PROBLÈME 1 — SUJET CLASSIQUE Partie préliminaire

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 7

du jeudi 24 janvier Durée : 4 heures

Toute calculatrice interdite

Instructions générales : Les candidats sont priés

• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien neuf pages ;

• de ne traiter que le sujet qui leur est destiné :

? classique, composé des problèmes1et 2;

? corsé, composé du problème3.

Merci d’indiquer clairement sur la première page de la première copie si vous traitez le sujet classique ou le sujet corsé.

Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies mal rédigées ou mal présentées le sont aux risques et périls du candidat !

Remarque importante :

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Bon courage !

PROBLÈME 1 — SUJET CLASSIQUE Partie préliminaire

1. (a) Soitx∈]0,+∞[. Démontrer que la fonctiont7→e^−tt^x−1est intégrable sur]0,+∞[.

(b) On note, pour toutx∈]0,+∞[, Γ(x) = Z +∞

0

e^−tt^x−1dt(fonction Gamma d’Euler).

Démontrer que pour toutx∈]0,+∞[, Γ(x)>0.

(c) Démontrer que la fonctionΓ est de classeC¹ sur]0,+∞[puis exprimerΓ⁰(x)sous forme d’intégrale.

2. Pour tout entiern≥2, on poseu_n= Z n

n−1

dt t −1

n.

(a) Utiliser un théorème du cours pour justifier simplement que la série X

n≥2

un converge.

(b) Pour tout entiern≥1, on poseHn =

n

X

k=1

1

k −ln(n).

Démontrer que la suite (Hn)_n≥1 converge.

La limite de la suite(Hn)_n≥1sera notéeγ dans tout le sujet (γest appelée la constante d’Euler). Dans la suite de ce problème, on définit pour toutx∈]0,+∞[,ψ(x) =Γ⁰(x)

Γ(x). La fonctionψest appelée fonction Digamma.

Expression de la fonction Digamma à l’aide d’une série

3. Pour x∈]0,+∞[et pour tout entier n≥1, on définit la fonctionfn sur]0,+∞[telle que : pour toutt∈]0, n], fn(t) =

1− t

n ⁿ

t^x−1 et pour toutt∈]n,+∞[, fn(t) = 0.

(a) Démontrer que pour toutx <1,ln(1−x)≤ −x.

En déduire que pour tout entiern≥1, pour toutx∈]0,+∞[et pour toutt∈]0,+∞[,0≤fn(t)≤e^−tt^x−1. (b) En utilisant le théorème de convergence dominée, démontrer que pour toutx∈]0,+∞[,

Γ(x) = lim

n→+∞

Z n 0

1− t

n n

t^x−1dt.

4. On pose, pour nentier naturel et pour x∈]0,+∞[, In(x) = Z 1

0

(1−u)ⁿu^x−1du.

(a) Après avoir justifié l’existence de l’intégraleIn(x), déterminer, pourx >0et pour toutn≥1, une relation entreI_n(x)etI_n−1(x+ 1).

(b) En déduire, pournentier naturel et pour x∈]0,+∞[, une expression deI_n(x).

(c) Démontrer que, pour toutx∈]0,+∞[, Γ(x) = lim

n→+∞

n!n^x

n

Y

k=0

(x+k)

(formule de Gauss).

5. Pour tout entiern≥1, on note toujoursH_n=

n

X

k=1

1

k−ln(n).

En remarquant que pourn≥1etx∈]0,+∞[, 1 n^x

n

Y

k=1

1 + x

k

=e^xHn

n

Y

k=1

h 1 + x

k

e^−xki

, démontrer que pour tout x∈]0,+∞[, 1

Γ(x) =xe^γx lim

n→+∞

n

Y

k=1

h 1 + x

k

e^−xki

(formule de Weierstrass).

6. (a) En déduire que la sérieX

k≥1

h ln

1 +x k

−x k i

converge simplement sur]0,+∞[.

(b) On pose, pour toutx∈]0,+∞[, g(x) =X

k≥1

h ln

1 +x k

−x k i

. Démontrer que l’applicationgest de classe C¹ sur]0,+∞[et exprimerg⁰(x)comme somme d’une série de fonctions.

(c) En déduire que, pour tout x∈]0,+∞[, ψ(x) = −1 x −γ+

+∞

X

k=1

1 k− 1

k+x

. On rappelle que pour tout x∈]0,+∞[, ψ(x) =Γ⁰(x)

Γ(x).

7. (a) Que vautψ(1)? En déduire la valeur de l’intégrale Z +∞

0

e^−tln(t)dt.

(b) Calculer, pour toutx∈]0,+∞[,ψ(x+ 1)−ψ(x)puis démontrer que, pour tout entiern≥2, ψ(n) = −γ+

n−1

X

k=1

1 k.

(c) On pose, pour tout(x, y)∈]0,+∞[²et kentier naturel,jk(y) = 1

k+y+ 1− 1 k+y+x. Démontrer que la sérieX

k≥0

jk converge uniformément sur]0,+∞[.

En déduire lim

n→+∞(ψ(x+n)−ψ(1 +n)).

8. Déterminer l’ensemble des applicationsf définies sur]0,+∞[et à valeurs réelles vérifiant les trois conditions :

• f(1) =−γ,

• pour toutx∈]0,+∞[, f(x+ 1) =f(x) +1 x,

• pour toutx∈]0,+∞[, lim

n→+∞(f(x+n)−f(1 +n)) = 0.

PROBLÈME 2 — SUJET CLASSIQUE Partie I : le polylogarithme défini sur ] − 1, 1[

Dans toute cette partie,αest un réel fixé.

I - 1.1.

Déterminer le rayon de convergence de la série entière L_α définie par : Lα(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ n^α.

I - 1.2.

Justifier que l’applicationLαest de classeC^∞sur]−1,1[.

I - 1.3.

Montrer que :

∀x∈]−1,1[, Lα(−x) +Lα(x) = 2^1−αLα(x²).

I - 2.1.

Pour toutx∈]−1,1[, établir une relation entreL⁰_α+1(x)et Lα(x).

Exprimer L_α+1(x)sous forme de l’intégrale entre0 etxd’une certaine fonction.

I - 2.2.

Pour x∈]−1,1[, préciser les valeurs deL_α(x)lorsque α= 0,α=−1et α= 1.

I - 3.

Dans cette question, on suppose queα≤1.

Montrer queL_α(x)tend vers+∞quand xtend vers1par valeurs strictement inférieures. Pour cela, on pourra chercher à minorer Lα(x)pour x∈]0,1[.

Partie II : prolongement pour α > 1

Dans toute cette partie,αest un réel strictement supérieur à1.

II - 1.1.

Montrer que la fonction Lαdéfinie en I - 1.1est continue sur[−1,1].

II - 1.2.

Déterminer lim

x→1 x<1

L⁰₂(x)et préciser si la fonctionL2 est dérivable en1.

II - 2.1.

Montrer que l’applicationϕ:u7→ u^α−1

e^u−1 est intégrable sur]0,+∞[.

II - 2.2.

Pour tout réelx≤1, justifier l’existence de Kα(x) = Z +∞

0

u^α−1 e^u−xdu.

II - 2.3.

Montrer que l’applicationKαainsi définie est continue sur l’intervalle ]− ∞,1].

II - 2.4.

Dans cette question, on suppose queα >2.

Montrer que la fonction Kα est de classeC¹sur l’intervalle]− ∞,1].

II - 2.5.

On revient au cas généralα >1.

Montrer que la fonction K_αest de classe C¹ sur tout segment[a, b]aveca < b <1, puis sur l’intervalle]− ∞,1[.

II - 3.1.

On admet l’existence de G_α= Z +∞

0

t^α−1e^−tdt ainsi queG_α>0.

II - 3.2.

Montrer que pour toutx∈[−1,1]et pour tout u >0, on a : 1

e^u−x =

+∞

X

k=0

x^ke^−(k+1)u.

II - 3.3.

En déduire que pour tout x∈[−1,1], en utilisantL_α(x)défini dansI - 1.1etK_α(x)défini dansII - 2.2, on a la relation :

xKα(x) = GαLα(x).

On précisera avec soin le théorème d’intégration terme à terme utilisé.

II - 4.1.

Pour toutx∈]− ∞,1], on prolonge la définition de L_α(x)en posant : Lα(x) = x

Gα

Z +∞

0

u^α−1 e^u−xdu.

Montrer que l’applicationLα ainsi définie est continue sur]− ∞,1]et de classeC¹ sur]− ∞,1[.

PROBLÈME 3 — SUJET CORSÉ

Autour des sommes d’Euler

Dans tout le problème, on note pour tout entiern≥1, H_n=

n

X

k=1

1

k = 1 +1

2 +· · ·+1 n·

On noteζ la fonction définie pourx >1 par ζ(x) =

+∞

X

n=1

1 n^x·

Le but du problème est d’étudier des séries faisant intervenir la suite(H_n)_n et notamment d’obtenir une relation due à Euler qui exprime, pourrentier naturel supérieur ou égal à2,

+∞

X

n=1

H_n

(n+ 1)^r à l’aide de la valeur de la fonctionζ en certains points entiers.

I – Représentation intégrale de sommes de séries

I.A -

I.A.1)Justifier que la série de terme générala_n = 1 n−

Z n n−1

dt

t converge.

I.A.2)Montrer qu’il existe une constante réelleA telle queHn =

+∞lnn+A+o(1). En déduire queHn ∼

+∞lnn.

I.B -Soitrun entier naturel.

Pour quelles valeurs derla série X

n≥1

H_n

(n+ 1)^r est-elle convergente ? Dans toute la suite on noteraSr=

+∞

X

n=1

Hn

(n+ 1)^r lorsque la série converge.

I.C -

I.C.1)Donner sans démonstration les développements en série entière des fonctionst7→ln(1−t)et t7→ 1 1−t ainsi que leur rayon de convergence.

I.C.2)En déduire que la fonction

t 7−→ −ln(1−t) 1−t

est développable en série entière sur]−1,1[et préciser son développement en série entière à l’aide des réelsHn. I.D -Pour tout couple d’entiers naturels(p, q)et pour toutε∈]0,1[, on note

Ip,q = Z 1

0

t^p(lnt)^qdt et I_p,q^ε = Z 1

ε

t^p(lnt)^qdt.

I.D.1)Montrer que l’intégraleI_p,q existe pour tout couple d’entiers naturels(p, q).

I.D.2)Montrer que, ∀p∈N, ∀q∈N^∗, ∀ε∈]0,1[, I_p,q^ε = − q

p+ 1I_p,q−1^ε −ε^p+1(lnε)^q p+ 1 . I.D.3)En déduire que l’on a ∀p∈N, ∀q∈N^∗, I_p,q=− q

p+ 1I_p,q−1. I.D.4)En déduire une expression deI_p,q en fonction des entierspetq.

I.E -Soitrun entier naturel non nul etf une fonction développable en série entière sur]−1,1[.

On suppose que pour toutx∈]−1,1[, f(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ et que X

n≥0

an

(n+ 1)^r converge absolument.

Montrer que Z 1

0

(lnt)^r−1f(t)dt = (−1)^r−1(r−1)!

+∞

X

n=0

a_n (n+ 1)^r.

I.F -

I.F.1)Déduire des questions précédentes que pour tout entierr≥2, S_r =

+∞

X

n=1

H_n

(n+ 1)^r = (−1)^r (r−1)!

Z 1 0

(lnt)^r−1ln(1−t) 1−t dt.

I.F.2)Établir que l’on a alors S_r= (−1)^r 2(r−2)!

Z 1 0

(lnt)^r−2(ln(1−t))²

t dt.

I.F.3)En déduire que S2=1 2

Z 1 0

(lnt)²

1−t dtpuis trouver la valeur deS2 en fonction deζ(3).

II – La fonction β

II.A - La fonction Γ

II.A.1)Soitx >0. Montrer quet7→t^x−1e^−t est intégrable sur]0,+∞[.

Dans toute la suite, on noteraΓla fonction définie surR^∗+ par Γ(x) = Z +∞

0

t^x−1e^−tdt.

On admettra que Γest de classeC^∞ sur son ensemble de définition, à valeurs strictement positives et qu’elle vérifie, pour tout réelx >0, la relationΓ(x+ 1) =xΓ(x).

II.A.2) Soientxetαdeux réels strictement positifs. Justifier l’existence de Z +∞

0

t^x−1e^−αtdt et donner sa valeur en fonction deΓ(x)et α^x.

II.B - La fonction β et son équation fonctionnelle Pour(x, y)∈(R^∗+)², on définit β(x, y) =

Z 1 0

t^x−1(1−t)^y−1dt.

II.B.1)Justifier l’existence deβ(x, y)pourx >0et y >0.

II.B.2)Montrer que pour tous réelsx >0et y >0,β(x, y) =β(y, x).

II.B.3)Soientx >0 ety >0. Établir queβ(x+ 1, y) = x

x+yβ(x, y).

II.B.4)En déduire que pourx >0et y >0, β(x+ 1, y+ 1) = xy

(x+y)(x+y+ 1)β(x, y).

II.C - Relation entre la fonctionβ et la fonction Γ On veut montrer que pourx >0et y >0, β(x, y) = Γ(x)Γ(y)

Γ(x+y), relation qui sera notée(R).

II.C.1)Expliquer pourquoi il suffit de montrer la relation(R)pourx >1 ety >1.

Dans toute la suite de cette question, on supposera quex >1 ety >1.

II.C.2)Montrer queβ(x, y) = Z +∞

0

u^x−1 (1 +u)^x+ydu.

On pourra utiliser le changement de variablet= u 1 +u. II.C.3)On noteF_x,y la primitive surR+ det7→e^−tt^x+y−1qui s’annule en0. Montrer que

∀t∈R+, F_x,y(t)≤Γ(x+y).

II.C.4)SoitG(a) = Z +∞

0

u^x−1

(1 +u)^x+yFx,y (1 +u)a du.

Montrer queGest définie et continue surR+. II.C.5)Montrer que lim

a→+∞G(a) = Γ(x+y)β(x, y).

II.C.6)Montrer queGest de classeC¹ sur tout segment[c, d]inclus dans R+^∗, puis queGest de classeC¹ surR^∗+. II.C.7)Exprimer poura >0,G⁰(a)en fonction deΓ(x),e^−a eta^y−1.

II.C.8)Déduire de ce qui précède la relation(R).

III – La fonction digamma

On définit la fonctionψ(appelée fonction digamma) surR^∗+ comme étant la dérivée de x7→ln(Γ(x)).

Pour tout réelx >0,ψ(x) =Γ⁰(x) Γ(x).

III.A - Montrer que pour tout réelx >0, ψ(x+ 1)−ψ(x) = 1 x. III.B - Sens de variation de ψ

III.B.1)À partir de la relation(R), justifier que ∂β

∂y est définie sur(R^∗+)². Établir que pour tous réelsx >0 ety >0, ∂β

∂y(x, y) =β(x, y) ψ(y)−ψ(x+y) .

III.B.2)Soitx >0fixé. Quel est le sens de variations surR^∗+ de la fonctiony7→β(x, y)? III.B.3)Montrer que la fonctionψest croissante surR^∗+.

III.C - Une expression de ψ comme somme d’une série de fonctions III.C.1)Montrer que pour tout réelx >−1et pour tout entiern≥1

ψ(1 +x)−ψ(1) = ψ(n+x+ 1)−ψ(n+ 1) +

n

X

k=1

1 k− 1

k+x

.

III.C.2)Soitnun entier≥2et xun réel>−1. On posep=E(x) + 1, oùE(x)désigne la partie entière dex.

Prouver que

0 ≤ ψ(n+x+ 1)−ψ(n) ≤ Hn+p−H_n−1 ≤ p+ 1 n . III.C.3)En déduire que, pour tout réelx >−1,

ψ(1 +x) = ψ(1) +

+∞

X

n=1

1 n − 1

n+x

.

III.D - Un développement en série entière On noteg la fonction définie sur[−1,+∞[par

g(x) =

+∞

X

n=2

1 n− 1

n+x

.

III.D.1) Montrer quegest de classeC^∞sur [−1,+∞[.

Préciser notamment la valeur deg^(k)(0) en fonction deζ(k+ 1)pour tout entierk≥1.

III.D.2) Montrer que pour tout entiernet pour toutx∈]−1,1[

g(x)−

n

X

k=0

g^(k)(0) k! x^k

≤ ζ(2)|x|ⁿ⁺¹.

Montrer queg est développable en série entière sur]−1,1[.

III.D.3) Prouver que pour toutxdans]−1,1[,

ψ(1 +x) = ψ(1) +

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ζ(n+ 1)xⁿ.

IV – Une expression de S

en fonction de valeurs entières de ζ

Dans cette partie, on noteB la fonction définie surR^∗+ parB(x) = ∂²β

∂y²(x,1).

IV.A - Une relation entreB etψ Justifier que B est définie surR^∗+.

À l’aide de la relation trouvée auIII.B, établir que pour tout réelx >0 xB(x) = ψ(1 +x)−ψ(1)²

+ ψ⁰(1)−ψ⁰(1 +x) . En déduire que B est de classeC^∞ surR^∗+.

IV.B - Expression de Sr à l’aide de la fonctionB IV.B.1)Montrer que pour tout réelx >0, B(x) =

Z 1 0

ln(1−t)² t^x−1dt.

IV.B.2)Donner sans justification une expression, à l’aide d’une intégrale, de B^(p)(x), pour tout entier naturelpet tout réelx >0.

IV.B.3)En déduire que pour tout entierr≥2,Sr= (−1)^r 2(r−2)! lim

x→0⁺B^(r−2)(x).

IV.B.4)Retrouver alors la valeur deS2déjà calculée au I.F.3).

IV.C - Soitϕla fonction définie sur]−1,+∞[parϕ(x) = ψ(1 +x)−ψ(1)²

+ ψ⁰(1)−ψ⁰(1 +x) .

IV.C.1)Monter que ϕest de classe C^∞ sur son ensemble de définition et donner pour tout entier naturel n≥2 la valeur deϕ⁽ⁿ⁾(0)en fonction des dérivées successives deψau point1.

IV.C.2)Conclure que, pour tout entierr≥3,

2Sr = rζ(r+ 1)−

r−2

X

k=1

ζ(k+ 1)ζ(r−k).

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 7 — éléments de correction

PROBLÈME 1 — SUJET CLASSIQUE

d’après CCP 2016 MP Maths 2

Partie préliminaire

1. a. Soitx >0. La fonctionh_x: t7→e^−tt^x−1est continue par morceaux sur]0,+∞[. Nous avons deux problèmes d’intégrabilité sur]0,+∞[: en0 et au voisinage de+∞.

• En 0, hx(t)^t→0

+

∼ t^x−1= 1

t^1−x avec1−x <1. Ainsi, par comparaison à une fonction de référence,hx est intégrable en 0.

• En +∞, t²×e^−tt^x−1 = t^x+1e^{−t t→+∞}−→ 0 par croissances comparées, d’où hx(t) = o 1

t²

. Ainsi, par comparaison à une fonction de référence,hxest intégrable en+∞.

Finalement h_x:t7→e^−tt^x−1 est intégrable sur]0,+∞[ .

On peut ainsi définir la fameuse fonction Gamma d’EulerΓ :x7→

Z +∞

0

e^−tt^x−1dt, sur]0,+∞[.

b. Soitx > 0. La fonctionh_x définie dans la question précédente est continue, positive et non identiquement nulle sur]0,+∞[. Par contraposée d’un théorème usuel : Γ(x) =

Z +∞

0

hx(t)dt >0 .

c. Posons h(x, t) = h_x(t) = e^−tt^x−1 pour (x, t) ∈R^∗+×R^∗+, et appliquons le théorème de dérivabilité sous le signe

Z :

• La fonction h(x,·) :t7→h(x, t)est continue par morceaux et intégrable sur R^∗+, d’après la question 1.

• La fonction hadmet une dérivée partielle première par rapport à sa première variable surR^∗+×R^∗+, avec

∂h

∂x(x, t) = ln(t)e^−tt^x−1.

• Vérifions que cette dérivée partielle satisfait les hypothèses du théorème de continuité sous le signe Z

:

? Pour toutx >0, la fonction ∂h

∂x(x,·)est continue par morceaux surR^∗+.

? Pour toutt >0, la fonction ∂h

∂x(·, t)est continue surR^∗+.

? Soit(x, t)∈[a, b]×R^∗+ avec0< a≤b. Il vient :

∂h

∂x(x, t)

≤ |ln(t)|e^−tmax(t^a−1, t^b−1) = ϕ(t).

Cette fonction est continue par morceaux et positive. Prouvons son intégrabilité surR^∗+. D’une partt²ϕ(t) =|ln(t)|e^−tmax(t^a+1, t^b+1)^t→+∞−→ 0 par croissances comparées, d’oùϕ(t) =o

1 t²

. Par comparaison à une fonction intégrable,ϕest intégrable en+∞.

D’autre part pour t ∈]0,1], il vient t^1−a2ϕ(t) = t^a2|ln(t)|e^{−t t}−→^→0+ 0 par croissances comparées. Ainsi ϕ(t) =o

1 t^1−a2

avec1−^a₂ <1. Par comparaison à une fonction intégrable,ϕest intégrable en0.

D’après le théorème, la fonctionΓ est de classe C¹ sur tout segment [a, b] contenu dans R^∗+. Il s’ensuit que Γest de classeC¹sur]0,+∞[ avec :

∀x >0, Γ⁰(x) = Z +∞

0

∂h

∂x(x, t)dt = Z +∞

0

ln(t)e^−tt^x−1dt .

2. (a) La fonction f : t 7→ 1

t est continue par morceaux, positive et décroissante sur [1,+∞[. Le théorème de comparaison série/intégrale nous assume que la série X

n≥2

Z n n−1

f(t)dt−f(n)

=X

n≥2

un converge . (b) Pourn≥2, il vient

n

X

k=2

uk = Z n

1

dt t −

n

X

k=2

1

k = ln(n) + 1−

n

X

k=1

1

k = 1−Hn.

D’après la question précédente, la suite

n

X

k=2

uk

!

n≥2

converge. Par conséquent la suite (Hn)_n≥1 converge .

On note dans la suite γ= lim

n→+∞Hn= lim

n→+∞

n

X

k=1

1

k − ln(n)

! .

Expression de la fonction Digamma à l’aide d’une série

3. (a) On peut élégamment invoquer la concavité du logarithme. Le graphe du logarithme est en-dessous de ce- lui de ses tangentes. On en déduit ln(1 +t) ≤ t pour tout t > −1, puis en posant x = −t il vient

ln(1−x)≤ −xpour toutx <1 .

On peut également établir l’inégalité par une simple étude de la fonctionx7→ln(1−x) +xsur]− ∞,1[.

Soit maintenantn≥1et x >0.

• Si t≥nalors l’inégalité recherchée0≤fn(t) = 0≤e^−tt^x−1 est trivialement vérifiée.

• Pour toutt∈]0, n[, on ax= t

n <1d’où d’après l’inégalité que l’on vient de prouver : ln

1− t n

≤ −t n. Par croissance de l’exponentielle0≤1− t

n ≤e^−nt. Par croissance de la fonction puissancey7→yⁿ, nous en déduisons 0≤

1− t

n n

≤e^−t. Enfin par multiplication part^x−1>0, nous obtenons comme espéré 0≤fn(t) =

1− t

n n

≤e^−tt^x−1.

Finalement 0≤fn(t)≤e^−tt^x−1pour toutt∈]0,+∞[. (b) Appliquons le théorème de convergence dominée (TCD) :

• Pour toutn≥1,f_n est continue par morceaux surR^∗+.

• Soitt >0 fixé. Dès quen≥t, on a

1− t n

ⁿ

= exp

nln

1− t n

= exp

n

−t n+o

1 n

= exp(−t+o(1))^n→+∞−→ e^−t.

Ainsi(fn)n converge simplement vers la fonctiont7→e^−tt^x−1 qui est continue par morceaux surR^∗+.

• Pour n ≥ 1 et t > 0, nous avons |fn(t)| ≤ e^−tt^x−1 d’après la question 3.(a). Par ailleurs d’après la question 1.(a), cette fonction t7→e^−tt^x−1 est continue par morceaux et intégrable surR^∗+.

D’après le théorème : Z +∞

0

fn(t)dt^n→+∞−→

Z +∞

0

e^−tt^x−1dt. Commefn est nulle sur [n,+∞[: Z n

0

1− t

n n

t^x−1dt ^n→+∞−→ Γ(x).

4. (a) Soientn∈ N^∗ et x > 0. La fonction α:u7→(1−u)ⁿu^x−1 est bien définie et continue par morceaux sur ]0,1]. De plusα(u)^u→0

+

∼ u^x−1= 1

u^1−x, avec1−x <1. Ainsi par comparaison à une fonction de référence αest intégrable sur]0,1]. Il s’ensuit que In(x)est bien définie .

Procédons par intégration par parties, en définissant α₁:u7→(1−u)ⁿ et α₂:u7→ ^u_x^x. Ces fonctions sont de classeC¹sur]0,1], et :

In(x) = Z 1

0

(1−u)ⁿu^x−1du =

(1−u)ⁿu^x x

¹

0

− Z 1

0

−n(1−u)ⁿ⁻¹u^x x du.

Le terme tout intégré est nul enu= 1, et aussi enu= 0carx >0. Par conséquent In(x) = n

xI_n−1(x+ 1).

(b) Soitx >0etn≥1. Par récurrence (à faire le jour J !) la formule de la question précédente nous donne In(x) = n

xI_n−1(x+ 1) = n

x×n−1

x+ 1I_n−2(x+ 2) = n!

x(x+ 1)· · ·(x+n−1)I0(x+n).

Or I0(x) = Z 1

0

u^x−1du= u^x

x ¹

0

= 1 x. D’où

In(x) = n!

x(x+ 1)· · ·(x+n).

(c) La fonctiont7→ t

n réalise une bijection de classeC¹de]0, n]sur]0,1]de bijection réciproque également de classeC¹(on parle deC¹-difféomorphisme).Via le changement de variableu= t

n, on obtient donc : Z n

0

1− t

n n

t^x−1dt = Z 1

0

(1−u)ⁿ(nu)^x−1ndu = n^x Z 1

0

(1−u)ⁿu^x−1du = n^xIn(x).

En faisant tendre n vers+∞, et d’après 3.(b) : Γ(x) = lim

n→+∞n^xI_n(x). D’après la question précédente : Γ(x) = lim

n→+∞n^x× n!

x(x+ 1)· · ·(x+n). Enfin, puisqueΓ(x)>0 et par continuité de la fonction inverse : Γ(x) = lim

n→+∞

n!n^x

n

Y

k=0

(x+k) .

5. Soient n∈N^∗ etx >0. L’indication donnée est immédiate en remarquant que e^xHn = exp x

n

X

k=1

1 k

!

e^−xln(n) =

n

Y

k=1

e^xk

!

× 1 n^x.

Ensuite, d’après la formule établie à la question précédente, il vient :

1

Γ(x) = lim

n→+∞

n

Q

k=0

(x+k)

n!n^x = lim

n→+∞

x n^x ×

n

Q

k=1

(k+x)

n

Q

k=1

k

= lim

n→+∞

x n^x

n

Y

k=1

1 +x

k

.

Grâce à l’indication fournie, on réécrit : 1

Γ(x) = lim

n→+∞xe^xHn

n

Y

k=1

h1 + x k

e^−xki .

Or Hn

n→+∞−→ γ donc, par continuité de l’exponentielle : e^xHnn→+∞−→ e^xγ. Finalement, par produit de limites :

1

Γ(x) = xe^γx lim

n→+∞

n

Y

k=1

h 1 + x

k

e^−xki .

6. (a) Usuellement on prouve la convergence de cette série à l’aide d’un DL d’ordre 2. Mais hélas l’énoncé nous demande d’utiliser les questions précédentes. . . Réécrivons la dernière formule obtenue :

n

Y

k=1

h 1 +x

k

e^−xki _n→+∞

−→ 1

Γ(x)xe^γx. Par continuité deln:

ln

n

Y

k=1

h 1 + x

k

e^−xki

!

n→+∞−→ ln 1

Γ(x)xe^γx

,

c’est-à-dire

n

X

k=1

h ln

1 +x k

−x k

i _n→+∞

−→ −ln Γ(x)xe^γx .

Ceci prouve que la série X

k≥1

h ln

1 + x k

−x k i

converge. Ceci étant vrai pour toutx >0, nous avons bien prouvé la convergence simple deX

k≥1

g_k sur]0,+∞[, oùg_k :x7→ln 1 + x

k −x

k . (b) Notonsg =

+∞

X

k=1

gk sur]0,+∞[ et utilisons le second théorème de dérivation terme à terme d’une série de fonctions : Outre la convergence de X

k≥1

gk versg établie à la question précédente, on a :

• Chaque fonctiongk est de classeC¹ sur]0,+∞[.

• La question précédente nous prouve la convergence de la série X

k≥1

gk sur]0,+∞[.

• Soitk≥1 etx >0, alorsg_k⁰(x) = 1 k+x− 1

k =− x

k(k+x).

Choisissons un segment [a, b] ⊂ R^∗+ et x ∈ [a, b]. Alors |g⁰_k(x)| ≤ b

k². Ainsi kgkk^[a,b]_∞ ≤ b

k². Ainsi par comparaison de séries à termes positifs la sérieX

k≥1

g⁰_kconverge normalement surR^∗+, donc uniformément.

Par conséquent g est de classe C¹ sur [a, b] et on peut dériver terme à terme. Ceci étant vrai pour tout segment[a, b]: gest de classeC¹ surR^∗+ . De plus :

∀x >0, g⁰(x) =

+∞

X

k=1

g_k⁰(x) =

+∞

X

k=1

1 k+x−1

k

.

(c) D’après la question 6.(a), nous avons pour toutx >0 : g(x) = −ln Γ(x)xe^γx

= −ln Γ(x)

−ln(x)−γx.

Dérivant cette relation, on obtient :

g⁰(x) = −Γ⁰(x) Γ(x) −1

x−γ, c’est-à-dire, puisqueψ=Γ⁰

Γ : ψ(x) =−g⁰(x)−1 x−γ.

D’après 6.(b) : −g⁰(x) =−

+∞

X

k=1

1 k+x−1

k

=

+∞

X

k=1

− 1 k+x+1

k

. D’où :

ψ(x) = −1 x−γ+

+∞

X

k=1

1 k− 1

k+x

.

7. (a) Évaluons enx= 1cette dernière formule : ψ(1) =−1−γ+

+∞

X

k=1

1 k − 1

k+ 1

. Par télescopage : ψ(1) =−1−γ+ 1 =−γ. De plusΓ(1) =

Z +∞

0

e^−tdt= 1et par définitionψ(1) = Γ⁰(1) Γ(1). On en déduit également queΓ⁰(1) =−γ. D’après la question 1.(c), on constate queΓ⁰(1) =

Z +∞

0

e^−tln(t)dt.

D’où finalement :

Z +∞

0

e^−tln(t)dt=−γ. (b) Soitx >0. D’après la 6.(c) :

ψ(x+ 1)−ψ(x) = − 1 x+ 1 +1

x+

+∞

X

k=1

1

k− 1

k+x+ 1

−

+∞

X

k=1

1 k− 1

k+x

= 1

x− 1 x+ 1+

+∞

X

k=1

1

k − 1

k+x+ 1−1 k+ 1

k+x

(toutes séries convergentes)

= 1

x− 1 x+ 1+

+∞

X

k=1

1

k+x− 1 k+x+ 1

=

+∞

X

k=0

1

k+x− 1 k+x+ 1

et ainsi ψ(x+ 1)−ψ(x) = 1

x . Une autre méthode, utilisantΓ(x+ 1) =xΓ(x)(exo !), est la suivante : ψ(x+ 1)−ψ(x) = Γ⁰(x+ 1)

Γ(x+ 1) −Γ⁰(x) Γ(x) = d

dx

ln

Γ(x+ 1) Γ(x)

= d

dx(ln(x)) = 1 x.

En particulier, pour k ∈ N^∗ : ψ(k+ 1)−ψ(k) = 1

k. En sommant ces relations pour k ∈[[1, n−1]] avec n≥2 :

ψ(n) = ψ(1) +

n−1

X

k=1

ψ(k+ 1)−ψ(k)

= −γ+

n−1

X

k=1

1 k .

(c) Soitx >0fixé. Pourk∈Nety >0, on a jk(y) = 1

k+y+ 1 − 1

k+y+x= x−1

(k+y+ 1)(k+y+x) d’où :

∀y >0, |j_k(y)| ≤ |x−1|

(k+ 1)(k+x).

Par conséquent kjkk^]0,+∞[_∞ ≤ |x−1|

(k+ 1)(k+x). Or |x−1|

(k+ 1)(k+x)

k→+∞∼ |x−1|

k² , d’où par comparaison de séries à termes positifs : X

k≥0

j_k converge normalement, donc uniformément, surR^∗+ . D’après les formules de 6.(c) et 7.(b) :

ψ(x+n)−ψ(1 +n) = − 1 x+n+ 1

n+

+∞

X

k=1

1

k− 1

k+x+n

−

+∞

X

k=1

1

k− 1

k+ 1 +n

.

Avec les mêmes manipulations qu’à la question précédente : ψ(x+n)−ψ(1 +n) =

+∞

X

k=0

1

k+ 1 +n− 1 k+x+n

=

+∞

X

k=0

jk(n).

Par ailleurs pour k fixé : j_k(n)^n→+∞−→ 0. Comme la série X

k

j_k converge uniformément sur R^∗+, on peut appliquer le théorème de la double limite : lim

n→+∞ ψ(x+n)−ψ(1 +n)

=

+∞

X

k=0

n→+∞lim jk(n) = 0.

Finalement lim

n→+∞ψ(x+n)−ψ(1 +n) = 0 . 8. Procédons par analyse-synthèse :

• Analyse. Soitf une solution. On va montrer quef vérifie la formule deψétablie en 6.(c), à savoir :

∀x >0, f(x) = −1 x−γ+

+∞

X

k=1

1 k− 1

k+x

.

Puisque 1

t =f(t+ 1)−f(t)pour toutt >0, il vient :

+∞

X

k=1

1 k− 1

k+x

=

+∞

X

k=1

f(k+ 1)−f(k)−f(k+x+ 1) +f(k+x)

= lim

n→+∞

n

X

k=1

f(k+ 1)−f(k) +

n

X

k=1

f(k+x)−f(k+x+ 1)

!

= lim

n→+∞





f(n+ 1)−f(1)

|{z}=−γ

+f(1 +x)−f(n+x+ 1)





 (télescopage)

= f(x+ 1) +γ− lim

n→+∞ f(x+ 1 +n)−f(1 +n)

| {z }

=0

= f(x) + 1 x+γ,

ce qui montre bien la relation voulue, et doncf =ψ.

• Synthèse.La seule solution éventuelle au problème est doncψ. Mais on a prouvé en 7.(a), en 7.(b) et en 7.(c) queψsatisfait les trois conditions voulues.

Finalement ψest solution, et c’est la seule .

PROBLÈME 2 — SUJET CLASSIQUE

d’après CCP 2012 PC Maths 2

Partie I : le polylogarithme défini sur ] − 1, 1[

I - 1.1. Pour toutn≥1, nous avons 1

n^α >0et lim

n→+∞

n^α

(n+ 1)^α = 1. D’après la règle de d’Alembert, le rayon de convergence de X

n≥1

1

n^αxⁿ est 1 1 = 1.

I - 1.2. L’application Lα est de classeC^∞ sur]−1,1[, comme somme d’une série entière sur son intervalle ouvert de convergence.

I - 1.3. Soitx∈]−1,1[. Il vient

Lα(−x) +Lα(x) =

+∞

X

n=1

(−x)ⁿ+xⁿ

n^α =

+∞

X

p=1

2x^2p

(2p)^α = 2^1−αLα(x²).

I - 2.1. Le théorème de dérivation terme à terme d’une série entière nous permet d’écrire : L⁰_α+1(x) =

+∞

X

n=1

n

n^α+1xⁿ⁻¹ =

+∞

X

n=1

1 n^αxⁿ⁻¹

d’où xL⁰_α+1(x) =Lα(x). De plusLα+1(0) = 0donc, d’après le théorème fondamental du calcul intégral (TFCI) :

L_α+1(x) = Z x

0

K_α+1⁰ (t)dt = Z x

0

Lα(t) t dt .

I - 2.2. Fixons x∈]−1,1[. Alors :

L0(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ = x

1−x ,

L₋₁(x) =

+∞

X

n=1

nxⁿ = x

+∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹ = x

(1−x)² ,

L1(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ

n = −ln(1−x).

I - 3. Soitα≤1et x∈]0,1[. Il vient :

Lα(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ n^α ≥

+∞

X

n=1

xⁿ

n = −ln(1−x),

avec−ln(1−x)^x→1

−

−→ +∞, d’où lim

x→1⁻L_α(x) = +∞siα≤1 .

Partie II : prolongement pour α > 1

Dans toute cette partie,αest un réel strictement supérieur à1.

II - 1.1. Notons fn(x) = 1

n^αxⁿ. On a clairement kfnk^[−1,1]_∞ = 1

n^α avec α > 1, donc la série X

n≥1

fn converge norma- lement sur [−1,1]. Cette série étant constituée de fonctions continues sur [−1,1], on en déduit que sa somme

Lαest continue sur[−1,1]. II - 1.2. Soitx∈]0,1[, alors d’aprèsI - 2.1:

L⁰₂(x) = 1

xL₁(x) = −ln(1−x) x ainsi lim

x→1⁻L⁰₂(x) = +∞. De plus L2(x)−L2(1)

x−1 = 1

x−1

+∞

X

n=1

xⁿ−1 n²

=

+∞

X

n=1

1 n²

xⁿ−1 x−1 =

+∞

X

n=1

1 n²

n−1

X

k=0

x^k

!

≥

+∞

X

n=1

n

n²xⁿ⁻¹ (carxⁿ⁻¹ est le plus petit parmi1,x, . . . ,xⁿ⁻¹)

=

+∞

X

n=1

xⁿ⁻¹

n = −ln(1−x) x

x→1⁻

−→ +∞.

Ainsi L2 n’est pas dérivable en1⁻ .

II - 2.1. L’applicationϕa deux problèmes d’intégrabilité : en0 et en+∞.

• Tout d’abord ϕ(u) = u^α−1 e^u−1

u→0∼ u^α−2 = 1

u^2−α avec α > 1 donc2−α < 1. D’où, par comparaison à une fonction de référence,ϕest intégrable en0.

• Ensuite u²ϕ(u) ^u→+∞∼ u^α+1e^{−u u→+∞}−→ 0 par croissances comparées. Par conséquent ϕ(u) = o 1

u²

. Par comparaison à une fonction de référence,ϕest intégrable en+∞.

Finalement ϕest intégrable sur]0,+∞[.

II - 2.2. Fixons u >0. Pour x≤1, il vient 0< e^u−1≤e^u−xpuis0< 1

e^u−x ≤ 1

e^u−1 et enfin0 < u^α−1

e^u−x ≤ϕ(u).

Ainsi par comparaison à la fonction ϕqui est intégrable sur R^∗+ d’aprèsII - 2.1, la fonction u7→ u^α−1 e^u−x est intégrable sur R^∗+.

Par conséquent Kα(x) = Z +∞

0

u^α−1

e^u−xduexiste pour toutx >0 . II - 2.3. Posons h(x, u) = u^α−1

e^u−x pour (x, u)∈]− ∞,1]×R^∗+ et appliquons le théorème de continuité des intégrales à paramètre :

• Pour toutx≤1, la fonctionh(x,·)est continue par morceaux surR^∗+.

• Pour toutu∈R^∗+, la fonctionh(·, u)est continue sur]− ∞,1].

• Pour (x, u)∈]− ∞,1]×R^∗+, nous avons prouvé enII - 2.2:

|h(x, u)| = u^α−1

e^u−x ≤ u^α−1

e^u−1 = ϕ(u), avecϕcontinue par morceaux, positive et intégrable surR^∗+.

D’après le théorème : la fonctionKαest continue sur]− ∞,1].

II - 2.4. Supposons dans cette question uniquement queα >2. Appliquons le théorème de dérivation sous le signe Z

:

• Pour toutx≤1, la fonctionh(x,·)est continue par morceaux et intégrable surR^∗+ (d’aprèsII - 2.2).

• La fonction hadmet sur]− ∞,1]×R^∗+ une dérivée partielle première par rapport à sa première variable :

∂h

∂x(x, u) = u^α−1 (e^u−x)².

• Vérifions que la dérivée partielle satisfait les hypothèses du théorème de continuité sous le signe Z

:

? Pour toutx≤1, la fonction ∂h

∂x(x,·)est continue par morceaux sur R^∗+.

? Pour toutu >0, la fonction ∂h

∂x(·, u)est continue sur]− ∞,1].

? Pour (x, u)∈]− ∞,1]×R^∗+, il vient

∂h

∂x(x, u)

= u^α−1

(e^u−x)² ≤ u^α−1

(e^u−1)² =θ(u). Déjà θ est continue par morceaux et positive sur R^∗+.

Ensuiteθ(u)^u→0∼ u^α−3= 1

u^3−α avec3−α <1carα >2, donc par comparaison à une fonction de référence : θ est intégrable en0.

Enfin u²θ(u)^u→+∞∼ u^α+1e^{−2u u→+∞}−→ 0, donc par comparaison à une fonction référenceθ est intégrable en +∞.

D’après le théorème, la fonction K_αest de classeC¹ sur]− ∞,1]dès queα >2 .

II - 2.5. Supposons α > 1. Reprenons la démonstration de la question précédente. Le seul point qui change est la domination. Pour x∈[a, b]⊂]− ∞,1[, nous avons

∂h

∂y(x, u)

= u^α−1

(e^u−x)² ≤ u^α−1

(e^u−b)² = µ(u).

La fonction µest continue par morceaux et positive surR^∗+. Ensuite µ(u) ^u→0∼ u^α−1

(1−b)²

u→0−→ 0 car α > 1, donc µ est intégrable en 0 par comparaison à une fonction de référence.

Enfin u²µ(u)^u→+∞∼ u^α+1e^{−2u u→+∞}−→ 0 par croissances comparées, donc µ(u) =o 1

u²

, d’où l’intégrabilité de µen+∞.

Par conséquentµest bien intégrable surR^∗+.

Ceci nous permet d’affirmer que Kα est de classeC¹ sur tout segment[a, b] contenu dans]− ∞,1[.

Fixons maintenant unx₀<1, alors il existeaetbtels quex₀∈[a, b]⊂]− ∞,1[. OrK_αest de classeC¹sur[a, b], donc enx0. D’où Kα est de classeC¹en tout x0<1. Ainsi Kαest de classeC¹ sur]− ∞,1[dès queα >1 . II - 3.1. C’est du cours !Gest la fonctionΓ. Le jourJ, il faut refaire la démonstration.

II - 3.2. Soitu >0et x∈[−1,1]. Alors|e^−u|<1donc 1

e^u−x = e^−u 1−xe^−u =

+∞

X

k=0

e^−u· xe^−uk

=

+∞

X

k=0

x^ke^−(k+1)u .

II - 3.3. Soitx∈[−1,1]. Allez hop, même pas peur : GαLα(x) =

+∞

X

k=0

x^k+1 (k+ 1)^α

!Z +∞

0

t^α−1e^−tdt

=

+∞

X

k=0

x^k+1 (k+ 1)^α

Z +∞

0

t^α−1e^−tdt

=

+∞

X

k=0

x^k+1 Z +∞

0

u^α−1e^−(k+1)udu,

la dernière égalité étant due au changement de variablet= (k+1)u. Appliquons le second théorème d’intégration terme à terme, en posantf_n(u) =x^k+1u^α−1e^−(k+1)u pouru >0:

• Chaque f_n est continue par morceaux sur R^∗+.

• La série X

k

fk converge simplement par construction sur R^∗+, vers la fonction u 7→ u^α−1 xe^−u

1−xe^−u qui est continue par morceaux surR^∗+.

• En reprenant les calculs ci-dessus à l’envers : Z

R^∗₊

|fk| = |x|^k+1 Z +∞

0

u^α−1e^−(k+1)udu = Gα× |x|^k+1 (k+ 1)^α, qui est bien le terme général d’une série qui converge (versG_αL_α(|x|)).

D’après le théorème, on peut permuter Z

etX

dans le calcul deG_αL_α(x):

Lα(x)Gα =

+∞

X

k=0

x^k+1 Z +∞

0

u^α−1e^−(k+1)udu = Z +∞

0 +∞

X

k=0

x^k+1u^α−1e^−(k+1)udu = Z +∞

0

xu^α−1 e^u−xdu

c’est-à-dire L_α(x)G_α=xK_α(x)six∈[−1,1].

II - 4.1. D’aprèsII - 2.4, la fonctionKα est définie et continue sur]∞,1]. D’aprèsII - 2.5, la fonctionKαest de classe C¹ sur]− ∞,1[.

Ainsi l’application Lα:x7→ x

G_αKα(x)est définie et continue sur]− ∞,1]et de classeC¹ sur]− ∞,1[.

PROBLÈME 3 — SUJET CORSÉ

d’après Centrale 2015 MP Maths 2

I – Représentation intégrale de sommes de séries

I.A.1)Pour toutn≥2,a_n= 1 n−

Z n n−1

dt t = 1

n+ ln

1−1 n

=− 1 2n² +o

1 n²

. Ainsia_n∼ − 1

2n² et par suite, par comparaison de séries à termes positifs (SATP) la série X

n

an converge comme celle de RiemannX

n

1 n². I.A.2)

• La sérieX

a_n converge, soit

L = lim

n−→+∞

n

X

k=2

ak = lim

n−→+∞

Hn−1− Z n

1

dt t

= lim

n−→+∞(Hn−1−ln(n)),

ce qui implique Hn= ln(n) +A+o(1) oùA=L+ 1.

• Remarquons queA+o(1) =o(ln(n)), donc de l’égalité précédente on obtient Hn

n→+∞∼ ln(n). I.B - Par comparaison de SATP, et d’après la question précédente : la sérieX Hn

(n+ 1)^r est de même nature que la sérieXln(n)

n^r .

• Sir= 0, alorsXln(n) n^r =X

ln(n)diverge grossièrement.

• Si r = 1, alors 1 n =o

ln(n) n

. La série de Riemann X1

n étant divergente, par comparaison il en est de même pourXln(n)

n .

• Si r≥2, alorsn³²ln(n)

n^r = ln(n) n^r−32 −→

n−→+∞0. Par conséquent ln(n) n^r =o

1 n³²

. Or 3

2 >1, donc la série de Riemann X 1

n³² converge. Par comparaison,Xln(n)

n^r converge.

Finalement X Hn

(n+ 1)^r converge si et seulement sir≥2 .

I.C.1)Les deux développements en série entière (DSE) demandés sont :

• ∀t∈]−1,1[,ln(1−t) =−

+∞

X

n=1

tⁿ

n. Rayon de convergence :1.

• ∀t∈]−1,1[, 1 1−t =

+∞

X

n=0

tⁿ. Rayon de convergence :1.

I.C.2)

• Les deux fonctionst7→ −ln(1−t)et t7→ 1

1−t sont développables en série entière sur]−1,1[. Par conséquent leur produit t7→ −ln(1−t)

1−t est développable en série entière sur au moins]−1,1[ (par produit de Cauchy).

• Posons a0 = 0, et pour n ≥ 1, an = 1

n et bn = 1. Par produit de Cauchy de séries entières, il vient pour tout t∈]−1,1[,−ln(1−t)

1−t =

+∞

X

n=0

cntⁿ oùcn=

n

X

k=0

akb_n−k =

n

X

k=1

1

k =Hn. Par conséquent

∀t∈]−1,1[, −ln(1−t) 1−t =

+∞

X

n=1

Hntⁿ .

I.D.1)La fonctiont 7→t^p(ln(t))^q est continue sur ]0,1]et au voisinage de 0, t^p(ln(t))^q =o 1

√t

. Il s’ensuit que la fonction t7→t^p(ln(t))^q est intégrable sur]0,1].

I.D.2)Les fonctionst7→ t^p+1

p+ 1 ett7→(ln(t))^q sont de classeC¹sur le segment[ε,1], d’où par intégration par parties : I_p,q^ε =

Z 1 ε

t^p(ln(t))^qdt =

t^p+1(ln(t))^q p+ 1

¹

ε

− q p+ 1

Z 1 ε

t^p(ln(t))^q−1dt = − q

p+ 1I_p,q−1^ε −ε^p+1(ln(ε))^q p+ 1 .

I.D.3)D’une part l’intégrale Z 1

0

t^p(ln(t))^q−1dt est convergente, d’autre partε^p+1(ln(ε))^{q ε}−→^→00par croissances com- parées. Ceci permet le passage à la limite quandε→0dans la formule de la question précédente :

Ip,q = − q

p+ 1I_p,q−1.

I.D.4)La relation de la question précédente mène, par une récurrence (à faire le jour J ! ! !), à I_p,q = −q

p+ 1

−(q−1)

p+ 1 · · · −1

p+ 1I_p,0 = (−1)^q q!

(p+ 1)^qI_p,0 = (−1)^qq!

(p+ 1)^q+1 c’est-à-dire

Ip,q = Z 1

0

t^p(lnt)^qdt = (−1)^qq!

(p+ 1)^q+1 .

I.E -Appliquons le second théorème d’intégration terme à terme à la suite de fonctions(fn)navecfn(t) =antⁿ(ln(t))^r−1 sit∈[0,1[:

• Chaquefnest continue par morceaux sur[0,1[. Pour l’intégrabilité defn, le seul problème est en0. Maist¹²fn(t)−→^t→0 0par croissances comparées, donc fn(t) =o

1 t¹²

. Par comparaison à une fonction de référence :fn est intégrable en0. Finalement fn est bien intégrable sur]0,1].

• La sérieX

antⁿ converge simplement sur[0,1[, donc aussiX

antⁿ(ln(t))^r−1.

• Fixonsn∈N. Alors d’après la question I.D.4): Z 1

0

|fn(t)|dt = |an| Z 1

0

tⁿ(ln(t))^r−1dt = (r−1)! |a_n| (n+ 1)^r.

Grâce à l’hypothèse de convergence deX

n

|an|

(n+ 1)^r, la sérieXZ 1 0

|fn(t)|dtest convergente.

Le théorème d’intégration terme à terme nous permet alors de permuter intégrale et série : Z 1

0

(ln(t))^r−1f(t)dt = Z 1

0 +∞

X

n=0

f_n(t)dt = Z 1

0 +∞

X

n=0

a_ntⁿ(ln(t))^r−1dt =

+∞

X

n=0

a_nI_n,r−1.