PROBLÈME 1 — ALGÈBRE — SUJET CLASSIQUE Notations et objectifs

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 6 – Concours blanc

du lundi 7 janvier Durée : 4 heures

Toute calculatrice interdite

Instructions générales :

Les candidats sont priés

• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien dix pages ;

• de ne traiter que le sujet qui leur est destiné :

? classique, composé des problèmes1et 2;

? corsé, composé des problèmes3 et4.

Merci d’indiquer clairement sur la première page de la première copie si vous traitez le sujet classique ou le sujet corsé.

Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies mal rédigées ou mal présentées le sont aux risques et périls du candidat !

Remarque importante :

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Bon courage !

PROBLÈME 1 — ALGÈBRE — SUJET CLASSIQUE Notations et objectifs

Dans tout le texteEdésigne unR-espace vectoriel de dimension finien >1. On noteIdl’endomorphisme identité deEetMn(R)leR-espace vectoriel des matrices réelles carrées de taillen. SiE1etE2sont des sous-espaces vectoriels deE supplémentaires, c’est-à-direE=E1⊕E2, on appelle projecteur sur E1parallèlement à E2l’endomorphismep deEqui, à un vecteurxdeE se décomposant commex=x1+x2, avec(x1, x2)∈E1×E2, associe le vecteurx1. On rappelle que siAest une matrice deM_n(R), la matrice exponentielle deAest la matrice :

exp(A) =

+∞

X

k=0

1 k!A^k.

De même siuest un endomorphisme deE, l’exponentielle deuest l’endomorphisme : exp(u) =

+∞

X

k=0

1 k!u^k.

Dans les parties I et II, on propose une méthode de calcul d’exponentielle de matrice à l’aide de projecteurs spectraux dans les cas diagonalisable et non diagonalisable.

Les deux parties sont indépendantes.

I – Un calcul d’exponentielle de matrice à l’aide de projecteurs spectraux, cas diagonalisable

SoitA∈ Mn(R)une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont : λ1 < λ2 < · · · < λr, oùrdésigne un entier vérifiant1≤r≤n.

1. Polynôme interpolateur de Lagrange. On noteRr−1[X] leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à r−1.

On considère l’application linéaireφdeRr−1[X]dansR^r définie par : P 7→ (P(λ1), . . . , P(λr)).

Déterminer le noyau de φ, puis en déduire qu’il existe un unique polynôme L de Rr−1[X] tel que pour tout i∈ {1, . . . , r},L(λ_i) =e^λi.

2. Pour i∈ {1, . . . , r}, on définit le polynôme`i deRr−1[X]par :

`i(X) =

r

Y

k=1 k6=i

X−λk

λi−λk

.

(a) Calculer`i(λj)selon les valeurs dei etj dans{1, . . . , r}.

(b) En déduire une expression du polynôme L comme une combinaison linéaire des polynômes `_i avec i ∈ {1, . . . , r}.

3. Une propriété de l’exponentielle.SoitP une matrice inversible de Mn(R)et Dune matrice deMn(R).

(a) Justifier que l’endomorphisme deMn(R)défini parM 7→P M P⁻¹ est une application continue.

(b) En déduire que :

exp(P DP⁻¹) = Pexp(D)P⁻¹.

4. Déduire des questions précédentes queexp(A) =L(A).

5. On suppose queEest muni d’une baseBet on désigne parvl’endomorphisme deE dont la matrice par rapport à B est A. Soitλ une valeur propre de v et xun vecteur propre associé. Démontrer que pour tout polynôme P ∈R[X], on a :

P(v)(x) = P(λ)x.

6. Soiti∈ {1, . . . , r}, on noteEi = Ker (v−λiId)le sous-espace propre dev associé àλi.

(a) Démontrer que l’endomorphisme deE, pi =`i(v)est le projecteur sur Ei, parallèlement à

r

M

k=1 k6=i

Ek (on dit que les p_i sont les projecteurs spectraux dev).

(b) En déduire une expression deexp(A)comme une combinaison linéaire de matrices de projecteurs.

II – Un calcul d’exponentielle de matrice à l’aide de projecteurs spectraux, cas non diagonalisable

Soituun endomorphisme deE dont le polynôme minimal est(X−1)²(X−2).

7. L’endomorphismeuest-il diagonalisable ? Justifier la réponse.

8. Écrire, sans justifier, un exemple de matrice triangulaire deM3(R)dont l’endomorphisme canoniquement associé a pour polynôme minimal(X−1)²(X−2).

9. Démontrer, sans aucun calcul, queE= Ker (u−Id)²

⊕Ker (u−2Id).

10. On considère les endomorphismes deE : p= (u−Id)² et q=u◦(2Id−u). Calculerp+q.

11. Démontrer que l’endomorphismepest le projecteur surKer (u−2Id)parallèlement àKer (u−Id)²

. Que dire de l’endomorphisme q?

12. Soitxun élément deE.

(a) Préciser(u−2Id)(p(x)).

(b) Déterminer un nombre réelαtel que pour tout entier naturelk,u^k◦p=α^kp.

(c) En déduire queexp(u)◦p=βpoùβ est un réel à déterminer.

13. Que vaut pour tout entierk≥2,(u−Id)^k◦q?

Démontrer que exp(u)◦q=γu◦q où γ est un réel à déterminer (on pourra écrire en justifiant que exp(u) = exp(Id)◦exp(u−Id)).

14. Écrire enfin l’endomorphismeexp(u)comme un polynôme enu.

PROBLÈME 2 — ANALYSE — SUJET CLASSIQUE

Dans tout le problème :

• f désigne la fonction définie surRparf(x) = 1

√1 +x⁴.

• F désigne l’unique primitive def qui s’annule en0, doncF(x) = Z x

0

√ dt 1 +t⁴.

• Pour toutndeN: an = (2n)!

4ⁿ(n!)².

L’objectif de ce problème est de prouver l’existence, de déterminer la valeur exacte et une valeur approchée de la quantité

α = lim

x→+∞

Z x 0

√ dt

1 +t⁴ = Z +∞

0

√ dt 1 +t⁴.

Partie I : résultats préliminaires

1. Étude de la fonctionf

(a) Étudier la fonctionf et tracer sa courbe représentative(Cf).

(b) Déterminer le développement limité à l’ordre8 en0 def.

(c) Donner les valeurs def^(k)(0)pourk∈[[0,8]]. Énoncer avec soin le ou les théorème(s) utilisé(s).

2. Étude de la suite(a_n)_n

(a) Étudier la monotonie de la suite(an)n. (b) La suite(an)n est-elle convergente ?

(c) Démontrer que pour toutn∈N, an= 2n

n 1 4

n

. (d) Quel est le rayon de convergence de la série entièreX

n

anzⁿ?

Partie II : étude de F

Notons(C)la courbe représentative deF. 1. Étude globale deF

(a) Démontrer queF est définie et de classeC^∞ surR. (b) Donner les variations deF surR.

(c) Démontrer queF est impaire.M. Cochet : une démonstration, pas un baratin ! (d) Démontrer que pour toutx≥1, F(x)−F(1)≤1− 1

x.

(e) Énoncer le théorème concernant l’existence d’une limite finie en+∞d’une fonction croissante définie sur [A,+∞[(A >0).

(f) Déduire des deux questions précédentes queF admet une limite en+∞.

On notera désormaisα= lim

x→+∞F(x) = Z +∞

0

√ dt 1 +t⁴. 2. Étude locale deF

(a) Déterminer le développement limité deF en0à l’ordre9.

(b) Donner une équation de la tangenteT à(C)en0.

3. Lien avec α

(a) Démontrer que pour toutx >0, F(x)−F(1) =F(1)−F 1

x

. (b) En déduire queα= 2F(1).

Partie III : développement en série entière de F et utilisation

Considérons la série entièreX

n≥0

(−1)ⁿan

4n+ 1 xⁿ et sa sommeh(x). On admet que

√1

π· 1

√n+ 1 ≤ a_n ≤ 1

√π· 1

√n,

ce qui permet d’affirmer que an

n→+∞∼ 1

√πn. 1. Étude de h

(a) Donner le rayon de convergence de la série entière définissanth.

(b) Montrer queh(1)eth(−1) existent.

(c) Démontrer quehest continue sur[−1,1].

2. Développement en série entière de F

(a) Rappeler, siβ ∈R, le développement en série entière de la fonctionbdéfinie parb(x) = (1 +x)^β. Sur quel intervalle ce développement est-il valable ?

(b) En déduire quef puisF sont développables en série entière au voisinage de0et préciser leur développement en série entière.

(c) Démontrer que pour toutx∈[−1,1], F(x) =h(x).

(d) En déduire queα= 2

+∞

X

n=0

(−1)ⁿa_n 4n+ 1 . 3. Valeur approchée deα

Dans cette question, si p∈N,Spdésigne lap-ième somme partielle de la sérieX

n≥0

(−1)ⁿan

4n+ 1 soit

Sp =

p

X

n=0

(−1)ⁿan

4n+ 1 .

(a) Déterminer un majorant de|α−2S_p|dépendant de la suite(a_n)_n.

(b) En déduire à la main un entierptel que2S_p soit une valeur approchée deαà 10⁻⁶ près (M. Cochet : on ne demande pas la plus petite valeur possible, juste un praisonnable).

(c) Écrire un programme python utilisant la majoration obtenue à la question (a), déterminant un entier p plus précis tel que de |α−2Sp|est inférieur à 10⁻⁶.

PROBLÈME 3 — ALGÈBRE — SUJET CORSÉ

Dans tout le problème, les espaces vectoriels considérés ontC, le corps des complexes, pour corps de base.

Étant donnés deux entiers naturels n et p non nuls, on note Mn,p(C) l’espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes et à coefficients dans C (et 0n,p sa matrice nulle) et Mn(C) celui des matrices carrées à n lignes et à coefficients dansC(et 0_n sa matrice nulle).

SoitE unC-espace vectoriel. On noteL(E)l’espace vectoriel des endomorphismes deE.

Un endomorphismeudeE est ditéchangeurlorsqu’il existe des sous-espaces vectorielsF et GdeE tels que E=F⊕G, u(F)⊂G et u(G)⊂F.

On dit queuestde carré nul lorsqueu² est l’endomorphisme nul deE. On dit queuestnilpotentlorsqu’il existe un entier natureln≥1tel que uⁿ = 0.

Une matriceA∈ Mn(C)est ditede carré nul lorsqueA²= 0n.

L’objectif du problème est d’établir, pour un endomorphisme d’unC-espace vectoriel de dimension finie, l’équiva- lence entre les deux conditions suivantes :

(C1) l’endomorphismeuest échangeur ;

(C2) il existe (a, b)∈ L(E)², tous deux de carré nul, tels queu=a+b;

La partie I est indépendante des autres. Les résultats de la partie III sont essentiels au traitement de la partie IV (ils peuvent donc être utilisés même si la partie III n’a pas ou a peu été traitée).

0 - Quelques considérations en dimension 2

On se donne ici unC-espace vectoriel de dimension2 et un endomorphismeudeE.

Jusqu’à la fin de cette partie, on supposeude trace nulle et de déterminant non nul.

On choisit un nombre complexeδtel que δ²=−det(u).

a) Montrer queu²=δ²I_E, déterminer le spectre deuet préciser la dimension des sous-espaces propres.

b) Expliciter, à l’aide de vecteurs propres deu, une droite vectorielle D telle queu(D)6⊂D et en déduire queuest échangeur.

I - La condition (C1) implique (C2)

Soientnetpdeux entiers naturels non nuls. SoientA∈ Mp,n(C)et B∈ Mn,p(C). On considère la matrice M = ₀

n B

A 0_p

∈ Mn+p(C).

1. Calculer le carré de la matrice ₀

n B

0_p,n 0_p

deMn+p(C). Montrer ensuite queM est la somme de deux matrices de carré nul.

Jusqu’à la fin de cette partie, on se donne un endomorphisme u d’un C-espace vectorielE de dimension finie. On suppose que u est échangeur et on se donne donc une décomposition E = F ⊕G dans laquelle F et G sont des sous-espaces vectoriels vérifiantu(F)⊂Getu(G)⊂F.

2. On suppose iciF et Gtous deux non nuls.

On se donne une base(f1, . . . , fn)deF et une base(g1, . . . , gp)deG.

La famille B= (f₁, . . . , f_n, g₁, . . . , g_p)est donc une base deE.

Compte-tenu des hypothèses, décrire la forme de la matrice udansB.

3. Déduire des questions précédentes queuvérifie la condition (C2).

On n’oubliera pas de considérer le cas où l’un des sous-espaces F ouGest nul.

II - La condition (C2) implique (C1) : cas d’un automorphisme

Dans cette partie, u désigne un automorphisme d’un C-espace vectoriel E de dimension finie. On suppose qu’il existe deux endomorphismesaet bdeE tels que

u=a+b et a²=b²= 0.

4. Soitf un endomorphisme deE tel quef²= 0. ComparerKer (f)à Im (f)et en déduire dim(Ker (f))≥ 1

2dim(E).

5. Démontrer queE= Ker (a)⊕Ker (b), et queKer (a) = Im (a)et Ker (b) = Im (b).

6. En déduire queuest échangeur.

III - Intermède : un principe de décomposition

On se donne dans cette partie unC-espace vectorielE de dimension finie, ainsi qu’un endomorphismef deE. On se donne un nombre complexe arbitraireλ. On posev=f−λIE.

7. Montrer que la suite (Ker (v^k))k∈N est croissante pour l’inclusion.

8. Montrer qu’il existe un entier naturelptel que

∀k≥p, Ker (v^k) = Ker (v^p).

On introduira la plus grande dimension possible pour un sous-espace vectoriel de la forme Ker (v^k)pour k∈N. Montrer qu’alors

Ker (v^p) = [

k∈N

Ker (v^k)

et que ppeut être choisi parmi les entiers pairs.

Dans la suite de cette partie, on fixe un entier naturel pairpdonné par la question 8 et l’on pose E^c_λ(f) = [

k∈N

Ker (v^k) = Ker (v^p).

On notera queE_λ^c(f)est un sous-espace vectoriel deE.

9. Montrer queE_λ^c(f) = Ker (v^2p)et en déduire

E=E_λ^c(f)⊕Im (v^p).

Montrer en outre que les sous-espaces vectoriels E_λ^c(f)et Im (v^p)sont tous deux stables par f.

10. Montrer queλn’est pas valeur propre de l’endomorphisme induit parf surIm (v^p).

11. Montrer que siE_λ^c(f)n’est pas nul alorsλest l’unique valeur propre de l’endomorphisme induit parf surE_λ^c(f).

IV - La condition (C2) implique (C1) : cas non bijectif

Dans cette partie, on admet la validité de l’énoncé suivant.

Théorème: tout endomorphisme nilpotent d’un espace vectoriel de dimension finie est échangeur.

On se donne ici un endomorphisme non bijectifud’unC-espace vectorielE de dimension finie. On suppose qu’il existe deux endomorphismesaet bdeE tels que

u=a+b et a²=b²= 0.

12. Montrer queaet bcommutent avecu².

On fixe maintenant un entier pairptel que E₀^c(u) = Ker (u^p), donné par la question 8.

13. Montrer que le sous-espace vectorielG= Im (u^p)est stable paraet bet que les endomorphismes induits a_G et b_G sont de carré nul.

14. En déduire queuest échangeur.On pourra utiliser, entre autres, le résultat final de la partie II.

PROBLÈME 4 — ANALYSE — SUJET CORSÉ

1. Fonction h:

Soit la série entière de terme généralun(x),n= 0,1,2, . . . , définie par la relation suivante : un(x) =

2n n

xⁿ.

Rappel : pour tout entier strictement positif n et tout entier naturel p tel que0 ≤ p≤ n, n

p

= C_n^p est le cardinal de l’ensemble des parties ayantpéléments d’un ensemble denéléments. Par convention :

0 0

= 1.

SoitR le rayon de convergence de la série entière de terme généralun(x); la sommehde cette série entière est la fonction définie à l’intérieur de l’intervalle ouvert ]−R, R[par la relation :

h(x) =

+∞

X

n=0

2n n

xⁿ.

(a) Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière de terme généralun(x).

(b) Démontrer que, sur l’intervalle ouvert de convergence]−R, R[, la fonctionhvérifie l’équation différentielle linéaire du premier degré

(1−4x)h⁰(x) = 2h(x).

(c) En déduire l’expression dehsur l’intervalle ouvert]−R, R[.

2. Fonctions Mp :

Soitpun entier strictement positif (p≥1) ; soitMp la fonction définie sur la demi-droite ouverte]− ∞,1[par la relation :

Mp(x) = 1 (1−x)^p.

Déterminer le développement en série entière de la fonctionMp dans un voisinage de0. Exprimer le coefficient dex^k à l’aide de

p+k−1

k =

p+k−1 p−1

. 3. Fonction f :

Soitf la fonction définie par la relation :

f(x) = 1

√

1−6x+x². (a) Quel est l’ensemble de définitionDf de la fonctionf?

(b) Déterminer pour quelles valeurs du réelxla relation suivante f(x) = 1

1−x·h x (1−x)²

!

est vérifiée. En déduire que, dans un voisinage de 0, la fonction f est égale à la somme d’une série de fonctionsfn,n= 0,1, 2, . . . , définies par la relation :

fn(x) = λnM2n+1(x)xⁿ.

Lesλn sont des scalaires qui seront déterminés ; il vient par suite : f(x) =

+∞

X

n=0

λ_nM_2n+1(x)xⁿ.

(c) Déduire des résultats précédents l’existence d’un développement en série entière de la fonctionf dans un voisinage de0 :

f(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ.

Exprimer chaque coefficienta_n à l’aide de la somme d’une série. Préciser le rayon de convergence de la série entière de terme général anxⁿ, n= 0,1,2. . .

(d) Démontrer que la fonctionf vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre : a(x)f⁰(x) +b(x)f(x) = 0,

dans laquelle les deux fonctionsaetb sont des polynômes de degré inférieur ou égal à2. Les déterminer.

(e) En déduire que les coefficientsan,n= 0,1,2, . . . du développement en série entière de la fonctionf vérifient, pour tout entiernsupérieur ou égal à1, la relation de récurrence(R) suivante :

(R) ∀n≥1, (n+ 1)a_n+1−3(2n+ 1)a_n+na_n−1 = 0.

Déterminer les coefficientsa0,a1,a2et a3. 4. Fonction g :

Le but de cette question est la recherche d’une fonction gqui possède les deux propriétés : i. les valeurs deg(0) et deg⁰(0)sont données par les relations suivantes :

g(0) = 0, g⁰(0) = 1,

ii. le réelg(x)est la somme d’une série entière de terme généralb_nxⁿ,n= 0,1, 2, . . . , dont les coefficients b_n, n= 0,1,2, . . . , vérifient la relation de récurrence suivante :

(R) ∀n≥1, (n+ 1)bn+1−3(2n+ 1)bn+nbn−1 = 0.

(a) Démontrer que les coefficientsbn,n= 0, 1,2, . . . , sont bien déterminés ; calculerb0, b1,b2 etb3.

En supposant le rayon de convergence de la série entière de terme généralbnxⁿ,n= 0,1,2, . . . , strictement positif, déterminer une équation différentielle du premier ordre vérifiée par la fonctiong.

(b) Établir la relation :

g(x) = f(x)· Z x

0

f(t)dt.

(c) En déduire l’expression de chaque coefficientbn au moyen des coefficientsak,k= 0,1,2, . . . ,n. En déduire une minoration du rayon de convergence de la série entière de terme généralbnxⁿ,n= 0,1,2, . . . . (d) Soitnun entier strictement positif ; soitd_n le plus petit commun multiple desnpremiers entiers1,2, . . . ,

n. Démontrer que le réeld_n·b_n est un entier relatif : d_n·b_n∈Z.

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 6 – Concours blanc – éléments de correction

PROBLÈME 1 — ALGÈBRE — SUJET CLASSIQUE

d’après CCP 2010 MP Maths 2

I – Un calcul d’exponentielle de matrice à l’aide de projecteurs spectraux, cas diagonalisable

1. Si P ∈ Kerφ alorsP(λ₁) =· · · =P(λ_r) = 0 doncP admet rracines distinctes. Or deg(P)≤r−1 donc ceci implique queP = 0. Comme0∈Kerφ, on a Kerφ={0} .

Ainsi φ est une application linéaire injective deRr−1[X] dansR^r. Mais dim Rr−1[X]

= dim R^r

doncφ est une bijection.

Tout élément de R^r admet donc un unique antécédent parφet c’est notamment le cas pour e^λ1, . . . , e^λr . Ainsi il existe un unique polynôme L∈Rr−1[X]tel que pour touti∈[[1, r]], L(λi) =e^λi .

2. (a) On a facilement `_i(λ_i) =δ_i,j (symbole de Kronecker) . (b) Procédons par analyse/synthèse.

SiLs’écrit comme combinaison linéaire de la famille `i

i∈[[1,r]], alorsL=

r

X

i=1

αi`i, donc pour toutj∈[[1, r]]: e^λj =L(λ_j) =

r

X

i=1

α_i`_i(λ_j) =α_j d’après (a).

Réciproquement, le polynôme P =

r

X

i=1

e^λi`_i vérifie bien : ∀j ∈[[1, r]], P(λ_j) =e^λj et P ∈Rr−1[X] donc P =L.

Ainsi L=

r

X

i=1

e^λi`i . 3. Une propriété de l’exponentielle.

(a) Toute application linéaire de source un espace vectoriel de dimension finie et de but un espace vectoriel normé quelconque est continue. Donc, ici M 7→P M P⁻¹est continue .

(b) Par récurrence immédiate, pour tout k ∈ N, il vient P DP^−1k

=P D^kP⁻¹. Par conséquent, pour tout N ∈N:

N

X

k=0

P DP⁻¹k

k! =

N

X

k=0

P D^kP⁻¹ k! = P

N

X

k=0

D^k k!

! P⁻¹. Par définition, quandN →+∞le premier membre tend versexp P DP⁻¹

tandis que le second tend vers Pexp(D)P⁻¹grâce à la continuité deM 7→P M P⁻¹ car

N

X

k=0

D^k k!

N→+∞

−→ exp(D).

Il s’ensuit que exp P DP⁻¹

=Pexp(D)P⁻¹ .

4. Puisque A est diagonalisable, il existe P ∈ GLn(R) et D = diag µ1, . . . , µn

telles que A = P DP⁻¹. On a alors,par récurrence immédiate, pour toutk∈N, D^k = diag µ^k₁, . . . , µ^k_n

donc, pour tout polynômeP ∈R[X]: P(D) = diag P(µ₁), . . . , P(µ_n)

. Ainsi, d’une part :

∀N ∈N,

N

X

k=0

D^k

k! = diag

N

X

k=0

µ^k₁ k!, . . . ,

n

X

k=0

µ^k_n k!

!

et donc exp(D) = diag (e^µ1, . . . , e^µn).

D’autre partL(D) = diag L(µ1), . . . , L(µn)

= diag (e^µ1, . . . , e^µn)car chaqueµjappartient àSp(A) =

λ1, . . . , λr . Donc exp(A) = exp P DP⁻¹

= Pexp(D)P⁻¹ = P L(D)P⁻¹. Or, d’après 3.(b) : L P DP⁻¹

= P L(D)P⁻¹. D’où enfin exp(A) =L(A).

5. Par récurrence immédiate, on a pour toutk∈N, v^k(x) =λ^kx. Par conséquent siP =

d

X

k=0

akX^k, alors

P(v)(x) =

d

X

k=0

a_kv^k(x) =

d

X

k=0

a_kλ^kx =

d

X

k=0

a_kλ^k

! x

soit P(v)(x) =P(λ)x. 6. (a) ToutxdeE s’écritx=

r

X

j=1

x_j avecx_j∈E_j. On en déduit

`i(v)(x) =

r

X

j=1

`i(v)(xj) =^5.

r

X

j=1

`i(λj)xj 2.(a)

= xi.

Il s’ensuit que pi =`i(v)est le projecteur surEi parallèlement à

r

M

k=1 k6=i

Ek .

(b) On a donc :

exp(A) =^4. L(A)^2.(b)=

r

X

i=1

e^λi`_i(A) =

r

X

i=1

e^λi`_i([v]_B) =

r

X

i=1

e^λi[`_i(v)]_B

ce qui donne avec 6.(a) : exp(A) =

r

X

i=1

e^λi[pi]B .

II – Un calcul d’exponentielle de matrice à l’aide de projecteurs spectraux, cas non diagonalisable

7. Si u était diagonalisable, alors son polynôme minimal n’admettrait que des racines simples. Par conséquent un’est pas diagonalisable .

8. Prenons A=





1 1 0 0 1 0 0 0 2



. Il vientχA(X) = (X−1)²(X−2)doncπA(X) = (X−1)^m(X−2)avec1≤m≤2.

Mais E₁(A) =R·



 1 0 0



doncAn’est pas diagonalisable, puism6= 1. AinsiArépond à la question.

9. Puisque π = (X −1)²(X −2) est annulateur pour u, on a E = Ker π(u)

= Ker

(u−Id)² ◦(u−2Id) . Or (X −1)² et X −2 sont premiers entre eux, donc le théorème de décomposition des noyaux stipule que

E= Ker (u−Id)²

⊕Ker u−2Id .

10. Sans détour :(u−Id)²+u◦(2Id−u) = (u²+ 2u+ Id) + (2u−u²)soit p+q= Id . 11. D’après 9., toutx∈E s’écritx=x₁+x₂avecx₁∈Ker (u−Id)²

etx₂∈Ker u−2Id

. On a alors p(x) = p(x1) +p(x2) = p(x1) + (Id−q)(x2) = (u−Id)²(x1) +x2+u◦(u−2Id)(x2) = 0E+x2+ 0E

doncp(x) =x2. Ceci permet d’affirmer que pest le projecteur surKer u−2Id

parallèlement àKer (u−Id)² . De plusq(x) =x−p(x) =x1 donc qest le projecteur surKer (u−Id)²

parallèlement àKer u−2Id . 12. Soitxun élément deE.

(a) Pour toutx∈E,p(x)∈Ker u−2Id

donc ∀x∈E, (u−2Id)(p(x)) = 0E .

(b) La démonstration vue à la question 5. donne :∀x∈E,u^k(p(x)) = 2^kp(x). Ainsi u◦p= 2^kp. (c) D’après la question précédente, nous avons pour toutN ∈N:

N

X

k=0

u^k k!

!

◦p =

N

X

k=0

u^k◦p k! =

N

X

k=0

2^kp k! =

N

X

k=0

2^k k!

! p.

Or l’endomorphisme de L(E) défini par v 7→v◦pest continu car de source L(E)de dimension finie. De même, l’application linéaire t7→tpest continue deR dansL(E). En passant à la limite quand N →+∞

dans l’égalité ci-dessus, on obtient exp(u)◦p=e²p. 13. Pourx∈E, il vientq(x)∈Ker (u−Id)²

. On en déduit que pour toutk≥2 : (u−Id)^k(q(x)) = (u−Id)^k−2 (u−Id)²(q(x))

= (u−Id)^k−2(0E) = 0E.

Finalement ∀k≥2, (u−Id)^k◦q= 0_L(E) . Nous en déduisons que pour toutN ≥2:

N

X

k=0

(u−Id)^k k!

!

◦q = q+ (u−Id)◦q = u◦q.

Comme au 12.(c), en passant à la limite quand N→+∞:exp(u−Id)◦q=u◦q.

D’autre part, le résultat du 6. s’applique à l’identité et doncexp(Id) =e¹Id. OrIdetu−Idcommutent, d’où exp(u)◦q = exp(Id +u−Id)◦q = exp(Id)◦exp(u−Id)◦q = eId◦u◦q

et enfin exp(u)◦q=e u◦q.

14. Remarquons que, d’après 10., 12.(c) et 13. :

exp(u) = exp(u)◦Id ^10.= exp(u)◦(p+q) = exp(u)◦p+ exp(u)◦q ^12.(c)et13.

= e²p+e u◦q.

Enfin, en revenant à la définition depet q: exp(u) =e²(u−Id)²−e u²◦(u−2Id).

PROBLÈME 2 — ANALYSE — SUJET CLASSIQUE

d’après E3A 2011 PC Maths A

Partie I : résultats préliminaires

1. Étude de la fonctionf

(a) La fonctionf est impaire, décroissante surR+ et de limite nulle en+∞.

(b) D’après la formule du binôme généralisé : (1 +t)⁻¹² = 1−1

2t+ −¹₂

−¹₂−1

2! t²+o(t²) = 1−1 2t+3

8t²+o(t²).

En posantt=x⁴, il vient :

f(x) = 1

√1 +x⁴ = 1−1 2x⁴+3

8x⁸+o(x⁸).

(c) La fonction f est de classe C^∞ sur R, donc elle admet un développement limité à l’ordre8 donné par la formule de Taylor-Younq : f(x) =

8

X

k=0

f^(k)(0)

k! x^k+o(x⁸).

Par unicité du développement en série entière, il vient : f⁽⁴⁾(0) = −1

24! = −12, f⁽⁸⁾(0) =3

8 ×8! = 3×7! = 15120, f^(k)(0) = 0 sikn’est pas multiple de4. 2. Étude de la suite(an)n

(a) On a pour toutn∈N: an>0. Ainsi an+1

an

=(2n+ 2)(2n+ 1)

4(n+ 1)² =2n+ 1

2n+ 2 <1, donc (an)n est décroissante . (b) La suite(a_n)_n est décroissante d’après la question précédente, et clairement minorée par0. Par conséquent

la suite (an)n est convergente .

(c) Il est clair que pour toutn∈N, an= (2n)!

4ⁿ(n!)² = 2n

n 1 2

ⁿ . (d) On a an > 0 et an+1

an

= 2n+ 1 2n+ 2

n→+∞−→ 1 = `. D’après la règle de d’Alembert pour les séries entières :

le rayon de convergence de la série entièreX

n

a_nzⁿ est 1

` = 1 .

Partie II : étude de F

Notons(C)la courbe représentative deF. 1. Étude globale deF

(a) La fonctionF est une primitive de f, donc d’après le théorème fondamental du calcul intégral (TFCI) :F est de classeC¹ surR. En outreF⁰=f est de classeC^∞, d’où F est de classeC^∞ surR.

(b) PuisqueF⁰ =f >0, on en déduit que F est strictement croissante surR.

(c) L’ensemble de définition deF est centré en0. De plus, pourx∈Ret par changement de variablet=−s, nous obtenons

F(−x) = Z −x

0

√ dt

1 +t⁴ = Z x

0

−ds

p1 + (−s)⁴ = − Z x

0

√ ds

1 +s⁴ = −F(x)

d’où comme espéré F est impaire . (d) Pour tout réelt, il vientf(t) = 1

√1 +t⁴ ≤ 1

t². Par intégration sur[0, x]: F(x)−F(1)≤

−1 t

^x

1

= 1−1 x . (e) Toute fonction croissante et majorée sur[A,+∞[ admet une limite finie en+∞.

(f) Sur [1,+∞[, la fonction F est croissante (question (b)) et majorée (question (d)), donc d’après la ques- tion (e) : F admet une limite en+∞.

On notera désormaisα= lim

x→+∞F(x) = Z +∞

0

√ dt 1 +t⁴. 2. Étude locale deF

(a) Nous obtenons le développement limité de F en 0 à l’ordre 9 par intégration de celui de f obtenu à la question 1.(b) de la partie I et en utilisant le fait queF(0) = 0:

F(x) =x− 1

10x⁵+ 1

24x⁹+o(x⁹).

(b) Une équation de la tangenteT à (C)en 0s’obtient à l’aide du développement limité de la question précé- dente : y=x.

3. Lien avec α

(a) Soitx >0. Le changement de variablet= 1

u nous fournit les égalités : F(x)−F(1) =

Z x 1

√ dt

1 +t⁴ = Z ¹_x

1

−_u¹2du q

1 + _u¹₄

= Z 1

x1

√ du

1 +u⁴ = F(1)−F 1

x

,

d’où la relation F(x)−F(1) =F(1)−F 1

x

.

(b) La fonctionF est continue en0avecF(0) = 0, ce qui nous donne dans la relation de la question précédente pour x→+∞: α= lim

x→+∞F(x) = 2F(1).

Partie III : développement en série entière de F et utilisation

1. Étude de h

(a) Posonsv_n =(−1)ⁿa_n

4n+ 1 . Pour toutn,v_n6= 0. Par conséquent

vn+1

v_n

= an+1(4n+ 1)

a_n(4n+ 5) = (2n+ 1)(4n+ 1) (2n+ 2)(4n+ 5)

n→+∞−→ 1 = `.

Par conséquent, d’après la règle de d’Alembert pour les séries entières :

le rayon de convergence de la série entière définissant hest 1.

(b) Pour x=±1, il vient

(−1)ⁿa_n 4n+ 1 xⁿ

= a_n

4n+ 1 ∼ 1 4√

πn³². Or la série de Riemann X

n≥1

1

n³² converge, d’où par comparaison de séries à termes positifs : la série entière définissant h(x)converge absolument en±1.

Finalement h(1)et h(−1)existent .

(c) Démontrer que h est continue sur [−1,1]. Posons f_n(x) = (−1)ⁿa_n

4n+ 1 xⁿ. Or il est clair que kfnk^[−1,1]_∞ = an

4n+ 1 ∼ 1 4√

πn³², terme général d’une série convergente.

Ainsi la série de fonctions continues Pf_n converge normalement donc absolument sur [−1,1]. D’après le cours : la sommehdeX

f_n est continue sur[−1,1]. 2. Développement en série entière de F

(a) C’est la formule du binôme généralisé qui nous fournit le développement en série entière de la fonction x7→(1 +x)^β sur]−1,1[:

∀x∈]−1,1[, (1 +x)^β =

+∞

X

n=0

β(β−1)· · ·(β−n+ 1)

n! xⁿ.

(b) Remarquons quef(x) = (1 +x⁴)⁻⁴¹ pour tout x∈]−1,1[. Ainsif admet bien un développement en série entière (DSE) sur ]−1,1[. Par primitivation d’un DSE : F admet également un DSE sur]−1,1[. Avec la formule précédente pour β=−1

2 et x∈]−1,1[: f(x) =

+∞

X

n=0

(−1)(−3)· · ·(−2n+ 1) 2ⁿn! x⁴ⁿ =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ(2n)!

(2ⁿn!)² x⁴ⁿ =

+∞

X

n=0

(−1)^{n 2n}_n 4ⁿ x⁴ⁿ,

d’où : ∀x∈]−1,1[,f(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿanx⁴ⁿ . En intégrant, ce qui est licite puisquex∈]−1,1[, on trouve

comme par hasard : F(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿan

4n+ 1 x⁴ⁿ⁺¹=h(x).

(c) La question est de prolonger l’égalité de la question précédente à [−1,1]. Mais les deux fonctions F et h sont continues sur[−1,1]d’après respectivement les questions 1.(a) de la partie II et 1.(c) de la partie III.

D’où F =hsur[−1,1].

(d) D’après la question 3.(b) de la partie II et la question précédente : α= 2F(1) = 2h(1) = 2

+∞

X

n=0

(−1)ⁿan

4n+ 1 . 3. Valeur approchée deα

(a) La série X

n≥0

(−1)ⁿa_n

4n+ 1 est une série alternée dont le terme général est de limite nulle (car 1

4n+ 1 → 0 et a_n →0) et dont la valeur absolue décroît (question 2.(a) de la partie I). Elle vérifie donc le critère spécial des séries alternées (CSSA), donc converge. On le savait déjà, ainsi que la valeur de sa somme α

2, d’après la question 2.(d) de la partie III.

D’après un corollaire du CSSA, le reste de la série est majoré en valeur absolue par la valeur absolue du premier terme négligé. En d’autres termes : pour toutp∈N, |α−2Sp| ≤ 2

4p+ 5ap+1 .

(b) La double inégalité fournie par l’énoncé nous permet d’affirmer que pour toutp,

|α−2Sp| ≤ 2

4p+ 5 · 1

√π√

p+ 1 = up ≤ 1

(p+ 1)³² = vp.

Cherchons unpassez grossier tel quevp≤10⁻⁶. Nous avons 1

(p+ 1)³² ≤10⁻⁶si et seulement si(p+ 1)³² ≥ 10⁶, soitp+ 1≥10⁴. Ainsi

pourp= 10000nous savons que2Spest une valeur approchée deαà10⁻⁶ près . (c) Un programmepythondéterminant le premierptel que up≤10⁻⁶ est :

import numpy as np def u(p):

return 2 / ( (4*p+5) * np.sqrt( np.pi * (p+1) ) ) p = 0

while u(p)>0.000001:

print(p,u(p)) p = p + 1

Ce programme nous permet d’affirmer que la valeur recherchée est p= 4300.

PROBLÈME 3 — ALGÈBRE — SUJET CORSÉ

d’après Mines 2017 PSI maths 2

0 - Quelques considérations en dimension 2

a) L’espaceE étant de dimension2, le polynôme caractéristique deuestχu=X²−Tr(u)X+ det(u) =X²−δ². Ce polynôme annulantu(Cayley-Hamilton) on en déduit queu²=δ²Id_E.

Le spectre est l’ensemble des racines deχuet vaut ici{δ,−δ}. On a deux valeurs propres en dimension2et comme les sous-espaces propres sont en somme directe, il ne peuvent qu’être de dimension1.

u²=δ²Id_E,Sp(u) ={δ,−δ},dim(E_δ(u)) = dim(E_−δ(u)) = 1.

b) Notonse₊ un vecteur propre pourδ ete₋ un vecteur propre pour−δ. Ces vecteurs sont indépendants et on a u(e++e₋) = δ(e+−e₋).

L’espace D = Vect(e+ +e−) est une droite (car e+ +e− 6= 0) et elle n’est pas stable par u (car δ 6= 0 et (e₊+e₋, e₊−e₋)est libre car (e₊, e₋)l’est). On a doncu(D)6⊂D.

PosonsF=D et G=u(D). Ce sont des droites (car uest inversible et conserve la dimension) non égales et donc en somme directe (intersection réduite à {0}). Par dimension, ce sont des supplémentaires de E. Par définition u(F) =G. De plusu(G) =u²(F) =δ²F =F. Ainsi

uest échangeur .

I - La condition (C1) implique (C2)

Soientnet pdeux entiers naturels non nuls. SoientA∈ M_p,n(C)et B ∈ M_n,p(C). On considère dansM_n+p(C) la matrice

M =_{0n B}

A 0p

. 1. Un calcul par blocs montre que

_{0n B}

0_p,n 0_p

²

= _{0n 0n,p}

0_p,n 0_p

= 0n+p. On montre de même que

₀

n 0_n,p A 0_p

²

= ₀

n 0_n,p 0_p,n 0_p

= 0n+p.

Par conséquent M =₀

n 0_n,p A 0p

+ ₀

n B

0p,n 0p

est somme de deux matrices de carré nul.

2. u(F)⊂Gindique qu’il y a un bloc de0en haut à gauche.

u(G)⊂F indique qu’il y a un bloc de0en bas à droite.

Finalement il existe AetB telles que Mat^B_B(u) =₀

n B

A 0_p

.

3. SiF etGsont non nuls, la question1.montre queuvérifie(C2)en utilisant l’isomorphisme entre endomorphisme et matrice associée dans la baseB. SiF est nul, alorsG=E etIm (u) =u(G)⊂F ={0}.uest l’endomorphisme nul qui vérifie immédiatement(C2). C’est la même chose siG={0} (travailler alors avecF =E).

Ainsi uvérifie (C2).

II - La condition (C2) implique (C1) : cas d’un automorphisme

4. Six∈Im (f), il existey tel quex=f(y)et doncf(x) =f²(y) = 0. Ainsix∈Ker (f). Par théorème du rang, dim(E) = dim(Ker (f)) + dim(Im (f))≤2 dim(Ker (f)).

On a donc Im (f)⊂Ker (f)etdim(Ker (f))≥dim(E)

2 .

5. Soit x ∈ Ker (a)∩Ker (b). On a u(x) = a(x) +b(x) = 0 et comme u est injective x = 0. Ceci montre que Ker (a)⊕Ker (b).

Soitx∈E; on a x=u(u⁻¹(x)) =a(u⁻¹(x)) +b(u⁻¹(x))∈Ker (a) + Ker (b)cara²=b²= 0.

Ainsi E= Ker (a)⊕Ker (b).

De plus Im (a)⊂Ker (a)(cara²= 0) et Im (b)⊂Ker (b)(carb²= 0).Ker (a)⊕Ker (b)entraîne ainsiIm (a)⊕ Im (b). Mais on a aussi :

∀x∈E, x=u(u⁻¹(x)) =a(u⁻¹(x)) +b(u⁻¹(x))∈Im (a) + Im (b)

et donc E= Im (a) + Im (b)et finalementE= Im (a)⊕Im (b).

Si l’une des inclusions Im (a) ⊂ Ker (a) ou Im (b) ⊂ Ker (b) était stricte, on aurait dim(E) = dim(Im (a)) + dim(Im (b))<dim(Ker (a)) + dim(Ker (b)) = dim(E)ce qui est une contradiction. Les inclusions sont donc des égalités.

Il s’ensuit que Im (a) = Ker (a)etIm (b) = Ker (b).

6. On a u(Ker (a)) ⊂a(Ker (a)) +b(Ker (a)) = b(Ker (a))⊂ Im (b) = Ker (b) et de même u(Ker (b))⊂ Ker (a).

CommeKer (a)et Ker (b)sont supplémentaires : uest échangeur .

III - Intermède : un principe de décomposition

7. Soit k ∈ N. Si x ∈ Ker (v^k) alors v^k+1(x) = v(v^k(x)) = v(0) = 0 et donc x ∈ Ker (v^k+1). Ainsi Ker (v^k) ⊂ Ker (v^k+1)et (Ker (v^k))_k∈Ncroît pour l’inclusion .

8. La suite de terme général dk= dim(Ker (v^k))est donc aussi croissante. Or, elle est majorée (pardim(E)). Elle est donc convergente.

Comme elle est constituée d’entiers, elle finit par stationner (puisque pour des indices grands, deux termes consécutifs de la suite sont des entiers distants de moins de 1

2). En notant p le rang à partir duquel la suite stationne, on peut conclure que ∃p∈N/ ∀k≥p, Ker (v^k) = Ker (v^p).

Comme les noyaux sont emboîtés, on aS

k≤pKer (v^k) = Ker (v^p). La réunion avec les noyaux suivants ne change alors rien puisque ceux-ci sont égaux àKer (v^p). Par conséquent Ker (v^p) = S

k∈N

Ker (v^k).

Sipconvient, tout entier plus grand quepconvient aussi et on peut supposerppair quitte à le changer enp+ 1.

9. Les noyaux étant emboîtés, E_λ^c(f) = Ker (v^p)⊂Ker (v^2p). Mais Ker (v^2p) est aussi inclus dans la réunion des Ker (v^k)pourk≥pet donca fortiori dansKer (v^p). Ainsi,

E_λ^c(f) = Ker (v^2p).

Soitx∈E_λ^c(f)∩Im (v^p). Il existeytel quex=v^p(y)etv^2p(y) =v^p(x) = 0montre quey∈Ker (v^2p) = Ker (v^p) et donc quex=v^p(y) = 0. On a donc E^c_λ(f)⊕Im (v^p).

Par théorème du rang, les sommes des dimensions de E_λ^c(f) = Ker (v^p) et Im (v^p) vaut dim(E). La somme précédente est donc égale à Eet nos espaces sont supplémentaires dansE.

Si x∈Im (v^p), alorsxs’écritx=v^p(y)doncv(x) =v^p(v(y))∈Im (v^p).

Si x∈Ker (v^p), alorsv^p(v(x)) =v(v^p(x)) =v(0) = 0et doncv(x)∈Ker (v^p).

On en déduit que E_λ^c(f)etIm (v^p)sont des supplémentaires deE stables parf .

10. Supposons, par l’absurde, que λ soit valeur propre de f|_{Im (v}p). Il existe alors x ∈ Im (v^p) non nul tel que f(x) =λxc’est-à-dire tel que x∈Ker (v)⊂E^c_λ. Comme E_λ^c(f)et Im (v^p)sont en somme directe,x= 0et ceci est contradictoire.

Ainsi λ /∈Sp(f|Im (v^p)).

11. D’une part le polynôme(X−λ)^pannulef|_E^c

λ(f) (par définition deE_λ^c(f)). La seule valeur propre possible pour f|E_λ^c(f)est doncλ.

D’autre part siE_λ^c(f)n’est pas réduit à{0}(ce qui revient à dire queλest valeur propre def), l’inclusion est une égalité (par exemple car dans unC-espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à1, tout endomorphisme a au moins une valeur propre).

Finalement Sp(f|_Ec

λ(f)) ={λ} .

IV - La condition (C2) implique (C1) : cas non bijectif

12. Il vientu²=a²+a◦b+b◦a+b²=a◦b+b◦a. Ainsi

a◦u²=a²◦b+a◦b◦a=a◦b◦a=a◦b◦a+b◦a²=u²◦a.

On procède de même avecu²◦b. Par conséquent a◦u²=u²◦aet b◦u²=u²◦b.

13. Comme acommute avecu², il commute avec toutes les itérées deu² et donc avec u^p puisque pest pair. Ainsi, six∈Im (u^p), il existeytel quex=u^p(y)eta(x) =a◦u^p(y) =u^p◦a(y)∈Im (u^p).Im (u^p)est donc stable par aet de même il est stable parb.

Les applications aG et bG sont ainsi des endomorphismes de G et a²_G = (a²)G = 0 (idem pour b). D’où a²_G =b²_G= 0.

14. Notons F = E₀^c(u). Les espacesF et Gsont stable par u, et la restriction uF de u à F est nilpotente (0 est la seule valeur propre avec la question 11) et la restriction u_G deuà Gest inversible (0 n’est pas seule valeur propre avec la question 10).

D’une part, d’après le résultat admis il existe une décompositionF =F1⊕F2telle queu(F1)⊂F2etu(F2)⊂F1. D’autre part avec la question précédenteuGvérifie(C2)et comme c’est un automorphisme, la partie II s’applique.

Il existe une décomposition G=G1⊕G2telle que u(G1)⊂G2 etu(G2)⊂G1.

Par conséquent en posantH1=F1⊕G1etH2=F2⊕G2(le caractère direct des somme découle deF⊕G), on a alorsE=H1⊕H2(on décompose surFetGet on décompose chaque composante) etu(H1)⊂H2,u(H2)⊂H1. Ainsi uest échangeur .

PROBLÈME 4 — ANALYSE — SUJET CORSÉ

d’après Mines 2000 MP Maths 2 1. (a) Puisque

2n n

>0, nous pouvons appliquer le critère de d’Alembert :

2n+2 n+1

2n n

= (2n+ 2)(2n+ 1) (n+ 1)²

n→+∞−→ 4,

et ainsi le rayon Rest égal à 1 4 .

(b) On sait quehest de classeC¹ sur]−R, R[comme somme d’une série entière sur son intervalle ouvert de convergence, avech⁰(x) =

+∞

X

n=0

(n+1)

2n+ 2 n+ 1

xⁿpour toutx∈]−R, R[. Nous avons donc, pourx∈]−R, R[:

(1−4x)h⁰(x) =

+∞

X

n=0

(n+ 1)

2n+ 2 n+ 1

xⁿ−4

+∞

X

n=0

(n+ 1)

2n+ 2 n+ 1

xⁿ⁺¹

=

+∞

X

n=0

(n+ 1)

2n+ 2 n+ 1

xⁿ−4

+∞

X

n=1

n 2n

n

xⁿ

= 2

1

+

+∞

X

n=1

(2n+ 1)(2n+ 2)

n+ 1 −4n 2n n

xⁿ

= 2 +

+∞

X

n=1

2 2n

n

xⁿ

= 2h(x).

(c) La solution générale sur

−∞,1 4

de l’équation différentielle est de la formey(x) = λ

√1−4x, où λdécrit R. Commeh(0) = 1, nous obtenons h(x) = 1

√1−4x pour toutx∈

−1 4,1

4

. 2. La formule du binôme généralisé stipule que pour toutα∈Ret pour toutx∈]−1,1[:

(1 +x)^α =

+∞

X

k=0

α(α−1)· · ·(α−k+ 1)

k! x^k.

En particulier pour α=−p: M_p(x) =

+∞

X

k=0

−p(−p−1)· · ·(−p−k+ 1)

k! (−x)^k =

+∞

X

k=0

p+k−1 k

x^k

pour toutx∈]−1,1[. Le coefficient enx^k du développement en série entière deMpest donc égal à

p+k−1 k

. 3. (a) Le trinôme1−6x+x²s’annule en3−√

8et3 +√

8. Par conséquent la fonctionf est définie sur le domaine D_f =]− ∞,3−√

8[∪]3 +√

8,+∞[.

(b) Soitx∈Df, en particulier,x6= 1. On a alors :

−1

4 < x

(1−x)² < 1

4 ⇐⇒ −(1−x)² < 4x < (1−x)² ⇐⇒ −(1 +x)² < 0 < 1−6x+x².

Par conséquent la quantité 1 1−xh

x (1−x)²

est bien définie sauf quand x=−1, avec : 1

1−xh x

(1−x)²

= 1

(1−x)q

1−4_(1−x)^x 2

= |1−x|

1−x · 1

p(1−x)²−4x = f(x)|1−x|

1−x.

La relation f(x) = 1 1−xh

x (1−x)²

demandée est donc vérifiée pourx∈ Df avecx6= −1 et x <1, soit pour x∈]− ∞,3−√

8[\{−1}. En particulier, on peut écrire :

∀x∈]−1,3−√

8[, f(x) = 1 1−x

+∞

X

n=0

2n n

x (1−x)²

ⁿ

=

+∞

X

n=0 2n

n

(1−x)²ⁿ⁺¹xⁿ.

Il vient donc f(x) =

+∞

X

n=0

λ_nM_2n+1(x)xⁿ pour toutx∈]−1,3−√

8[, avecλ_n= 2n

n

et M_2n+1(x) = 1 (1−x)²ⁿ⁺¹. (c) Soitx∈]−1,3−√

8[. Commex∈]−1,1[, nous pouvons écrire : f(x) =

+∞

X

n=0

λn +∞

X

k=0

2n+k k

x^k

!

x^{n k=m−n}=

+∞

X

n=0

λn +∞

X

m=n

m+n m−n

x^m

! .

Nous devons maintenant échanger l’ordre des deux sommations. Notons doncu_n,mle réel égal à0sim < n et àλn

m+n m−n

x^msinon. Pourx∈]−3+√ 8,3−√

8[. La famille(un,m)_(n,m)∈N2est sommable, puisque d’une part pour toutnla série X

m≥0

|un,m|converge (la somme est finie !) et d’autre part la sérieX

n≥0 +∞

X

m=0

|un,m|

!

converge. D’après le théorème de Fubini, il est possible d’échanger l’ordre de sommation :

+∞

X

n=0 +∞

X

m=0

u_n,m

!

=

+∞

X

m=0 +∞

X

n=0

u_n,m

! ,

ce qui donne :

f(x) =

+∞

X

m=0 +∞

X

n=0

un,m

!

=

+∞

X

m=0 m

X

n=0

λn

m+n m−n

! x^m,

pour toutx∈]−3 +√

8,3−√

8[. La fonction f est donc développable en série entière au voisinage de0, le coefficient a_n demandé étant égal à

m

X

n=0

2n n

m+n m−n

. Nous avons montré précédemment que la série X

n≥0

anxⁿ était convergente pour |x| < 3−√

8. Nous en

déduisons que le rayon de convergence de la série entière est au moins égal à 3−√

8. D’autre part, la quantité f(x) tendant vers l’infini quand xtend vers 3−√

8, le rayon de convergence est au plus égal à 3−√

8. Finalement le rayon de convergence est exactement égal à3−√ 8 .

(d) Nous avons(1−6x+x²)f²(x) = 1, d’où en dérivant (−6 + 2x)f²(x) + (2(1−6x+x²)f(x)f⁰(x) = 0, puis (−3 +x)f(x) + (1−6x+x²)f⁰(x) = 0

pour toutx∈Df (carf ne s’annule pas). Par conséquent la fonctionf vérifie l’équation différentielle