎜ + + + ⎟

⎝ ⎠

=

∑