Développer en série entière la fonction f définie par :

PanaMaths Décembre 2007

Développer en série entière la fonction f définie par :

( ) ¹ ₁ ^x

f x x

= + −

Analyse

On fait apparaître une fonction développable en série entière en multipliant le numérateur et le dénominateur de l’argument de la racine carrée par 1−x.

Résolution

Notons d’abord que la fonction f est définie sur

]

^{−1 ; 1}

]

^.

On a alors, pour tout réel de

]

^{−1 ; 1}

[

^:

( ) ( )

(

¹

)(

²

) (

¹ ₂

) ( )

²

(

²

)

¹²

1 1 1

1 1 1 1

x x

f x x x x

x x x x

− −

− −

= = = = − −

+ + − −

Il convient donc, fondamentalement, de développer ^x6

(

^1−x2

)

^−12.

Pour tout α réel et pour tout réel de

]

^{−1; 1}

[

, on a le développement classique :

( ) ( )( ) ( )

0

1 1 ... 1

1 !

n n

x n x

n

α ^+∞ α α α α

=

− − − +

+ =

∑

Comme x appartient à

]

^{−1 ; 1}

[

, il en va de même pour −x² et on peut écrire :

(

²

)

¹²

( ( )

²

)

¹²

( )

²

0

1 1 1 1

1 1 ... 1

2 2 2 2

1 1

!

n

n

n

x x x

n

− +∞

−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜⎝− − ⎟⎜⎠⎝− − ⎟ ⎜⎠ ⎝− − + ⎟⎠

− = + − =

∑

−

Dans un premier temps, simplifions l’écriture de 1 1 1 1

1 1 ... 1

2⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 n ⎞

− ⎜⎝− − ⎟⎜⎠⎝− − ⎟ ⎜⎠ ⎝− − + ⎟⎠. Ce produit comporte n facteurs :

( )( ) (

^{1 3 ... 2 1}

) ( )

^{1.3.5... 2}

(

¹

)

1 1 1 1

1 1 ... 1 1

2 2 2 2 2 2

n

n n

n n

n − − − + −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜⎝− − ⎟⎜⎠⎝− − ⎟ ⎜⎠ ⎝− − + =⎟⎠ = −

PanaMaths Décembre 2007

On fait alors apparaître

( )

^{2n !} au numérateur :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

₂

1.3.5... 2 1 1.2.3.4... 2 1 . 2 2 ! 2 !

1 1 1 1

2 2 2.4.6... 2 2 2 ! 2 !

n n n n

n n n n n

n n n n n

n n n

− −

− = − = − = −

× × × ×

Finalement :

( ) ( )

₂^{2 !}

1 1 1 1

1 1 ... 1 1

2 2 2 2 2 !

n n

n n

n

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜⎝− − ⎟⎜⎠⎝− − ⎟ ⎜⎠ ⎝− − + = −⎟⎠ ×

Il vient alors :

(

²

)

¹²

^{( ) ( )}

²

( )

²

^{( ) ( )}

2

_{( )}

2

^{( )}

² 2

^{( )} _{( )}

2 ²

0 0 0

2 !

1 2 ! 2 ! 2 !

1 1 1

! 2 ! 2 !

n

n n n n n n

n n

n n n

n

n n

x n x x x

n n n

+∞ +∞ +∞

−

= = =

− ×

− == − = − × − =

× ×

∑ ∑ ∑

D’où, finalement :

( ) ( ) (

²

)

¹²

^{( )}

2

^{( )} _{( )}

2 ² 2

^{( )} _{( )}

2

(

^{2 2 1}

)

0 0

2 ! 2 !

1 1 1

2 ! 2 !

n n n

n n

n n

n n

f x x x x x x x

n n

+∞ +∞

− +

= =

= − − = − = −

× ×

∑ ∑

Résultat final

La fonction f définie sur

]

^{−1 ; 1}

]

^{par :}

( )

¹

x 1

f −xx

= +

est développable en série entière sur l’intervalle

]

^{−1 ; 1}

[

et on a :

( ) ( )

( )

2

(

^{2 2 1}

)

0 2

2 !

2 !

n n

n n

f x n x x

n

+∞ +

=

= −

∑

×